程 海 ，袁曉軍

（1.中科院上海微系統(tǒng)與信息技術(shù)研究所上海200050；2.上?？萍即髮W(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，上海201210；3.中國科學(xué)院大學(xué)北京101408；4.電子科技大學(xué)通信抗干擾國家級重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川成都611731）

計(jì)算轉(zhuǎn)發(fā)（Compute-and-forward，CF）利用結(jié)構(gòu)編碼來管理無線通信網(wǎng)絡(luò)中的干擾信號[1]。CF的核心思想是計(jì)算多個(gè)信源信息的整數(shù)線性組合，而不是直接解碼單個(gè)信源的信息，以此在計(jì)算中來抑制干擾信號。嵌套網(wǎng)格編碼[2，12]在CF中被采用來保證計(jì)算出的整數(shù)組合依舊是有效的碼字。

自從CF的出現(xiàn)以來，很多工作探討了如何提升基于CF網(wǎng)絡(luò)的吞吐率[3-11]。特別地，在參考文獻(xiàn)[3]中提出了一種新的中繼策略——計(jì)算壓縮轉(zhuǎn)發(fā)（Compute-compress-and-forward，CCF）——來減少中繼處的信息冗余。在CCF中，每個(gè)中繼對計(jì)算出的信息進(jìn)行基于仔細(xì)選擇的嵌套網(wǎng)格對的量化和取模操作。文獻(xiàn)[3]中證明了CCF相對于CF有顯著的性能增益。然而，沒有理論分析表明中繼處的信息冗余能被一次的量化取模操作去除；同時(shí)，CCF的性能極限也是未知的。

文中，我們將通過在每個(gè)中繼端進(jìn)行多次量化和取模操作來得到廣義計(jì)算壓縮轉(zhuǎn)發(fā)策略（Generalized-compute-compress-and-forward，GCCF）。我們首先在給出本文提出的信息無損的壓縮策略GCCF。然后，我們給出GCCF的性能即壓縮后碼率以及可達(dá)碼率區(qū)域等。理論分析結(jié)果表明，相比于原始的CCF[3]，GCCF能達(dá)到更大的壓縮速率區(qū)域。在文章最后，我們將GCCF中繼策略應(yīng)用到一個(gè)多用戶多中繼單接收端的兩跳無線中繼網(wǎng)絡(luò)中。數(shù)值仿真結(jié)果表明了本文提出的GCCF策略的優(yōu)異性能。

1 背景知識介紹

1.1 系統(tǒng)模型

考慮一個(gè)干擾信道，其中有L個(gè)發(fā)送端和L個(gè)接收端。每個(gè)發(fā)送端或者接收端只有一根天線。發(fā)送端?的信息是一個(gè)向量，其中γ是一個(gè)素?cái)?shù)。發(fā)送端l將wl編碼成實(shí)數(shù)向量xl然后將xl通過加性高斯白噪聲信道發(fā)送到接收端。接收端m接收到的信號為:

其中hml∈N(0,1)是從發(fā)送端I到接收端m的信道系數(shù)。zm∈?n×1是服從N(0,In)分布的高斯噪聲向量，其中In是一個(gè)n-by-n單位矩陣，Jl表示從1到?的整數(shù)索引集合。信道矩陣表示為H=[h1,h2,…,hL]T，其中hm=[hm1,hm2,…,hmL]T是被接收端m觀察到的信道向量。發(fā)送端?的平均發(fā)送功率為并且滿足pl≤Pl，其中Pl是發(fā)送端?的最大功率。我們假設(shè)全部的信道狀態(tài)信息都被完好地獲取。

CCF策略可以被用于公式（1）中的信道模型。在CCF策略中，每個(gè)發(fā)送端用嵌套網(wǎng)格碼編碼待發(fā)送信息。每個(gè)接收端從接受信號中計(jì)算出信源發(fā)送碼字的一個(gè)整數(shù)線性組合，然后對計(jì)算出的信息進(jìn)行壓縮操作。壓縮操作的目的是減少接收端作為中繼轉(zhuǎn)發(fā)時(shí)的發(fā)送速率，以此來提升整個(gè)中繼網(wǎng)絡(luò)的頻譜效率。本文的主要目的是擴(kuò)展CCF中的壓縮操作來進(jìn)一步提升系統(tǒng)吞吐率。

1.2 嵌套網(wǎng)格碼

我們首先給出嵌套網(wǎng)格編碼的基本概念。一個(gè)網(wǎng)格（lattice）Λ∈?n是一個(gè)離散的加法群，即：如果t1∈Λ 而且t2∈Λ，那么t1+t2∈Λ。一個(gè)網(wǎng)格可以被表示為 Λ={s=Gc:c∈?n×1}，其中G∈?n×n是Λ的生成矩陣?；讦牧炕硎緸镼Λ(x)=argmt∈iΛn‖t-x‖，其中‖·‖表示向量的二范數(shù)。量化誤差是xmodΛ=x-QΛ(x)，其中“mod”表示取模操作.網(wǎng)格 Λ 的Voronoi區(qū)域定義為V={x∈?n:QΛ(x)=0}。網(wǎng)格Λ的二階距表示為，其中 Vol(V)是V的體積。如果Λ1?Λ2，那么我們說Λ1是嵌套在Λ2里，并且說Λ1比 Λ2更粗（或者說Λ2比 Λ1更細(xì)）。我們構(gòu)建一個(gè)嵌套網(wǎng)格碼碼本C基于嵌套網(wǎng)格碼對 (Λs,Λc)并滿足Λs?Λc，其中 Λs叫塑形網(wǎng)格，Λc叫編碼網(wǎng)格。那么網(wǎng)格碼碼本C可以背表示為C=ΛcmodΛs=Λc?Vs。碼本C的速率為，其中l(wèi)og表示以2為底的對數(shù)函數(shù)。

圖1 干擾信道模型

1.3 發(fā)送端處的編碼

我們按照文獻(xiàn)[1]中的方法構(gòu)建一個(gè)包含2L個(gè)網(wǎng)格的嵌套網(wǎng)格鏈Λ1,Λ2,…,Λ2L。具體構(gòu)造方法如下所述。讓i1,i2,…,i2L為一些滿足0≤i1≤i2≤…≤i2L≤K的整數(shù)，其中K是一個(gè)足夠大的整數(shù).考慮矩陣其中每個(gè)元素都是獨(dú)立同分布于Fγ。讓Gk為一個(gè)包含G中前ik列的矩陣，k∈J2L。令。構(gòu)建網(wǎng)格其中B∈?n×n，g(·)將屬于 FFγ的元素映射到對應(yīng)的整數(shù){0，1，…，γ-1}。因此，按照該方法構(gòu)建的網(wǎng)格是嵌套的：Λ1?Λ2?…?Λ2L。每個(gè)信源?從嵌套網(wǎng)格鏈中選取一個(gè)嵌套網(wǎng)格對(Λs,l,Λc,l)來構(gòu)造嵌套網(wǎng)格碼碼本Cl=Λc,l?Vs,l。特別地，Cl由嵌套網(wǎng)格對(Λπ(2l-1),Λπ(2l))來構(gòu)造，其中 π(·)是一個(gè)從J2L到J2L的一一映射函數(shù)，且滿足。發(fā)送端 ?的信息wl是均勻分布與，其中我們首先將wl進(jìn)行補(bǔ)零得到一個(gè)元素個(gè)數(shù)為K的向量w?l：

然后通過函數(shù)?l(·) 將映射為碼字tl∈CL:

我們函數(shù)?l(·)是一個(gè)從到Cl的一一映射函數(shù)[1]。信源l的碼率為。按照[6]中的方法，我們構(gòu)造信道輸入信號：

1.4 接收端處的計(jì)算操作

在接收到公式（1）中信號ym后，接收端m解碼出信源網(wǎng)格碼字的一個(gè)線性組合：

其中aml是整數(shù)系數(shù)，是殘余擾動信號。由于該部分不是本文的主要討論內(nèi)容，故直接引用[6]中已有結(jié)論。我們說一個(gè)速率元組（r1，r2，…，rL）是可達(dá)的如果，其中是對目標(biāo)碼字vm的估計(jì)?；赱6]中的結(jié)論，速率元組（r1，r2，…，rL）是可達(dá)的如果對于任意的l∈JL，

1.5 接收端處的壓縮操作

我們從式（5）可以得知，接收端處解碼得到的{vm}一般是概率相關(guān)的，因?yàn)樗鼈兪怯上嗤募蠘?gòu)造來的。注意到本文考慮的模型（1）中每個(gè)接收端都作為中繼節(jié)點(diǎn)。將{vm}直接發(fā)送到下一跳信道中會導(dǎo)致信道頻譜低效化。因而，每個(gè)接收端m須要壓縮{vm}。特別地，接收端處的壓縮操作可以表示為

其中δm的碼率為Rm（≤rm），ψm(·)是接收端m處的壓縮函數(shù)。對于整個(gè)策略，壓縮過程需要是信息無損的，即可以從中完整的恢復(fù)出來。我們說壓縮速率元組（R1，R2，…，RL）是可達(dá)的如果可以從中無失真的恢復(fù)。可達(dá)壓縮速率元組的凸包構(gòu)成了壓縮速率區(qū)域，記作為Rcpr，其中``cpr''是壓縮（compression）的縮寫。

2 提出的壓縮策略

在本節(jié)中，我們提出一個(gè)基于網(wǎng)格操作（量化和取模）的壓縮策略。我們首先描述一個(gè)叫做網(wǎng)格碼字分解（lattice codeword splitting）的技術(shù)。然后，我們給出本文提出的基于該碼字分解技術(shù)的壓縮策略。本文提出的壓縮策略是計(jì)算壓縮轉(zhuǎn)發(fā)策略的一個(gè)擴(kuò)展。

2.1 網(wǎng)格碼字分解

我們首先描述基于量化和取模操作的碼字分解技術(shù)。這部分內(nèi)容是后文中的壓縮方法的基礎(chǔ)。通過網(wǎng)格對(Λk,Λk+1)構(gòu)建一個(gè)虛擬嵌套網(wǎng)格碼本Cv,k：

其中下標(biāo)``v''表示“虛擬”（``virtual''）。碼本Cv,k的碼率為:

定義tl的第k個(gè)碼字單元為:

很明顯，tl,k是碼本Cv,k中的碼字。定義兩個(gè)索引集合如下:

注意到 Λs,l?Λk?Λk+1?Λc,l表示Cv,k?Cl。因此，Lk是一個(gè)包含所有?滿足Cv,k?Cl的集合；kl是一個(gè)包含所有k滿足Cv,k?Cl的集合。因此，我們有

我們現(xiàn)在可以將碼字tl分解為：

通過如上所述的分解方法，tl可以唯一地被映射為碼字單元元組；對于任意給定的，tl可以按照式（13）被恢復(fù).因此，tl與之間的映射是一一對應(yīng)的。故而，rl可以表示為:

令vm的第k個(gè)碼字單元為:

2.2 壓縮函數(shù)的設(shè)計(jì)及性質(zhì)

在本小節(jié)中，我們給出如何設(shè)計(jì)壓縮函數(shù){ψm(·)} 基于量化和取模操作（QM）。在給定2.1節(jié)中的碼字分解技術(shù)，我們能表明本文提出的策略是信息無損的。我們也表明文獻(xiàn)[3]中的單次QM操作對于壓縮是不充分的。最優(yōu)的壓縮函數(shù)一般來說應(yīng)該包含多次QM操作。為了區(qū)分我們的多次QM操作方法與文獻(xiàn)[3]中的單次QM操作方法，我們將本文的方法叫作廣義計(jì)算壓縮轉(zhuǎn)發(fā)（generalized CCF，GCCF）。

接下來我們先給出一些定義和符號。我們按照文獻(xiàn)[1]中的方式將A∈?L×L映射到。帶有一些符號濫用，我們用A代替g-1(Amodγ)。對于任意的S?JL，S′?JL，用A(S,S′)表示A的行索引為S、列索引為S′的子矩陣。用表示S∈JL的補(bǔ)集。令 πα(·)為（1，2…，L）的一個(gè)重排。令。令Jm為：

其中 rank(A)是在上計(jì)算的。從式（17）我們看到k∈Jm意味著是與的行線性獨(dú)立的。

定理一、一個(gè)信息無損的壓縮策略給出如下：

我們給出關(guān)于該壓縮策略的直觀解釋。注意到壓縮操作的目的是減少中繼處解碼碼字之間的冗余信息。從式（16）得知，vm,k是 {tl,k,l∈Lk}的一個(gè)線性組合（忽略殘余擾動信號）?？梢园l(fā)現(xiàn)vπα(m),k是線性獨(dú)立于。因此，上述壓縮策略的意義就是在于選擇vm中獨(dú)立的碼字單元來構(gòu)造δm。

定理二、壓縮策略（18）的可達(dá)壓縮速率元組由（R1，R2，…，RL）給出，其中Rm是δm的歸一化熵率:

其中H（·）表示熵函數(shù)。此外，{δm}的熵滿足

公式（20）表明在壓縮后的碼字 (δ1,δ2,…,δL)之中沒有冗余信息。

定理三、GCCF的一個(gè)可達(dá)壓縮速率對為:

為了節(jié)省空間，我們在本文中略去以上定理的證明。詳細(xì)證明均在文獻(xiàn)[13]中提及。主要運(yùn)用的技巧來源于文獻(xiàn)[14-16]。

圖2 可達(dá)速率區(qū)域

例：我們給一個(gè)例子來闡明定理一種的GCCF策略?？紤]式（1）中的帶有2個(gè)發(fā)送端與2個(gè)接收端的信道模型。嵌套網(wǎng)格鏈被設(shè)為：Λs,1(=Λ1)?Λs,2(=Λ2)?Λc,1(=Λ3)?Λc,2(=Λ4)。正數(shù)系數(shù)矩陣被設(shè)置為A=[1,1;1,0]。從式（11）下方二索引集合定義，我們有（L1，L2，L3）=（{1}，{1，2}，{2}），（k1，k2）=（{1，2}，{2，3}）信源碼率為r1=rv，1+rv，2，r2=rv，2+rv，3，總碼率為rsum=rv，1+2rv，2+rv，3。

考慮定理一中的壓縮操作。讓α1≥α2，那么πα(l)=l,l∈J2。通過計(jì)算式（17）中的秩，我們得到

由式（18），接收端1、2處的壓縮操作分別為：

那么可達(dá)速率元組（R1，R2）為：

按照（21），我們得到Rcpr:R1≥rv,2+rv,3，R2≥rv,2，R1+R2≥rsum。

上式中的Rcpr由圖2給出。式（22）中的碼率元組（R1，R2）對應(yīng)于在圖中的頂點(diǎn)B。這也就是說，我們可以通過式（18）中的方法達(dá)到頂點(diǎn)B。從vm的定義，我們看到v1∈Λ4?V1和v2∈Λ3?V1。因此，v1的碼率為rv,1+rv,2+rv,3，v2的碼率為rv,1+rv,2。通過壓縮，總壓縮碼率被從rv,1+rsum降低至rsum，其中rsum是無損壓縮的性能極限。

3 兩跳中繼網(wǎng)絡(luò)的性能優(yōu)化

3.1 兩跳中繼網(wǎng)絡(luò)

我們考慮一個(gè)兩跳的中繼網(wǎng)絡(luò)，如圖3中所示。第一跳是一個(gè)如式（1）所示的干擾信道。在第二跳信道中，第一跳中的L個(gè)接收端成為發(fā)送端，同時(shí)單個(gè)終端收集到接收從信源發(fā)送的信息。第一跳中的每個(gè)接收端將δm重新編碼后發(fā)送到第二跳中的終端。用Rm表示δm重新編碼后的碼率。為了使問題簡單、易于解決，第二跳信道被設(shè)置為并行信道。那么，終端觀察到從中繼m發(fā)送的信號為，其中hm是信道增益，式被中繼m發(fā)送的功率為的信號，獨(dú)立分布于N(0,In)。因此，第二跳信道的容量區(qū)域由下式給出：

圖3 多用戶兩跳無線中繼網(wǎng)絡(luò)模型

3.2 總速率優(yōu)化與數(shù)值仿真

我們考慮圖中描述的兩跳中繼網(wǎng)絡(luò)的總速率最大化問題。基于前文的討論，一個(gè)傳輸速率對（r1，r2，…，rL）是可達(dá)到的如果1）中繼處能正確進(jìn)行計(jì)算：(r1,r2,…,rL)∈Rcpu，2）中繼處的壓縮操作滿足(R1,R2,…,RL)∈Rcpu且轉(zhuǎn)發(fā)碼率不超過第二跳信道容量 (R1,R2,…,RL)∈RC。那么參照文獻(xiàn)[3，11]中的優(yōu)化方法，并在仿真中采取如下的參數(shù)設(shè)置:Pl=P;0.1≤βl≤4,l∈JL；PR,m=0.25P，m∈JL。

2×2和4×4的無線中繼網(wǎng)絡(luò)的仿真結(jié)果在圖4中給出。仿真結(jié)果是在進(jìn)行500次獨(dú)立的仿真后進(jìn)行平均得到的。注意到圖中CCF表示原始CCF[3]。從圖4，我們看到相比于CCF，GCCF能夠達(dá)到更高的總速率，尤其是在發(fā)送端、中繼數(shù)量較多的網(wǎng)絡(luò)中。

圖4 數(shù)值仿真結(jié)果

4 結(jié)論

在本文中，我們提出了一種基于計(jì)算轉(zhuǎn)發(fā)中繼網(wǎng)絡(luò)的廣義的壓縮框架，叫作廣義計(jì)算壓縮轉(zhuǎn)發(fā)（GCCF）。與原始CCF策略中單次取模量化（QM）操作不同，我們提出的GCCF策略在每個(gè)中繼處采取多次QM操作，以此來更有效地減少冗余信息。理論分析結(jié)果表明GCCF的可達(dá)壓縮速率區(qū)域比CCF要寬闊。我們也說明了GCCF在最小化總壓縮碼率意義上是最優(yōu)的。基于上述結(jié)論，我們研究了基于GCCF策略的兩跳中繼網(wǎng)絡(luò)的總碼率最大化的問題。仿真結(jié)果表明我們提出的GCCF策略優(yōu)于其他現(xiàn)有的一些中繼策略。