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        另辟蹊徑 有效引導 化繁為簡
        ——例談求陰影部分面積的方法

        2018-12-26 15:02:20江蘇蘇州國際外語學校215131
        小學教學參考 2018年35期
        關鍵詞:分析

        江蘇蘇州國際外語學校(215131)

        求稍復雜的陰影部分的面積,是小學“圖形與幾何”的重點和難點。解決這類問題關鍵在于因題制宜,將一般圖形轉(zhuǎn)化為特殊圖形。常用方法有以下五種。

        一、切割填補法

        切割填補法是通過觀察陰影部分與整體圖形之間的關系,添加輔助線,切割某個部分填補整體,從而使不規(guī)則圖形變?yōu)橐?guī)則圖形。這一方法最為常用、最具代表性,也最為簡單有效。

        【例1】如圖1,四分之一圓的半徑為10厘米,以它的兩條半徑為直徑,在內(nèi)部作兩個半圓,求陰影部分的面積。

        分析:圖1中的陰影部分比較規(guī)則,觀察它的特征,發(fā)現(xiàn)通過添加輔助線進行切割,再整體填補,圖1的陰影部分就轉(zhuǎn)化為圖2中的陰影部分,所以所求陰影部分的面積實際就是等腰直角三角形(如圖2陰影部分)的面積:S=10×10÷2=50(平方厘米)。

        圖1

        圖2

        二、容斥原理法

        對于比較規(guī)則的圖形,用切割填補法雖然也能解決問題,但是卻大費周折、浪費時間。這時運用容斥原理法,可以省時省力,事半功倍。

        【例2】如圖3,正方形的邊長為8厘米,求圖中陰影部分的面積。

        圖3

        分析:圖3是正方形中套著四個半圓,四個半圓相加就得到2個完整的圓,在這個過程中每個陰影部分被加了兩次,減去一個正方形,正好得到陰影部分的面積,那么陰影部分的面積就是S=3.14×4×4×2-8×8=36.48(平方厘米)。

        【例3】求圖4陰影部分的面積。(單位:厘米)

        圖4

        分析:圖4是由直徑為6厘米和8厘米的兩個半圓和一個直角三角形組成的,單獨求陰影部分面積比較困難。認真觀察圖形后發(fā)現(xiàn),陰影部分的面積等于直徑是6厘米和8厘米的兩個半圓加一個直角三角形的面積減去直徑是10厘米的大半圓的面積,即S=3.14×(3×3+4×4)÷2+6×8÷2-3.14×5×5÷2=24(平方厘米)。

        三、等積轉(zhuǎn)化法

        這個方法與切割填補法類似,都是在忠于題意的前提下實現(xiàn)對圖形的轉(zhuǎn)化,通過點的移動,改變原有圖形的形狀,但是陰影部分的面積卻不變,實現(xiàn)的是等積變換。

        圖5

        【例4】如圖5,已知一大一小兩個正方形拼湊在一起,大正方形的邊長為8厘米,求陰影部分的面積。

        圖6

        分析:題目并沒有告知小正方形的邊長,因此要想方設法將所求陰影部分轉(zhuǎn)化到大正方形中,如圖6。連接AB,得AB∥CD,因此點A和點B到CD的距離相等,得,即原來的陰影部分的面積總和保持不變。(平方厘米)。

        【例5】如圖7,求陰影部分的面積。(單位:厘米)

        圖7

        分析:圖中陰影部分是一個梯形,它的上底、下底和高都不知道,顯然無法直接求出它的面積。因此,要想方設法將其轉(zhuǎn)化為求另一個圖形的面積。觀察可知,平行四邊形BCDG的面積等于長方形ABCE的面積(等底等高),兩者都減去同一個三角形BCF,所以陰影部分的面積等于梯形ABFE的面積(如圖8),即S=(2+6)×4÷2=16(平方厘米)。

        圖8

        四、旋轉(zhuǎn)移動法

        一些圖形的陰影部分比較雜亂分散,看似毫無章法,但是進行適當旋轉(zhuǎn)、移動后重新組合在一起,就可以得到一個較為簡單的新圖形。

        【例6】如圖9,已知大圓的半徑等于小圓的直徑,大圓的半徑為4厘米,求陰影部分的面積。

        圖9

        圖10

        圖11

        分析:圖9中陰影部分分為三小塊,分別求出各部分的面積再相加非常困難。仔細觀察發(fā)現(xiàn),可以將圖形旋轉(zhuǎn)拼湊為圖10,陰影部分形如一個“逗號”,而整個大圓可以分成四個“逗號”(如圖11),那么陰影部分的面積就是整個大圓的,即(平方厘米)。

        【例7】一張斜邊長為30厘米的紅色直角三角形紙片和一張斜邊為50厘米的藍色直角三角形紙片以及一張黃色正方形紙片,拼成了一個大直角三角形(如圖12)。紅、藍兩張紙片的面積和為多少?

        圖12

        圖13

        分析:要求紅、藍兩張三角形紙片的面積之和,卻不知道高,很難分別求出面積,因此想辦法將它們合并在一起。因為黃色紙片為正方形,邊長相等,所以將紅色三角形旋轉(zhuǎn)至圖13。因為∠A+∠C=90°,所以三角形ABC為直角三角形,所以紅色三角形與藍色三角形的面積之和即為直角邊分別是50厘米和30厘米的三角形ABC的面積,所以紅、藍兩張紙片的面積和為S=50×30÷2=750(平方厘米)。

        五、重新構(gòu)圖法

        由于已知條件的限制,直接求解較難,又不能對圖形進行旋轉(zhuǎn)移動或割補填充時,可以嘗試將圖形重新構(gòu)造成一個容易求解的圖形。

        【例8】如圖14,AB=8厘米,CD=3厘米,∠B=45°,這個四邊形的面積是多少平方厘米?

        圖14

        分析:∠A=90°,∠B=45°,充分利用已知條件,構(gòu)造出一個等腰直角三角形(如圖15),此時解題思路顯而易見。AB=AE=8厘米,CD=CE=3厘米,四邊形ABCD的面積為S=S△ABE-S△CDE=8×8÷2-3×3÷2=27.5(平方厘米)。

        圖15

        【例9】如圖16,直角三角形ABC中,AD=15厘米,CE=5厘米,求陰影部分的面積。

        圖16

        圖17

        分析:根據(jù)已知條件很難直接求解,不妨以退為進,重新構(gòu)造出一個方便計算的長方形(如圖17)。因為,所以平方厘米)。

        當然,解決問題時不應孤立或生搬硬套地使用上述方法,而應通過觀察與思考,根據(jù)實際情況綜合、靈活地運用上述方法,從而提高解題效率。

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