譚啟濤，唐家銀，鄧 川

（西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，成都 611756）

0 引言

貯備一些同型零部件作為重要零部件的備份是工程中為提高系統(tǒng)的可靠性常用的方法之一。當(dāng)工作部件失效時(shí)，轉(zhuǎn)換開關(guān)將啟動(dòng)貯備部件瞬時(shí)進(jìn)入工作狀態(tài)，從而保證系統(tǒng)持續(xù)工作。但是貯備部件在貯備期存在性能退化的可能，導(dǎo)致貯備部件的工作壽命產(chǎn)生變化，故而評(píng)估該類型系統(tǒng)可靠性是相對(duì)困難的。

假設(shè)系統(tǒng)由n個(gè)部件組成，在初始時(shí)刻，一個(gè)部件開始工作，其余n-1個(gè)部件作貯備，當(dāng)工作的部件失效時(shí)，貯備部件逐個(gè)進(jìn)行替換，直至所有部件壽命終止，系統(tǒng)失效。冷貯備系統(tǒng)是指貯備的部件在貯備期間不失效，貯備對(duì)工作時(shí)的壽命沒有影響。溫貯備是指貯備的部件在貯備期也有可能失效，而且貯備壽命分布與工作壽命分布一般不同。

傳統(tǒng)的貯備系統(tǒng)研究一般假定工作壽命分布指數(shù)型，且部件的壽命相互獨(dú)立，溫貯備系統(tǒng)還假定部件的工作壽命與貯備時(shí)間互不影響。顯然，此類可靠性計(jì)算模型基于的三類條件不能完全適用于實(shí)際工況。為此，近年來國內(nèi)外學(xué)者也對(duì)貯備系統(tǒng)進(jìn)行了進(jìn)一步的研究。但相關(guān)文獻(xiàn)[1-9]研究的貯備系統(tǒng)可靠度模型，均是在各部件的工作壽命相互獨(dú)立，貯備期不影響零部件工作壽命的基礎(chǔ)上建模。實(shí)際中，完全獨(dú)立的情況是相對(duì)理想化的，同一工作體系下部件的先后工作壽命，由于承受共同的外載環(huán)境沖擊影響，使得各部件的工作壽命存在一定的相關(guān)性；溫貯備系統(tǒng)中，貯備過程對(duì)部件的工作壽命也存在一定的影響，部件的失效率應(yīng)隨著時(shí)間t變化；對(duì)于機(jī)械結(jié)構(gòu)系統(tǒng)而言，部件在長(zhǎng)期載荷作用下會(huì)呈現(xiàn)性能退化趨勢(shì)，假定失效率服從偶然失效型的指數(shù)分布有失偏頗。

針對(duì)以上諸問題，本文從以下方面進(jìn)行了研究：部件的工作壽命服從一般型分布，不局限于指數(shù)分布；考慮轉(zhuǎn)換開關(guān)服從0-1分布和連續(xù)型分布，并對(duì)連續(xù)型分布情形進(jìn)行了兩種分類討論；引入了Copula函數(shù)，考慮了部件之間的失效相關(guān)性，并給出了Copula函數(shù)統(tǒng)計(jì)性選擇方法；建立了n維冷貯備系統(tǒng)與溫貯備系統(tǒng)可靠度優(yōu)化計(jì)算模型。

1 符號(hào)說明

Xi：第i個(gè)部件的工作壽命，i=1，2，…，n。

Xs：系統(tǒng)的壽命。

Z：轉(zhuǎn)換開關(guān)的壽命。

Yj：第j個(gè)貯備部件的貯備壽命，j=2，3，…，n。

FXi(xi)：第i個(gè)部件的工作壽命的分布函數(shù)，i=1，2，…，n。

FZ(z)：轉(zhuǎn)換開關(guān)的壽命分布。

FYj(yj)：貯備部件的貯備壽命的分布函數(shù)，j=2，3，…，n。

fXi(xi)：第i個(gè)部件的工作壽命的密度函數(shù)，i=1，2，…，n。

Xi，1，…，Xi，k，…，Xi，i：從X2，…，Xn選出 i個(gè)，其中i=0，1，…，n-1 ；k=1，2，…，i。其中i，k表示Xi，k在X2，…，Xn的下標(biāo)，對(duì)于每一個(gè)固定的i，存在種不同取法。后文中為了使積分表達(dá)式更為簡(jiǎn)潔，簡(jiǎn)記：i，0=1和i，(i+1)=n+1 。

I：示性函數(shù)。

p,q：p是0-1分布事件發(fā)生的概率，q=1-p。

2 Copula定義及相關(guān)定理

定義1[10]：n維Copula是一個(gè)函數(shù)C：[0,1]n→[0,1]，且滿足：

當(dāng)ui，i≠k，i=1，2，…，n=1，對(duì)任意 0 ≤uk≤ 1，則：

（2）對(duì)于 In中任意由的每個(gè)分量 ai不大于的對(duì)應(yīng)分量bi）構(gòu)成的n維盒子，盒子的Copula測(cè)度實(shí)則是從關(guān)于Cn的n階差分。

定理1[10]：（n維Sklar定理）H(x1，x2，…，xn)是n維隨機(jī)變量(X1，X2，…，Xn)的聯(lián)合分布函數(shù)，其邊際分布分別是F(x1)，F(xiàn)(x2)，…，F(xiàn)(xn)，那么存在唯一的 n維 Copula函數(shù)C(u1，u2，…，un)，使得對(duì)任意的 (x1，x2，…，xn)∈Rn有：

其中θ是相關(guān)程度參數(shù)，Cθ解析形式因相關(guān)結(jié)構(gòu)各異。

3 相關(guān)性失效下n部件冷貯備系統(tǒng)可靠度計(jì)算模型

對(duì)于轉(zhuǎn)換開關(guān)完全可靠型冷貯備系統(tǒng)，系統(tǒng)壽命：Xs=X1+X2+ …Xn

當(dāng)部件的工作壽命 X1，X2，…，Xn不獨(dú)立時(shí)，Xs壽命分布涉及各部件壽命聯(lián)合密度函數(shù)f(x1，x2，…，xn)。X1，X2，…，Xn的相關(guān)結(jié)構(gòu)Cθ(u1，u2，…，un)可以通過后續(xù)方法，依據(jù)樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)擬合得到，由n維Sklar定理，X1，X2，…，Xn聯(lián)合密度函數(shù)：

則n部件冷貯備系統(tǒng)的可靠度模型為：

而當(dāng)轉(zhuǎn)換開關(guān)0-1分布型，為了求得系統(tǒng)可靠度，引入隨機(jī)變量：

對(duì)于該種冷貯備系統(tǒng)，開關(guān)正常的概率為p，系統(tǒng)壽命：

則n部件冷貯備系統(tǒng)的可靠度模型為：

進(jìn)一步考慮轉(zhuǎn)換開關(guān)壽命服從一般連續(xù)型分布，開關(guān)對(duì)系統(tǒng)的影響存在兩種情況。

情況一：當(dāng)開關(guān)失效時(shí)，系統(tǒng)立即失效。系統(tǒng)壽命為：

因此該種情況系統(tǒng)可靠度計(jì)算模型為：情況二：當(dāng)開關(guān)失效時(shí)，系統(tǒng)并不立即失效，當(dāng)工作部件需要轉(zhuǎn)換開關(guān)時(shí)，系統(tǒng)由于轉(zhuǎn)換失效而失效。則系統(tǒng)壽命為：

因此系統(tǒng)可靠度計(jì)算模型為：

4 相關(guān)性失效下n部件溫貯備系統(tǒng)可靠度計(jì)算模型

4.1 轉(zhuǎn)換開關(guān)完全可靠型計(jì)算模型

n=3時(shí)，考慮Xs的分布函數(shù)：

n=4時(shí)，考慮Xs的分布函數(shù)：

可以看出，溫貯備的n-1部件在貯備期都有可能失效，因此系統(tǒng)壽命：

Xs=X1+貯備期未失效部件工作壽命

假設(shè)i表示貯備的n-1個(gè)部件中未失效的個(gè)數(shù)，那么系統(tǒng)壽命就會(huì)出現(xiàn)種情形，這2n-1種情形是互斥的，那么系統(tǒng)的分布函數(shù)即是這2n-1種情形發(fā)生的概率之和。

現(xiàn)從n-1個(gè)貯備部件中抽取i個(gè)，并將抽取出部件記為Xi，1，…，Xi，k，…，Xi，i。則對(duì)于每一個(gè) i，存在種不同的取法。其任一種取法可以表示如下：

等價(jià)于：

符號(hào)“∩?”表示同時(shí)發(fā)生。因此該事件發(fā)生的概率為：

則n部件溫貯備可靠度計(jì)算模型：

4.2 轉(zhuǎn)換開關(guān)0-1分布型計(jì)算模型

考慮轉(zhuǎn)換開關(guān)時(shí)，仍然存在2n-1種互斥的壽命組合，但導(dǎo)致系統(tǒng)失效的原因有兩個(gè)：①當(dāng)正在工作的部件失效，需要轉(zhuǎn)換開關(guān)時(shí)，由于轉(zhuǎn)換開關(guān)失效而引起的系統(tǒng)失效；②當(dāng)正在工作的部件失效，轉(zhuǎn)換開關(guān)并未失效，之后的貯備的部件已經(jīng)全部失效而引起系統(tǒng)失效。但是一定要注意，當(dāng)任一種壽命組合，如果Xi，i=Xn，那么引起系統(tǒng)失效的原因是由n個(gè)部件使用完畢而導(dǎo)致的。

（1）若第n個(gè)貯備部件失效，那么共有種情形

現(xiàn)從第2個(gè)至第n-1個(gè)貯備部件中抽取i個(gè)，并將抽取出部件記為Xi，1，…，Xi，k，…，Xi，i。則對(duì)于每一個(gè)i，存在種取法。其中任一種取法表示為：

因此事件Ai發(fā)生的概率為：

現(xiàn)從第2個(gè)至第n-1個(gè)貯備部件中抽取i個(gè)，并將抽取出部件記為Xi，1，…，Xi，k，…，Xi，i。則對(duì)于每一個(gè)i，存在種取法。其中任一種取法表示為：開關(guān)正常使用了n-1次)

事件Bi發(fā)生的概率為：

故系統(tǒng)的可靠度計(jì)算模型：

4.3 轉(zhuǎn)換開關(guān)連續(xù)型計(jì)算模型

對(duì)于轉(zhuǎn)換開關(guān)服從連續(xù)型分布的溫貯備系統(tǒng)，開關(guān)對(duì)系統(tǒng)的影響存在兩種情況。

情況一：當(dāng)開關(guān)失效時(shí)，系統(tǒng)立即失效。

Xs=min(X1+貯備期未失效部件的工作壽命，Z)

因此系統(tǒng)的可靠度計(jì)算模型：

情況二：當(dāng)開關(guān)失效時(shí)，系統(tǒng)并不立即失效，而需要轉(zhuǎn)換開關(guān)時(shí)，系統(tǒng)失效。

（1）若第n個(gè)貯備部件失效，那么共有種情形

現(xiàn)從第2至第n-1個(gè)貯備部件中取出i個(gè)，并將抽取出部件記為Xi，1，…，Xi，k，…，Xi，i。則對(duì)于每一個(gè)i，存在種取法。則任一種取法表示為：

事件Ci發(fā)生的概率為：

（2）第n個(gè)貯備部件未失效，那么共有種情形，此時(shí)系統(tǒng)失效的原因一定是n個(gè)部件使用完畢而導(dǎo)致的。

現(xiàn)從第2至第n-1個(gè)貯備部件中取出i個(gè)，并將抽取出部件記為Xi，1，…，Xi，k，…，Xi，i。則對(duì)于每一個(gè)i，存在種取法。則任一種取法表示為：

事件Di發(fā)生的概率為：

故系統(tǒng)的可靠度計(jì)算模型：

5 相關(guān)性的模型統(tǒng)計(jì)選擇

在工程中，貯備部件的工作壽命受貯備時(shí)間的影響，貯備部件的工作壽命會(huì)隨貯備時(shí)間增長(zhǎng)而呈現(xiàn)減短趨勢(shì)。實(shí)際中只能獲得各部件的工作壽命數(shù)據(jù)，假設(shè)對(duì)n個(gè)部件構(gòu)成的系統(tǒng)做了m次觀測(cè)，獲得數(shù)據(jù)xij，i=1，2，…，m，j=1，2，…，n：

為計(jì)算系統(tǒng)的可靠度，需估計(jì)部件的工作壽命分布和相關(guān)結(jié)構(gòu)進(jìn)行選擇，具體步驟如下：

第一步:由第j，j=1，2，…，n個(gè)部件的工作壽命數(shù)據(jù)xij，i=1，2，…，m，可以估計(jì)出各部件的工作壽命分布

第二步:通過觀察 (FXi(xt，)，F(xiàn)Xj(xt，))散點(diǎn)圖，其中t=1，2，…，m，1≤i，j≤n，i≠j，選出符合響應(yīng)特征的備擇Copula函數(shù)：Ct(u1，u2，…，un，βt)，t=1，…，k；

第三步:根據(jù)每一備擇Ct(u1，u2，…，un，βt)，得到對(duì)應(yīng)似然函數(shù)：

通 過 極 大 似 然 估 計(jì) 方 法 ，可 以 估 計(jì) 出，t=1，2，…，k；

第四步:將樣本數(shù)據(jù)按列變量排序：

比較St，選擇使St最小的

6 算例

一臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)于工作時(shí)間t（單位：h）的故障率λ1(t)=0.002t+0.04，另有兩臺(tái)同樣型號(hào)的發(fā)動(dòng)機(jī)作溫貯備，貯備期的失效率為常數(shù)λ=0.0001，貯備的發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行工作的失效率為λ2(t)=0.004t+0.04，轉(zhuǎn)換開關(guān)服從p=0.95的0-1分布，轉(zhuǎn)換瞬時(shí)完成，設(shè)三個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)工作壽命相關(guān)結(jié)構(gòu)服從參數(shù)θ=-0.2的Frank Copula函數(shù)，嘗試分析系統(tǒng)工作時(shí)間的可靠度。

根據(jù)部件工作壽命失效相關(guān)，開關(guān)服從0-1分布的溫貯備系統(tǒng)可靠度計(jì)算模型（12），易得：

獨(dú)立情形僅僅是相關(guān)性的一種特殊情況，若是假定X1，X2，X3是 獨(dú) 立 關(guān) 系 ，則 只 需 將 Copula 函 數(shù) 取 為C(u1，u2，u3)=u1u2u3。則其系統(tǒng)可靠度R隨時(shí)間t的變化，如圖1所示。

圖1 發(fā)動(dòng)機(jī)系統(tǒng)可靠度變化對(duì)比圖

從圖1可以得出，系統(tǒng)的可靠度隨工作時(shí)間的增加而降低?？紤]零部件失效相關(guān)和相互獨(dú)立，分別計(jì)算系統(tǒng)的可靠度，其差異隨工作時(shí)間的增加而增加，當(dāng)工作時(shí)間較大時(shí)，差異較明顯。

7 結(jié)論

部件失效相關(guān)性是機(jī)械系統(tǒng)可靠性工程的一個(gè)重要特征。為此，本文基于Copula相關(guān)性理論，考慮了轉(zhuǎn)換開關(guān)的分布類型，在零部件失效相關(guān)性下，建立了n部件冷貯備系統(tǒng)和溫貯備系統(tǒng)可靠度的普適模型，算例發(fā)現(xiàn)：在零部件失效相關(guān)和獨(dú)立下，兩者可靠度差異較為明顯。按照傳統(tǒng)獨(dú)立模型獲得的可靠度結(jié)果往往過于保守，易造成對(duì)系統(tǒng)可靠性的錯(cuò)誤估計(jì)。

雖然相關(guān)性貯備系統(tǒng)可靠性計(jì)算模型稍顯復(fù)雜，但是n部件冷貯備系統(tǒng)和溫貯備系統(tǒng)可靠度普適模型的計(jì)算規(guī)律可以通過計(jì)算機(jī)程序?qū)崿F(xiàn)。當(dāng)然相關(guān)結(jié)構(gòu)Copula函數(shù)的確定以及其中相關(guān)程度參數(shù)的估計(jì)需要以樣本數(shù)據(jù)為前提，借助相關(guān)統(tǒng)計(jì)理論方法完成。

在本文建立模型的基礎(chǔ)上，下一步可以在某種約束下，比如在費(fèi)用、技術(shù)等約束條件下，探討系統(tǒng)的冗余貯備最優(yōu)分配方案等更多可靠性工程應(yīng)用策略。