，，

(江蘇科技大學 土木工程與建筑學院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003 )

1 研究背景

極限分析理論一般基于上下限定理對邊坡的極限承載力進行求解，其通常假設(shè)極限狀態(tài)下的滑裂面通過坡趾或坡趾下方[1-3]。實際上當坡頂局部堆載且較大時，往往會在坡面先行發(fā)生局部破壞，即滑裂面不經(jīng)過坡趾。例如：邊坡上方修建構(gòu)筑物，路堤上的車輛荷載等，此類邊坡采用傳統(tǒng)假設(shè)并不合理。何思明等[4]給出了坡頂局部荷載作用下的邊坡穩(wěn)定性計算公式，分析結(jié)果表明局部荷載對滑裂面的分布有顯著的影響。

較之構(gòu)造靜定平衡的應(yīng)力場，機動許可的速度場往往更容易通過計算求解，因此上限法被廣泛應(yīng)用于邊坡穩(wěn)定中[2,5]。目前均質(zhì)邊坡的上限法分析已被廣泛運用，對于土體類型和性質(zhì)隨空間變化的非均質(zhì)邊坡[6-8]，已有不少學者采用上限法展開研究。王均星等[9]基于有限單元法建立了非均質(zhì)土邊坡的上下限數(shù)學規(guī)劃模型，給出了相應(yīng)的應(yīng)力場和速度場。欒茂田等[10]基于上限定理和抗剪強度折減系數(shù)，考慮土體強度的非均質(zhì)性，在采用抗滑樁加固的情況下建立了極限平衡方程，探討了抗滑樁的極限抗力和最優(yōu)加固位置。Kumar和Samui[11]采用整體法的對數(shù)螺旋線破壞機構(gòu)研究了土體參數(shù)分層變化情況下的邊坡穩(wěn)定性。方薇等[12]在假定非均質(zhì)邊坡滑裂面為對數(shù)螺旋線的情況下，運用上限法研究了黏聚力線性變化對邊坡穩(wěn)定性的影響。孫志彬等[13]將邊坡進行離散，利用上限法對黏聚力和內(nèi)摩擦角線性變化時的邊坡進行穩(wěn)定性分析。以上學者皆是基于傳統(tǒng)的極限分析理論，假設(shè)滑裂面通過坡趾并只考慮了自重情況下的影響，未對局部荷載作用下的非均質(zhì)邊坡進行深入研究。

上限法服從關(guān)聯(lián)流動法則，即滑動面切線方向和土體速度方向的夾角等于內(nèi)摩擦角，因此內(nèi)摩擦角的空間分布決定了滑裂面的形狀特征。對于只有黏聚力變化時的非均質(zhì)邊坡，仍然可以采用整體法將滑裂面假設(shè)為對數(shù)螺旋線進行計算。本文基于上述學者對坡頂局部荷載和非均質(zhì)土的研究，將以上2種不同形式統(tǒng)一結(jié)合起來，以局部荷載作用于坡頂且滑裂面不限制通過坡趾或坡趾下方為計算模型，結(jié)合極限分析上限法，針對黏聚力隨深度線性分布的非均質(zhì)邊坡，推導了坡頂局部荷載作用下的邊坡穩(wěn)定性計算公式，給出了穩(wěn)定性與黏聚力以及坡頂荷載之間的定量關(guān)系，將理論公式轉(zhuǎn)化為擁有多個變量的極小值問題，并給出了最優(yōu)解。

2 能耗計算及穩(wěn)定性分析

為求得上限解，需尋找滿足機動許可的速度場。本文假設(shè)邊坡破壞機構(gòu)為旋轉(zhuǎn)間斷面，滑裂面假定通過坡趾或坡面上的某點。如圖1所示，滑塊BCD為剛體繞O點沿著CD面做剛體轉(zhuǎn)動，CD為速度間斷面。圖1中：β為邊坡坡角；H為坡高；h為滑裂面的臨界高度,且h≤H;γ為土體重度;ω為旋轉(zhuǎn)角速度;φ為內(nèi)摩擦角;θ為滑裂面上任意一點所對應(yīng)的極角;γθ為滑裂面上極角θ所對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)半徑;q為坡頂作用的局部荷載;b為作用寬度；L為滑裂面起點到坡頂?shù)木嚯x；a為局部荷載到坡頂?shù)木嚯x;滑裂面上極角θ處的滑動速度為Vθ。

圖1 邊坡對數(shù)螺旋線破壞機構(gòu)Fig.1 Log-spiral failure mechanism of slope

假設(shè)滑塊前后緣與旋轉(zhuǎn)中心O的連線與水平方向的夾角分別為θ0，θh。根據(jù)對數(shù)螺旋線方程r=r0exp[(θ-θ0)tanφ]，則有如下比例關(guān)系：

(1)

(2)

式中r0和rh分別為θ0和θh對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)半徑。

2.1 外功率計算

外功率由邊坡重力和坡頂局部荷載提供。重力對滑塊BCD所做的功率Ws可由OCD，OBD和OBC各土塊所做外功率求得,則有

(3)

其中：

f1(θh,θ0)=

圖2 外荷載所做功率示意圖Fig.2 Illustration of the power for external loads

當坡頂作用局部荷載時，滑裂面起始點與荷載分布相對位置不確定，因此二者作用形式分為2種情況進行討論：一種是荷載位于滑裂面以內(nèi)，即L>a+b>0；另一種是荷載一部分位于滑裂面以外，即a+b>L>b。圖2顯示了局部荷載與旋轉(zhuǎn)中心O的幾何關(guān)系，為求坡頂局部荷載作用下的外功率，可將局部荷載等效成集中力F，根據(jù)式(4)來求得。

(4)

式中：l′為局部荷載在滑裂面以內(nèi)作用寬度；rq為局部荷載等效作用點到O點的距離；lq為局部荷載作用點到O點的水平距離。

當L>a+b>0時，有

(5)

當a+b>L>b時，有

因此局部荷載所做的功率為

Wq=ωqfq。

(7)

總的外功率為

W外=Ws+Wq。

(8)

圖3 黏聚力隨深度變化的模式Fig.3 Model of cohesion varying with depth

2.2 內(nèi)能耗散

內(nèi)能耗散由速度間斷面提供，由于土體內(nèi)部黏聚力c隨深度發(fā)生線性變化，在沿間斷面進行能耗積分時，引入黏聚力比例因子λc，設(shè)坡頂土體的黏聚力為λcc0，坡腳處的土體黏聚力為c0，如圖3所示。式(9)為邊坡內(nèi)任意一點處的黏聚力ch表達式。

(9)

對式(9)沿速度間斷面CD滑面進行積分，可得其內(nèi)部能耗率W內(nèi)，即

(10)

其中：

(11)

(3tanφsinθh-cosθh)-exp(3θ0tanφ)·

(3tanφsinθ0-cosθ0)] 。

(12)

式中V表示滑裂面上任意一點的滑動速度。

2.3 穩(wěn)定性分析

傳統(tǒng)的上限分析中，令W外=W內(nèi)，即默認安全系數(shù)K=1.0時，便可得出邊坡的臨界高度。本文將起始角θ0、終止角θh和臨界高度h作為自變量，根據(jù)式(7)和式(9)求出坡頂局部荷載作用下非均質(zhì)邊坡的安全系數(shù)K，即

(13)

顯然K是關(guān)于θ0,θh,h3個未知量的多元函數(shù)，邊坡的安全系數(shù)對應(yīng)于函數(shù)的極小值。即對式(13)進行偏導，滿足式(14)的參數(shù)值所對應(yīng)的滑裂面為邊坡臨界滑裂面。

(14)

3 黏聚力比例因子對邊坡穩(wěn)定性的影響

已知邊坡的模型參數(shù)如圖4所示：坡高H=10 m，土體重度γ=18.5 kN/m3，坡角β=45°，邊坡坡腳處土體黏聚力c0=20 kPa，內(nèi)摩擦角φ=25°，坡頂水平，作用局部荷載q=200 kN/m，a=1 m，b=1 m。取比例因子λc=1.2，根據(jù)以上參數(shù)便可求出在臨界狀態(tài)下的邊坡滑裂面位置和安全系數(shù)(見圖5)。

圖4 邊坡穩(wěn)定性計算模型Fig.4 Slope stability calculation model

圖5 邊坡穩(wěn)定性計算結(jié)果Fig.5 Calculation results of slope stability

圖6 λc-K關(guān)系曲線Fig.6 Curve of λc-K

圖7 不同λc下的滑裂面分布Fig.7 Distribution of sliding surface of slope varying with λc

由圖6可見，在其他參數(shù)(土體力學性狀、荷載分布)保持不變的情況下，隨著λc的線性增加，土體黏聚力的增大導致抗滑力不斷增加，在下滑力不變的情況下邊坡越來越穩(wěn)定。當λc從0.4增加到1.4時，安全系數(shù)增幅達到61.8%，效果非常明顯。表1和圖7列出了邊坡滑裂面分布特征隨λc的變化，滑裂面極限高度h變化十分明顯，但坡頂L的變化十分微小，由此看出對數(shù)螺旋線滑裂面的起始角θ0隨λc的增大逐漸減少，但幅度很小。終止角θh隨λc的增大而增大，即滑裂面對應(yīng)的張角逐漸增加。

表1 不同比例因子λc下邊坡臨界滑裂面分布Table 1 Distribution of critical sliding surface ofslope varying with λc

4 坡頂局部荷載分布對邊坡穩(wěn)定性的影響

控制坡頂局部荷載的3個重要參數(shù)分別為荷載大小q、荷載的作用寬度b、荷載到坡頂?shù)木嚯xa，保持其中2個參數(shù)不變，進行單因素分析其對邊坡穩(wěn)定性的影響，其余土體參數(shù)同上，取黏聚力比例因子λc=1.2。

4.1 局部荷載大小q影響性分析

研究荷載大小q對邊坡穩(wěn)定性的影響，取a=0 m，b=1 m，圖8(a)和圖8(b)分別給出了q從100 kN/m變化到300 kN/m對應(yīng)的K值和h值。邊坡的安全系數(shù)K和滑裂面臨界高度h隨荷載q的增大而減小。圖9繪出了3種荷載下邊坡滑裂面的分布，隨著荷載q的增大，滑裂面張角逐漸減小。

圖8 荷載大小q對安全系數(shù)K和滑裂面高度h的影響Fig.8 Influence of load value q on safety factor Kand slope’s sliding surface height h

圖9 不同荷載值下潛在滑裂面位置Fig.9 Position of potential sliding surface in the presence of different loads

4.2 荷載作用寬度b影響性分析

取a=0 m，q=200 kN/m，圖10(a)和圖10(b)給出了b從0.5 m到3.5 m對應(yīng)的K值與h值。從圖中可以看出，安全系數(shù)K隨著b的增大而減小，而臨界高度隨著b的增大而增大，當b達到3 m時，滑裂面通過坡趾附近，從2 m到3 m時h的變化幅度增大。圖11描繪了3種荷載作用寬度下的邊坡臨界滑裂面分布圖，從圖中可以看出隨著b的增大，滑裂面的張角逐漸增大，當經(jīng)過坡趾附近時，終止角θh達到最大。

圖10 荷載長度b對安全系數(shù)K和滑裂面高度h的影響Fig.10 Influence of load length b on safety factorK and slope’s sliding surface height h

圖11 不同局部荷載作用寬度下滑裂面位置Fig.11 Position of sliding surface with different widths of local load

4.3 荷載距坡頂距離a的影響性分析

取b=1 m，q=200 kN/m，圖12(a)和圖12(b)給出了a從0 m到1.5 m對應(yīng)的K值與h值。從圖中可看出，安全系數(shù)K隨著a的增大而增加，當a>1 m時增加的幅度減小，滑裂面的臨界高度h同樣也是逐漸增大；當a=1 m時發(fā)生突變，h陡增；進一步增加a的距離到1.5 m時，h達到最大值，此時滑裂面通過坡趾。圖13給出了a在4種取值下的滑裂面分布，從圖中可以看出隨著a的小幅度增大，邊坡的滑裂面發(fā)生了急劇的變化，滑裂面的張角迅速增加，破壞范圍逐漸擴大。

圖12 荷載距坡頂距離a對安全系數(shù)和滑裂面高度的影響Fig.12 Influence of distance a from load to slope top on safety factor K and slope’s sliding surface height h

圖13 局部荷載距坡頂不同距離下滑裂面位置Fig.13 Position of sliding surface with different distances from local load to slope top

5 結(jié) 論

當邊坡坡頂作用局部荷載時，邊坡的滑裂面不一定通過坡趾或坡趾下方，有可能發(fā)生局部失穩(wěn)破壞。本文針對黏聚力隨深度線性變化的非均質(zhì)邊坡，提出了一種計算非均質(zhì)邊坡坡頂局部荷載作用下的穩(wěn)定性綜合分析方法，并重點分析了黏聚力比例因子λc和坡頂局部荷載分布情況對邊坡臨界狀態(tài)下的安全系數(shù)和滑裂面的影響。研究表明：

(1)隨著比例因子λc的逐漸增大，安全系數(shù)增幅較大，滑裂面高度逐漸增加，剛體旋轉(zhuǎn)起始角θ0基本保持不變，終止角θh不斷增加，滑裂面張角也隨之變大。

(2)邊坡局部荷載的性質(zhì)對邊坡滑裂面的位置及其安全系數(shù)影響較大。隨著局部荷載q的逐漸增大，邊坡的安全系數(shù)以及臨界高度逐漸減小，邊坡發(fā)生局部破壞的范圍也隨之減??；當荷載的作用寬度b不斷增加時，安全系數(shù)隨著減小，但臨界高度不斷增加，當b達到3 m時滑裂面通過坡趾；荷載到坡頂?shù)木嚯xa的增加導致滑裂面深度急劇擴大，安全系數(shù)也隨之增大，存在突變點a=1 m時邊坡的安全系數(shù)增幅減緩，臨界高度增幅陡增，達到1.5 m時滑裂面通過坡趾。

(3)本文僅針對了土體黏聚力c隨深度的線性變化，假定邊坡滑裂面仍然為對數(shù)螺旋線，如果考慮內(nèi)摩擦角φ的線性變化，滑裂面不再是對數(shù)螺旋線。不同于孫志彬等[13]在自重情況下提出的假定滑面通過坡趾的離散模型，在考慮坡頂局部荷載作用下滑裂面經(jīng)過坡面時，需要提出一種新的破壞機構(gòu)。