李寧舟，郝歐亞，汪憲宏，吳宇航

（1.華北理工大學(xué)數(shù)學(xué)建模創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)室，河北 唐山 063210；2.華北理工大學(xué)化學(xué)工程學(xué)院，河北 唐山 063210；3.華北理工大學(xué)電氣工程學(xué)院，河北 唐山 063210；4.河北省數(shù)據(jù)科學(xué)與應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 唐山 063210；5.唐山市數(shù)據(jù)科學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 唐山 063210）

0 引言

為設(shè)計(jì)高溫作業(yè)專用服裝，首先在外界溫度為75℃的高溫環(huán)境下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，記錄假人表面溫度，利用熱阻計(jì)算方法及傅里葉定律，根據(jù)專用服裝材料的參數(shù)值，可求出導(dǎo)熱方程中的相關(guān)系數(shù)；其次通過表示一維熱傳導(dǎo)方程[1-2]，利用泰勒級數(shù)展開可得到溫度與x和t的偏導(dǎo)關(guān)系，選取適當(dāng)?shù)牟骄?，利用差分方程求解出各層溫度的具體分布；最后利用二分法思想，以Ⅱ?qū)拥暮穸葹閥軸，Ⅳ層的厚度為y軸建立直角坐標(biāo)系，若滿足約束條件，則在閉合區(qū)域內(nèi)繼續(xù)進(jìn)行二分法的劃分，若不滿足約束條件，則在閉合區(qū)域外進(jìn)行二分法的劃分，最終可得到Ⅱ?qū)蛹阿魧拥淖顑?yōu)厚度。

1 計(jì)算高溫作業(yè)服裝溫度分布

1.1 穩(wěn)定溫度分布

高溫作業(yè)專用服裝通常由三層織物材料構(gòu)成，第Ⅲ層與人體皮膚之間的空隙可以稱為第Ⅳ層，也就是說在外界環(huán)境與假人皮膚之間一共存在四層介質(zhì)。當(dāng)外界環(huán)境溫度為75℃時(shí)，根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)在穩(wěn)定狀態(tài)下假人皮膚外側(cè)的溫度為48.08℃。建立直角坐標(biāo)系，沿x軸方向依次為Ⅰ層、Ⅱ?qū)?、Ⅲ層、Ⅳ層，各層的厚度分別為d1、d2、d3、d4。因?qū)Ｓ梅b中三層織物間無空隙，故設(shè)定五個(gè)溫度分別為t0、t1、t2、t3、t4。

利用熱阻計(jì)算方法和傅里葉定律[3]得到R=d/λ、ti=ti-1-qRi、q=ti-ti+1/Ri， 可 求 出 在 穩(wěn) 定 狀 態(tài)下這四層介質(zhì)的穩(wěn)定溫度為：t3=61.89511℃，t4=48.08℃。得到穩(wěn)定狀態(tài)下這五個(gè)溫度的變化趨勢如圖1所示。

圖1 四層介質(zhì)的穩(wěn)定溫度分布Fig. 1 Stable temperature distribution of four layers of medium

1.2 溫度分布

將溫度T(x,t)在(x0,t0)點(diǎn)沿x向前和向后泰勒級數(shù)展開Δx，有

將T(x,t)在(x0,t0)點(diǎn)沿t向前泰勒級數(shù)展開Δt，有

由上式可知每個(gè)位置各個(gè)時(shí)刻的溫度可與之前一個(gè)時(shí)刻3個(gè)相鄰位置點(diǎn)的溫度獲得，如圖2所示，點(diǎn)(i, j)的溫度受周圍(i-1, j)、(i+1, j)、(i,j+1)三點(diǎn)溫度的影響，步長Δt和Δx的取值越小，數(shù)值解精度越高。

圖2 溫度變化的影響Fig. 2 Influence of temperature change

根據(jù)該穩(wěn)定條件λ2/cρ≤1/2，可得其中，初始條件為：T(0, t)=75，T(0, 6, t)=37，T(6, 6, t)=37，T(10, 2, t)=37，T(15, 2, t)=37(t≥0)；T(x, 0)=37(0＜0＜15.2)。當(dāng)步長取 Δt=0.01s，Δx=0.1 mm時(shí)：

利用Excel來進(jìn)行高精度一維熱傳導(dǎo)方程數(shù)值解。

2 設(shè)計(jì)高溫作業(yè)服裝材料厚度

二分法是指假設(shè)待查找序列和題目的要求之間的關(guān)系是單調(diào)遞增的，先取區(qū)間中心，判斷該處函數(shù)值和題目標(biāo)準(zhǔn)值的大小關(guān)系，如果函數(shù)值偏小，那么應(yīng)該在中心右側(cè)的區(qū)間繼續(xù)查找；如果函數(shù)值偏大，那么應(yīng)該在中心左側(cè)區(qū)間繼續(xù)查找，直到找到對應(yīng)的值或者區(qū)間縮小到左右端點(diǎn)之間不再包含其他數(shù)據(jù)結(jié)束。選取步長Δt"=0.01s，Δx"=0.1mm來進(jìn)行計(jì)算。

利用迭代計(jì)算功能[2]來進(jìn)行數(shù)據(jù)處理時(shí)，可以用對專用服裝表面溫度分布進(jìn)行計(jì)算；用差分方程對于服裝內(nèi)部溫度分布進(jìn)行計(jì)算。以Ⅱ?qū)拥暮穸葹閤軸，Ⅳ層的厚度為y軸建立直角坐標(biāo)系，如圖3所示，0～x0代表Ⅱ?qū)拥暮穸确秶?～x1代表Ⅳ層的厚度范圍。x0、x1分別沿垂直x軸、y軸做直線交于一點(diǎn)形成閉合區(qū)域0x0Px1，取0x0的中點(diǎn)x2和0x1的中點(diǎn)x3，讓x2、x3分別沿垂直x軸、y軸做直線交于一點(diǎn)形成閉合區(qū)域0x2P0x3。若P0點(diǎn)滿足該約束條件，則在區(qū)域0x2P0x3內(nèi)部繼續(xù)進(jìn)行二分法的劃分，若P0點(diǎn)不滿足該約束條件，則在區(qū)域0x2P0x3外部繼續(xù)進(jìn)行二分法的劃分。以此類推，直至找到符合條件的最優(yōu)解。

圖 3 二分法設(shè)計(jì)方案Fig.3 Dichotomy design scheme

當(dāng)外界環(huán)境溫度為80℃，Ⅰ層厚度為0.6mm，Ⅲ層厚度為3.6mm。約束條件為在當(dāng)前環(huán)境下工作30分鐘，假人體皮膚外側(cè)的溫度不超過47℃，并且超過44℃的時(shí)間不超過5分鐘。在該約束條件下，經(jīng)過判斷，P0點(diǎn)滿足該約束條件，則在區(qū)域0x2P0x3內(nèi)部繼續(xù)進(jìn)行二分法的劃分，最終找到最優(yōu)解，得到Ⅱ?qū)拥淖顑?yōu)厚度為7.6mm，Ⅳ層的最優(yōu)厚度為1.6mm。

當(dāng)Ⅱ?qū)拥暮穸葹?.6mm，Ⅳ層的厚度為1.6mm時(shí)體表溫度隨時(shí)間變化情況如圖4所示。

圖4 最優(yōu)情況下體表溫度隨時(shí)間變化Fig. 4 Variation of body surface temperature with time under optimal conditions