徐乙富 張俸川 石少儉

摘 要：在近些年的ACM ICPC競賽中，圖論的題目屢見不鮮。圖論中的圖是由若干給定的點鏈接兩點的線所構(gòu)成的圖形，這種圖形常來用于描述某些事物之間的某種特定關(guān)系，用點代表事物，用連接兩點的線表示相應(yīng)兩個事物間具有的關(guān)系。

關(guān)鍵詞：圖論模型；拓?fù)?；歐拉路徑

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2018.23.090

0 前言

圖論是數(shù)學(xué)的一個分支，它以圖作為研究對象。圖論中的圖是由若干給定的點鏈接兩點的線所構(gòu)成的圖形，這種圖形常來用于描述某些事物之間的某種特定關(guān)系，用點代表事物，用連接兩點的線表示相應(yīng)兩個事物間具有的關(guān)系。利用圖論解題，通常具有高效、簡潔的便利。有了這門工具，并不意味就能很好地解決問題，還在于我們能否熟練地識別與建立一系列的圖論模型。本文通過一些實例，簡單地介紹一下圖論建模的方法與應(yīng)用。并通過建立相關(guān)的模型來解決相對較為復(fù)雜的問題。

1 Cover（HDU）

1.1 題目大意

給一個有n個節(jié)點m條邊的圖，每個節(jié)點從1到n標(biāo)號，題目給出m條邊的連接情況（1<=n，m<=100000），問至少需要幾筆可以走完所有的m條邊，輸出最少的筆畫數(shù)目與每一筆所經(jīng)過的邊的編號。

1.2 分析

容易想到，這個題目需要將最少筆畫數(shù)目轉(zhuǎn)化為無向圖的最小路徑覆蓋問題，然而，不同于常見的有向圖二分圖做法，需要建立一個歐拉路徑或歐拉回路的模型。當(dāng)一個連通塊是歐拉路徑（度數(shù)為奇數(shù)的頂點的數(shù)目為0或者2）時，可以一筆走完所有的邊，所以將每個連通塊轉(zhuǎn)化為歐拉路徑進(jìn)行搜索，轉(zhuǎn)化的方法是通過對度數(shù)為奇數(shù)的兩點之間加邊將連通塊轉(zhuǎn)化為歐拉路徑。

1.3 步驟

（1）首先，我們應(yīng)該根據(jù)題目的輸入將無向圖建立出來，由于頂點個數(shù)比較多，所以無法建立鄰接矩陣，可以建立鄰接表儲存邊的信息。（2）對于每一個連通塊進(jìn)行深度優(yōu)先搜索，對于每一個連通塊內(nèi)度數(shù)為奇數(shù)的點，可以兩兩之間加一條邊，這樣，對于每一個連通塊，最多要加入max（k/2，1）條邊，（k為度數(shù)為奇數(shù)的點的個數(shù)）。（3）再次進(jìn)行深度優(yōu)先搜索，每次搜索到加入的邊時，說明搜到一條路徑，進(jìn)行輸出路徑（可以用一個以為數(shù)組暫時保存路徑并進(jìn)行輸出），這樣，就正好輸出了max（k/2，1）條的路徑。

1.4 小結(jié)

通過分析相關(guān)的問題，將一個復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為構(gòu)造歐拉路徑的簡單問題，建立了正確的模型。由此可見，對于問題正確的分析與認(rèn)識，是建立模型，解決問題中至關(guān)重要的一步。本題所用到的歐拉路徑模型，在競賽中比較常見，是一個重要的解決問題的模型與方法。

2 Guess（UVA1423）

2.1 題目大意

給出一個n*n（N>1&&N;<=10）的上三角矩陣S，S[i][j]表示數(shù)列a從a[i]+...a[j]和的大小，要求我們求出a[1]到a[n]的所有值，即通過和的值求元素的值。

2.2 分析

首先想到應(yīng)該求出sum[0]到sum[n]的值，輸出即可，而sum[i]的值可以設(shè)置在0到10之間，這樣的話，任意的sum[i]與sum[i-1]只差的絕對值不會超過10，滿足了題目要求的任意a[i]的絕對值小于等于10。 重點在于，這樣的前綴和可以轉(zhuǎn)化為拓?fù)渑判颍裪看做節(jié)點，當(dāng)a[i]加到a[j]的值大于0時，即sum[j]-sum[i-1]大于0，這樣連一條從j到i-1的邊，反之，連一條，從i-1到j(luò)的邊，這樣，最大的邊入度為0，進(jìn)行拓?fù)渑判蚣纯伞?/p>

2.3 步驟

（1）首先，對于輸入進(jìn)行建圖，當(dāng)輸入字符為‘+時，在j與i-1間加一條邊，當(dāng)輸入字符為‘-時，在i-1到j(luò)間建一條邊。（2）進(jìn)行拓?fù)渑判?，對于n個點，每次找到入度為0的點 t ，將它的度數(shù)變?yōu)?1，并標(biāo)記已經(jīng)訪問過這個點，將所有t指向的點的度數(shù)減一，每次記錄sum[t]=now--，初始now為10。（3）根據(jù)拓?fù)渑判蚯蟪龅膕um數(shù)組，求出最終的答案，即ans[i]=sum[i]-sum[i-1]。

2.4 小結(jié)

本道題目是一個比較抽象的題目，但是經(jīng)過對于前綴和性質(zhì)的認(rèn)真分析，可以建立了拓?fù)渑判蜻@一模型，將一個復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為一個簡單的拓?fù)溥^程，在ACM ICPC中，拓?fù)渑判蜃鳛橐粋€常見的模型，經(jīng)常用于簡化與解決復(fù)雜的問題。

3 結(jié)論

問題是千變?nèi)f化的，如何建立問題的圖論模型并沒有通用的準(zhǔn)則。前面的兩個例子都比較簡單，在更復(fù)雜的問題中，有時會感到難以建立適當(dāng)?shù)哪Ｐ?，這時，需要在不改變問題原型本身的性質(zhì)的前提下，對原型進(jìn)行抽象，簡化，在此基礎(chǔ)上建立合適，有效的模型。有時，建立了問題的一個模型之后，可能會感到難以求解，這時，可能需要對模型進(jìn)行修改，轉(zhuǎn)化，或者對原型進(jìn)行更深入的分析，抽取其中較關(guān)鍵的要素，建立一個易于求解的模型。這些都需要有豐富的經(jīng)驗，靈活的思維以及良好的創(chuàng)造力。在ICPC比賽中，更是要求在規(guī)定的時間內(nèi)可以正確的分析問題，建立相應(yīng)的模型，并解決問題的能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉汝佳.算法競賽入門經(jīng)典.第2版[M].清華大學(xué)出版社，2014.

[2]巫澤俊.挑戰(zhàn)程序設(shè)計競賽[M].人民郵電出版社，2013.

[3]黃蘭，魯珍珍，尹倩華等.圖論及其算法在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2016（05）：106-107.

[4]楊玉軍，王大勇.圖論在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用[J].教育現(xiàn)代化，2018

（04）.

作者簡介：徐乙富（1997-），男，山東臨沂人，本科，研究方向：ACM圖論建模與應(yīng)用。