“奔馳定理”的多種證法及其應用
2018-12-28 10:15:34江西師大數(shù)信學院330022
中學數(shù)學研究(江西) 2018年12期
江西師大數(shù)信學院 (330022)
裴珊珊 陳德富 李 霞
“奔馳定理”是平面向量在探究三角形面積規(guī)律中一個優(yōu)美的結論，因所述定理對應的圖像與奔馳車的標志相似而得名.本文給出了以下五種證法，并通過示例展示其在求解數(shù)學競賽題中的應用.
圖1
下面從五個不同思路出發(fā)對定理的證明展開探索.
證法一：利用三角形面積與線段比例關系推導.
如圖2，延長AP交BC于Q點(S=SA+SB+
圖2
證法二：利用正弦形式的三角形面積公式.
圖3
證法三：利用三角形重心的性質(zhì).
圖4
證法四：利用向量按垂直坐標系分解的性質(zhì).
圖5
證法五：利用平面向量分解的基本定理.
圖6
利用奔馳定理可以容易解決如下問題：
解析：由題意可知SΔBPC∶SΔAPC∶SΔAPB=1∶ 2∶ 3,由合比性質(zhì)得SΔABC∶SΔAPC=(SΔBPC+SΔAPC+SΔAPB)∶SΔAPC=6∶ 2=3∶ 1，選(C).
(A)14∶ 3 (B)19∶ 4 (C)24∶ 5 (D)29∶ 6
猜你喜歡
中學數(shù)學研究(2024年3期)2024-04-05 16:02:32
中等數(shù)學(2022年4期)2022-08-29 06:27:14
中學生數(shù)理化(高中版.高二數(shù)學)(2021年5期)2021-07-21 02:14:46
中等數(shù)學(2020年7期)2020-11-26 08:03:46
中等數(shù)學(2020年6期)2020-09-21 09:32:38
天府數(shù)學(2020年3期)2020-09-10 19:53:46
中等數(shù)學(2020年4期)2020-08-24 08:08:38
河北理科教學研究(2020年1期)2020-07-24 08:14:34
中等數(shù)學(2019年5期)2019-08-30 03:52:22
中等數(shù)學(2019年6期)2019-08-30 03:41:46
