■徐春生

空間幾何體的三視圖是新課標(biāo)教材中增加的內(nèi)容,是觀察者從不同位置觀察同一個(gè)空間幾何體畫(huà)出的圖形,它從細(xì)節(jié)上刻畫(huà)了空間幾何體的結(jié)構(gòu)。涉及的試題一般以選擇題形式出現(xiàn),考查同學(xué)們的空間想象能力及運(yùn)算與推理能力。常考題型有根據(jù)幾何體的直觀圖畫(huà)三視圖,根據(jù)幾何體的三視圖畫(huà)直觀圖,根據(jù)三視圖求原幾何體的面積和體積,根據(jù)三視圖研究原幾何體的性質(zhì)等。下面分別舉例分析,希望對(duì)大家的學(xué)習(xí)能有所幫助。

一、根據(jù)幾何體的直觀圖畫(huà)三視圖

例1 用一個(gè)平行于水平面的平面去截一個(gè)球,得到如圖1所示的幾何體,則它的俯視圖是( )。

圖1

由題意知,俯視圖中顯然應(yīng)有一個(gè)被遮擋的圓,所以內(nèi)圓是虛線,故選B。

在畫(huà)三視圖時(shí),可見(jiàn)的線要畫(huà)為實(shí)線,不可見(jiàn)的線要畫(huà)為虛線。三視圖擺放規(guī)則:上面是正視圖和側(cè)視圖,正視圖下方是俯視圖,正視圖、俯視圖“長(zhǎng)對(duì)正”,正視圖、側(cè)視圖“高平齊”,俯視圖、側(cè)視圖“寬相等”。

例2 一個(gè)幾何體的正視圖和俯視圖如圖2所示,則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為( )。

圖2

由幾何體的正視圖和俯視圖可知,該幾何體應(yīng)為半圓錐和一個(gè)有一側(cè)面(與半圓錐的軸截面為同一個(gè)三角形)垂直于底面的三棱錐的組合體,故其側(cè)視圖應(yīng)為D。

空間幾何體的三視圖是該幾何體在三個(gè)兩兩垂直的平面上的正投影,并不是從三個(gè)方向看到的該幾何體的側(cè)面表示的圖形。

二、根據(jù)幾何體的三視圖畫(huà)直觀圖

例3 如圖3,網(wǎng)格紙的各小格都是正方形,粗實(shí)線畫(huà)出的是一個(gè)幾何體的三視圖,則這個(gè)幾何體是( )。

圖3

A.三棱錐 B.三棱柱

C.四棱錐 D.四棱柱

由題意知,該幾何體的三視圖為一個(gè)等腰直角三角形和兩個(gè)長(zhǎng)方形,經(jīng)分析可知該幾何體為三棱柱,故選B。

解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是能根據(jù)幾何體的三視圖判斷出幾何體的結(jié)構(gòu)特征:①三視圖為三個(gè)三角形,對(duì)應(yīng)的幾何體是三棱錐;②三視圖為兩個(gè)三角形和一個(gè)四邊形,對(duì)應(yīng)的幾何體是四棱錐;③三視圖為兩個(gè)三角形和一個(gè)圓,對(duì)應(yīng)的幾何體是圓錐;④三視圖為一個(gè)三角形和兩個(gè)四邊形,對(duì)應(yīng)的幾何體是三棱柱;⑤三視圖為三個(gè)四邊形,對(duì)應(yīng)的幾何體是四棱柱;⑥三視圖為兩個(gè)四邊形和一個(gè)圓,對(duì)應(yīng)的幾何體是圓柱。

三、根據(jù)三視圖求原幾何體的面積和體積

例4 某多面體的三視圖如圖4所示,其中正視圖和側(cè)視圖都由正方形和等腰直角三角形組成,正方形的邊長(zhǎng)為2,俯視圖為等腰直角三角形。該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形,這些梯形的面積之和為( )。

圖4

圖5

觀察三視圖可知,該多面體是由直三棱柱和三棱錐組合而成的。直三棱柱的底面是直角邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形,側(cè)棱長(zhǎng)為2,三棱錐的底面是直角邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形,高為2,如圖5所示。因此該多面體各個(gè)面中有兩個(gè)全等梯形,梯形的上底長(zhǎng)為2,下底長(zhǎng)為4,高為2,所以這些梯形的面積之和為12。故選B。

解答此類問(wèn)題,一般是先根據(jù)給出的三視圖判斷出該幾何體的形狀,再確定該幾何體的各個(gè)度量,最后套用相應(yīng)的面積公式求解。

例5 如圖6,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖,則此幾何體的體積為( )。

圖6

由三視圖可知,該幾何體為三棱錐,其底面是斜邊長(zhǎng)為6的等腰直角三角形,高為3,則其體積為6×3×3=9。故選B。

若給定的幾何體是柱體、錐體、臺(tái)體或球體等規(guī)則幾何體,則可直接利用公式進(jìn)行求解;若給定的幾何體是不規(guī)則幾何體,則應(yīng)先將不規(guī)則幾何體通過(guò)分割或補(bǔ)形轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體,再利用公式求解;若以三視圖的形式給出幾何體,則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖,然后根據(jù)條件求解。

四、根據(jù)三視圖研究原幾何體的性質(zhì)

例6 如圖7,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫(huà)出的是某多面體的三視圖,則該多面體的各條棱中最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為( )。

圖7

如圖8,設(shè)輔助正方體的棱長(zhǎng)為4,三視圖對(duì)應(yīng)的多面體為三棱錐A-BCD,最長(zhǎng)的棱為AD。由題意可得,故選C。

圖8

三視圖和直觀圖是空間幾何體兩種不同的表現(xiàn)形式,通過(guò)它們能夠從不同側(cè)面、不同角度認(rèn)識(shí)幾何體的結(jié)構(gòu)特征,進(jìn)而研究幾何體的有關(guān)性質(zhì)。