季海波

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在運(yùn)籌學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用＊

季海波

（宿遷學(xué)院 文理學(xué)院，江蘇 宿遷 223800）

通過一個(gè)“選課策略”的案例，把數(shù)學(xué)建模的思想引入到運(yùn)籌學(xué)課程教學(xué)過程中，啟發(fā)學(xué)生如何利用0-1整數(shù)規(guī)劃進(jìn)行建模，并通過Lingo軟件進(jìn)行編程求解，既培養(yǎng)學(xué)生利用理論知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，又提高學(xué)生的計(jì)算機(jī)應(yīng)用能力。

運(yùn)籌學(xué)；數(shù)學(xué)建模；Lingo軟件；應(yīng)用能力

1 運(yùn)籌學(xué)概述

運(yùn)籌學(xué)是一門以人機(jī)系統(tǒng)的組織、管理為對(duì)象，應(yīng)用數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)等工具來研究各類有限資源的合理規(guī)劃使用，并提供優(yōu)化決策方案的學(xué)科，是一門理論和實(shí)踐應(yīng)用并重的綜合性學(xué)科[1]。運(yùn)籌學(xué)應(yīng)用范圍廣泛，從軍事、政治到管理、經(jīng)濟(jì)及工程技術(shù)等許多領(lǐng)域都能應(yīng)用到運(yùn)籌學(xué)的思想和方法。運(yùn)籌學(xué)和數(shù)學(xué)建模是很多高校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)和信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的核心課程。構(gòu)成運(yùn)籌學(xué)的理論大致分為分析理論、決策理論和隨機(jī)服務(wù)理論，而運(yùn)籌學(xué)主要包括的內(nèi)容有線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、目標(biāo)規(guī)劃、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、圖與網(wǎng)絡(luò)分析、存儲(chǔ)論、排隊(duì)論、決策論、博弈論等。而將數(shù)學(xué)建模的思想融入到許多數(shù)學(xué)核心課程的相關(guān)研究已經(jīng)有了不少的研究成果[2-4]。而對(duì)運(yùn)籌學(xué)的這門課程在不同專業(yè)的教學(xué)改革研究也有了不少比較好的結(jié)果[5-8]，運(yùn)籌學(xué)這門課程本身絕大部分理論內(nèi)容都是通過解決實(shí)際問題抽象出來的，因此在本課程的講授過程中融入建模思想是非常合適的，而且在建模的過程中，除了介紹對(duì)應(yīng)的理論方法外，還可以根據(jù)模型利用Lingo軟件編程進(jìn)行求解，訓(xùn)練學(xué)生的計(jì)算機(jī)應(yīng)用能力，這樣也就更加符合信科專業(yè)的培養(yǎng)目標(biāo)——培養(yǎng)“應(yīng)用型”人才。

2 建模思想在運(yùn)籌學(xué)教學(xué)中的實(shí)際應(yīng)用

本文主要通過選取一個(gè)與學(xué)生切身相關(guān)的案例“選課策略”來研究如何在運(yùn)籌學(xué)教學(xué)中融入建模思想，在教學(xué)過程中既能夠鍛煉學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，又能了解所需要學(xué)習(xí)的理論內(nèi)容，求解過程可以融入計(jì)算機(jī)編程，鍛煉學(xué)生的動(dòng)手能力。以信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)為例，表1給出了該專業(yè)其中9門課程的具體情況。

選課要求學(xué)生至少要選兩門數(shù)學(xué)課、三門運(yùn)籌課和兩門計(jì)算機(jī)課。

問題1：為了選擇的課程門數(shù)最少，應(yīng)該如何選擇課程？ 對(duì)于該“選課策略”問題，首先需要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題目要求該如何假設(shè)我們的決策變量。假設(shè)決策變量的原則是，除了假設(shè)出對(duì)應(yīng)的變量后，還能夠較容易地利用設(shè)出來的決策變量建立出模型的目標(biāo)和相應(yīng)約束條件。

表1 信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)課程情況

課號(hào)課程名稱學(xué)分所屬類別先修課程 1數(shù)學(xué)分析5數(shù)學(xué) 2高等代數(shù)4數(shù)學(xué) 3最優(yōu)化方法4數(shù)學(xué)、運(yùn)籌數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù) 4數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)3數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)計(jì)算機(jī)編程 5應(yīng)用統(tǒng)計(jì)4數(shù)學(xué)、運(yùn)籌數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù) 6計(jì)算機(jī)模擬3計(jì)算機(jī)、運(yùn)籌計(jì)算機(jī)編程 7計(jì)算機(jī)編程2計(jì)算機(jī) 8預(yù)測理論2運(yùn)籌應(yīng)用統(tǒng)計(jì) 9數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)3運(yùn)籌、計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)

由于每個(gè)學(xué)生與每門課程之間只有選與不選兩種情況，因此可以考慮整數(shù)規(guī)劃中的0-1規(guī)劃，假設(shè)決策變量為：

下一步根據(jù)問題1建立模型的目標(biāo)函數(shù)，為：

最后一步尋找約束條件，其中第一塊約束條件是選擇每類課程門數(shù)的要求，可得約束：

第二塊約束條件是課號(hào)為3，4，5，6，8，9的這些課程有先修課程的限制，因此可以建立如下約束條件：

由式（1）（2）（3）就可以得到選課最少情況下的數(shù)學(xué)模型：

在這個(gè)過程中，學(xué)生就由數(shù)學(xué)建模的思想了解了運(yùn)籌學(xué)中的0-1整數(shù)規(guī)劃的模型，知道運(yùn)籌學(xué)是可以解決與他們切身相關(guān)的實(shí)際問題。但是在實(shí)際選課時(shí)，雖然做到了選課門數(shù)最少，大部分高校還有學(xué)分的要求，也就是說，雖然修的課程最少，但是學(xué)分沒有修夠，還必須進(jìn)一步選修其他課程，所以問題1的最優(yōu)解在考慮學(xué)分這個(gè)方面有可能是無法應(yīng)用的，那么怎么才能使得我們所得到的最優(yōu)解既能滿足學(xué)生需求，還能滿足學(xué)校需要呢？于是在教學(xué)過程中緊跟著提出以下問題。

問題2：如果能夠使得選修的課程盡可能少，學(xué)分盡可能多，那么該如何選擇課程呢？

其實(shí)問題2只是在問題1的基礎(chǔ)上增加了一個(gè)總學(xué)分的目標(biāo)函數(shù)，在模型（4）的基礎(chǔ)上增加目標(biāo)：

即可得到問題2數(shù)學(xué)模型：

通過上述過程，把數(shù)學(xué)建模的思想融入到了運(yùn)籌學(xué)中的整數(shù)規(guī)劃的教學(xué)過程中，讓學(xué)生了解什么是數(shù)學(xué)建模，怎么樣方便地假設(shè)出決策變量。當(dāng)模型建立完以后，可以介紹一下解決一般問題的0-1整數(shù)規(guī)劃的理論方法隱枚舉法。該法其實(shí)是將完全窮舉法進(jìn)行改進(jìn)，通過適當(dāng)選擇初值來減少窮舉的過程。為了更進(jìn)一步提高學(xué)生的計(jì)算機(jī)應(yīng)用能力，繼續(xù)指導(dǎo)學(xué)生利用Lingo軟件進(jìn)行編程來求出結(jié)果，從而驗(yàn)證理論方法的正確性，特別地將問題2解決方法作了調(diào)整。問題2是一個(gè)多目標(biāo)規(guī)劃問題，在解決問題2時(shí)需要將多目標(biāo)規(guī)劃改為單目標(biāo)規(guī)劃，主要做法是將其中一個(gè)目標(biāo)函數(shù)整體取相反數(shù)，與另外一個(gè)目標(biāo)相加就可以得到單目標(biāo)規(guī)劃問題，例如目標(biāo)可以改成max－或者min－.表2是利用Lingo軟件編程得到的問題1和問題2的結(jié)果。

表2 Lingo給出的選課策略

選課策略選課門數(shù)總學(xué)分 問題1數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、最優(yōu)化方法，計(jì)算機(jī)模擬、計(jì)算機(jī)編程、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)622 問題2數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、最優(yōu)化方法、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、應(yīng)用統(tǒng)計(jì)、計(jì)算機(jī)模擬、計(jì)算機(jī)編程、預(yù)測理論、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)931

3 結(jié)束語

本文主要通過運(yùn)籌學(xué)中0-1整數(shù)規(guī)劃的一個(gè)“選課策略”案例，融入數(shù)學(xué)建模的思想，建立了一般的0-1整數(shù)規(guī)劃模型，求解方法不同于分配問題中的匈牙利法，需要用到隱枚舉法才能解決。理論方法比較復(fù)雜，又借助于Lingo軟件進(jìn)行編程得到了對(duì)應(yīng)不同情況下的選課策略，這樣既讓學(xué)生對(duì)理論方法有所了解，還可以提高學(xué)生的計(jì)算機(jī)軟件的應(yīng)用能力。在平時(shí)的運(yùn)籌學(xué)課程教學(xué)過程中，運(yùn)籌學(xué)的每一塊教學(xué)內(nèi)容都可以啟發(fā)學(xué)生去尋找一些實(shí)際案例，通過案例運(yùn)用運(yùn)籌學(xué)中對(duì)應(yīng)章節(jié)的內(nèi)容進(jìn)行建模，再用對(duì)應(yīng)的理論算法進(jìn)行求解，并通過Lingo軟件進(jìn)行編程求解。實(shí)踐證明，教師利用這樣的理念進(jìn)行教學(xué)，有利于提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力和計(jì)算機(jī)應(yīng)用能力，還可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，這樣的案例教學(xué)法還可以應(yīng)用到其他很多課程的教學(xué)中去。

［1］胡運(yùn)權(quán).運(yùn)籌學(xué)基礎(chǔ)及應(yīng)用［M］.第6版.北京：高等教育出版社，2014.

［2］李大潛.將數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)學(xué)主干課程［J］.中國大學(xué)數(shù)學(xué)，2006，22（1）：3-7.

［3］田寶單，姚許乾，陳寧.數(shù)學(xué)建模思想在常微分方程教學(xué)中的應(yīng)用［J］.高師理科學(xué)刊，2017，37（6）：67-69.

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［5］蘇紅畏.二本院校的《運(yùn)籌學(xué)》課程教學(xué)改革研究［J］.教育教學(xué)論壇，2013（21）：48-50.

［6］陳娜.二本院校數(shù)學(xué)類專業(yè)運(yùn)籌學(xué)課程教學(xué)改革探索［J］.當(dāng)代教育理論與實(shí)踐，2015，7（6）：56-58.

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［8］胡勝發(fā)，劉桂真.國家精品課程運(yùn)籌學(xué)的教學(xué)改革與實(shí)踐［J］.中國大學(xué)教學(xué)，2006（7）：9-10.

季海波（1981—），男，江蘇南通人，碩士，講師，研究方向?yàn)闃O限理論。

2017年江蘇省高等教育教改研究項(xiàng)目（2017JSJG278）；宿遷學(xué)院教改項(xiàng)目（sqc2018jg06）

2095－6835（2018）23－0134－02

O13；G642.0

A

10.15913/j.cnki.kjycx.2018.23.134

〔編輯：王霞〕