李建宏宇，龐賀偉

（1. 北京衛(wèi)星環(huán)境工程研究所 可靠性與環(huán)境工程技術重點實驗室，北京 100094；2. 中國空間技術研究院，北京 100094）

航天技術的進步和任務需求的擴展，特別是遙感衛(wèi)星分辨率性能指標的不斷提高，對航天器結構的動力學模型的準確性要求越來越高[1]。在軌微振動環(huán)境影響遙感衛(wèi)星的分辨率，因此對于微振動分析，不僅要求航天器結構的動力學模型的模態(tài)頻率準確，還需要提高頻率響應計算的準確性。

根據(jù)動力學實驗產(chǎn)生的頻率響應對結構的動力學模型進行修正是提高模型精度的重要方法[2-3]。模型修正問題實際是一個結構優(yōu)化問題[4]，目標是最小化實驗實測數(shù)據(jù)和分析結果數(shù)據(jù)之間的誤差。模型修正理論應用到航天器結構中，將面臨嚴重的效率問題。對于航天器結構，其有限元模型的自由度數(shù)達到十萬[5-6]，甚至更高，對其進行頻率響應分析需要耗費大量的計算成本和存儲成本。因此直接對航天器有限元模型進行修正，需要的時間成本是不可接受的。

模型縮聚[7]最早提出是用于提高大規(guī)模有限元模型的結構動力學分析的計算效率和減少計算機存儲空間的使用，是一種近似模型。近些年，模型縮聚主要用于基于試驗測量的模型修正，將模型縮聚到實驗測量的自由度上，縮聚后動力學模型自由度的個數(shù)等于實驗測量自由度的個數(shù)。動力學實驗中傳感器的數(shù)量和位置受實驗條件的限制，影響縮聚后模型的精度。縮聚后的模型往往只能近似表達低頻段的動力學特征，無法正確反映中高頻段的動力學特征。

文中首次利用二級近似算法，在模型修正過程中高效率地計算結構參數(shù)修改后結構的頻率響應，并建立多重優(yōu)化流程消除近似計算引入的誤差。

1 頻率響應及其敏度的近似計算

1.1 一級近似計算

Ritz法的基本假設是用r個n維形狀向量{Ψi}和幅值αi線性表示位移向量，寫成矩陣形式為：

在模型修正過程中，以初始結構的前r階特征向量為形狀向量來表示結構的位移響應。設初始結構的剛度矩陣為[K0]，初始結構的質量矩陣為[M0]。則形狀向量滿足條件：

動剛度矩陣為：

在載荷{F(ω)}的作用下，結構的位移向量頻率響應為：

將Ritz法帶入動力學方程并左乘[Ψ]T：

可以得到位移的頻率響應：

其中：

設：

得到位移的頻率響應的一級近似計算公式：

對于結構參數(shù)p的敏度公式為：

一級近似計算公式中，矩陣運算為 r階矩陣運算，而 r遠小于結構的自由度數(shù)，所以具有較高的計算效率。

第一級近似引入的誤差分為兩部分：

1）由于僅考慮前 r階模態(tài)的疊加，產(chǎn)生的截斷誤差?？梢酝ㄟ^增加r值的大小，減少誤差，同時r值增大將降低計算效率。一般經(jīng)驗，r可以根據(jù)動力學實驗的頻段進行選擇。動力學試驗測量的最高頻率點為m Hz，則計算頻率小于3m Hz的所有模態(tài)。

2）模型修正過程中對結構參數(shù)進行調整后，結構的特征向量也發(fā)生變化并導致前r階特征向量組成的Ritz空間也發(fā)生相應變化。考慮到航天器有限元模型建模技術比較成熟，模型修正過程中僅對模型的結構參數(shù)進行微小調整。結構參數(shù)修改前后的Ritz空間是相近的，同時，可以引入多重優(yōu)化流程來消除近似計算的誤差。

1.2 頻率響應函數(shù)及其敏度的二級近似計算

文中采用一種改進的Hermit插值方法[8]。其形式與 Hermit差值類似，通過增加非線性參數(shù) r來提高插值的準確性。設 F（ x）為原函數(shù)，（ x）為近似函數(shù)；x的維數(shù)為n；h個已知原函數(shù)函值和敏度值的點xj。構造如下的近似函數(shù)）：

[Ψ]T[Δ Z ][Ψ]和[Δ Z]與結構參數(shù)的非線性關系是相同的，同時[Δ Z ]與結構參數(shù)的非線性關系是可以預測的，且大部分是代數(shù)式關系。典型的結構參數(shù)如材料的彈性模量、密度、板厚、桿的截面積等，與[Δ Z]均為線性關系。可以根據(jù)結構參數(shù)的屬性確定 r值。通過二級近似后，頻率響應的計算效率得到了提高。

2 優(yōu)化模型與多重優(yōu)化流程

模型修正問題為無約束的優(yōu)化問題。目標函數(shù)是描述理論模型特性和實驗模型特性相關程度的一個表達式。文中采用Zang[9]引入的頻率響應相關性指標準則作為目標函數(shù)：

擬牛頓法是無約束最優(yōu)化方法中最有效的一類算法。其優(yōu)點為：迭代中僅需要一階導數(shù)，具有二次終止性，對于一般情況，具有超線性收斂速率。文中將采用擬牛頓法作為優(yōu)化算法。

圖1為多重優(yōu)化流程。該流程的優(yōu)點是通過兩次引入近似計算，提高目標函數(shù)的計算效率，同時通過多重優(yōu)化保證優(yōu)化結果的準確性。

圖1 多重優(yōu)化流程

3 數(shù)值算例

3.1 GARTEUR梁的模型修正

以 GARTEUR梁結構為算例進行模型修正。GARTEUR梁結構如圖2所示，為平面鋼架結構。有限元模型由74個節(jié)點、78個梁單元構成。每個節(jié)點的自由度為 3，為 x，y兩個方向的平動自由度和 xy面的轉動自由度。其材料參數(shù)為：E=7.5×1010N/m2，ρ=2.8×103kg/m3，μ=0.3。梁截面面積為：水平梁Sx=0.004 m2，豎直梁 Sy=0.006 m2，對角梁 Sd=0.003 m2。各梁的截面慣性距均為I=0.0756 m4。

圖2 GARTEUR梁結構

選取結構中的21個自由度測量頻率響應。在1,2節(jié)點的y方向施加振幅為1×106N的正弦載荷，對結構在頻段5~505 Hz進行頻率響應分析。為了構造動力學實驗產(chǎn)生的頻率響應數(shù)據(jù)作為參考值，采用更加密集的網(wǎng)格劃分并使用直接法分析頻率響應。通過模態(tài)分析可知，結構小于1515 Hz的頻率共有41階。

以梁的截面積作為模型修正需要修正的結構參數(shù)。初始結構的梁截面面積為：水平梁Sx=0.005 m2，豎直梁Sy=0.005 m2，對角梁Sd=0.005 m2。目標函數(shù)的迭代曲線如圖3所示，經(jīng)過18次迭代，模型修正結束。在整個模型修正過程中，進行了2次模態(tài)分析和4次結構動剛度矩陣的組裝，其他迭代計算都是近似計算。為模型修正前后結構參數(shù)的誤差。

3.2 CMG平臺的模型修正

某衛(wèi)星CMG平臺由超過380 000個有限單元和110 000個節(jié)點組成。有限元模型的自由度數(shù)超過370 000，CMG平臺有通過5組共15個隔振器與底座連接，隔振器有限單元屬性為 PBUSH，局部模型如圖4所示。以PBUSH的剛度為模型修正的結構參數(shù)，對結構在頻段1~300 Hz進行頻率響應分析，近似計算中取結構前200階模態(tài)。

圖3 目標函數(shù)迭代曲線

表1 模型修正結果

圖4 隔振器與底座的局部模型

經(jīng)過360次迭代，模型修正結束。在整個過程中，進行了3次模態(tài)分析，17次動剛度矩陣組裝，360次近似計算。整個模型修正過程中計算時間成本分布見表2。模型修正前后典型測量點的位移頻率響應如圖5所示。模型修正后，頻率響應曲線的誤差得到了明顯改善。

表2 計算時間成本分布

圖5 模型修正前后典型測量點的位移頻率響應

4 結語

航天器結構自由度數(shù)高且結構復雜，在模型修正過程中不易對有限元模型直接進行修正。文中基于特征向量構建Ritz空間，并推導出結構頻率響應的近似計算公式。之后根據(jù)動力學實驗的頻段選擇相應的模態(tài)階數(shù)來減小截斷誤差，通過多重優(yōu)化算法消除近似誤差。引入近似函數(shù)計算動剛度矩陣，減小迭代過程中的計算成本和存儲成本。兩個數(shù)值算例證明了該方法的準確性和高效性，因此該方法適用于實際航天器結構模型修正的工程應用。