黃 波

（作者單位：成都大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院）

1 研究背景

數(shù)字濾波器可以允許某些頻率的信號基本無損通過，而另外一些頻率的信號會受到較大抑制，甚至被濾除，所以數(shù)字濾波器可以被看作是一個(gè)選頻電路，凡是有能力進(jìn)行信號處理的裝置都稱為濾波器[1]。

IIR（Infinite Impulse Response）數(shù)字濾波器對信號進(jìn)行過濾、檢測與參數(shù)估計(jì)等處理。當(dāng)前，數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)有不少成熟的高級語言程序，但它們的設(shè)計(jì)效率較低，無法進(jìn)行可視化操作，不可以修改參數(shù)等缺陷，MATLAB軟件的出現(xiàn)，為數(shù)字濾波器的深入研究和廣泛應(yīng)用，搭建了一個(gè)高效有利的平臺[2]。

2 模擬濾波器

巴特沃斯濾波器的特點(diǎn)是，通頻帶內(nèi)的頻率響應(yīng)曲線可以實(shí)現(xiàn)最大限度的平坦，沒有高低起伏，而在阻頻帶內(nèi)則可以實(shí)現(xiàn)緩慢下降至零。在振幅對數(shù)的對角頻率波特圖上，巴特沃斯濾波器可以從某個(gè)邊界的角頻率開始,其振幅可以隨著角頻率增加而逐漸變少，最終趨向于負(fù)無窮大。圖1為當(dāng)N=2，5，10，20時(shí)的巴特沃斯頻率圖。

圖1 巴特沃斯頻率圖

圖2 切比雪夫頻率圖

切比雪夫模擬濾波器的特點(diǎn)是，在通頻帶內(nèi)或阻頻帶上可以實(shí)現(xiàn)頻率響應(yīng)幅度等波紋波動，切比雪夫模擬濾波器在過渡帶上比巴特沃斯模擬濾波器衰減得更快，但其頻率響應(yīng)幅頻特性比后者要陡峭一些。切比雪夫模擬濾波器和理想中的數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)曲線之間的誤差可以做到最小，但無法避免的是，它在通頻帶內(nèi)依然存在幅度上的波動。如圖2所示，當(dāng)N=2、3、7時(shí)的切比雪夫頻率圖。

3 IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)及仿真

數(shù)字濾波器就是對不同頻率的數(shù)字信號可以實(shí)現(xiàn)從頻域完成信號之間分離的時(shí)序邏輯電路，或者是設(shè)計(jì)程序。我們這里所說的數(shù)字濾波器都是一個(gè)離散的LTI系統(tǒng)。離散LTI系統(tǒng)模型如圖3所示。

圖3 離散LTI系統(tǒng)模型

其中，x（n）、y（n）分別為數(shù)字系統(tǒng)的輸入序列和輸出序列，H（E）是系統(tǒng)的特性函數(shù)（轉(zhuǎn)移算子）。

IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)過程包括：首先按設(shè)計(jì)任務(wù)，確定濾波器性能要求，制定技術(shù)指標(biāo)；其次用一個(gè)因果穩(wěn)定的離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H（z）逼近此性能指標(biāo)；然后利用有限精度算法實(shí)現(xiàn)此系統(tǒng)函數(shù)，如運(yùn)算結(jié)構(gòu)、字長的選擇等。

數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過程，其實(shí)是尋找一組系數(shù){b,a}，進(jìn)而盡量逼近要求的頻率響應(yīng)，讓其在性能上可以滿足預(yù)設(shè)的技術(shù)指標(biāo)，所以數(shù)字濾波器其本質(zhì)是在Z平面尋找一個(gè)合適的H（z）函數(shù)。因?yàn)镮IR數(shù)字濾波器的單位響應(yīng)是可以無限長的，因此，數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)關(guān)鍵其實(shí)是將H（S）函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)镠（Z）函數(shù)[3]。

圖4 巴特沃斯數(shù)字帶通濾波器的幅度與相位特性曲線

圖5 切比雪夫數(shù)字帶通濾波器的幅度與相位特性曲線

下面首先實(shí)現(xiàn)基于巴特沃斯法直接進(jìn)行IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)。巴特沃斯濾波器的幅度特性是通頻帶內(nèi)平坦，阻頻帶內(nèi)是單調(diào)下降的。用于設(shè)計(jì)階次為N，截止頻率為Wn的低通數(shù)字濾波器，截止頻率Wn取值在0～1，下面是巴特沃斯數(shù)字帶通濾波器的幅度與相位特性曲線，如圖4所示。通過分析，可以得到以下結(jié)論：巴特沃斯濾波器的幅度特性是通頻帶內(nèi)平坦，阻頻帶內(nèi)是單調(diào)下降的。

下面接著實(shí)現(xiàn)基于切比雪夫法直接設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器。切比雪夫?yàn)V波器的通頻帶是等波紋的，而在阻頻帶是單調(diào)下降的。利用cheby1函數(shù)直接設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器其波形如下，如圖5所示（其中，Ws=200Hz，Wp=100Hz，Rp=3dB，F(xiàn)s=1000Hz）。通過分析，可以得到以下結(jié)論：切比雪夫?yàn)V波器在通頻帶是等波紋的，而在阻頻帶是單調(diào)下降的。

4 結(jié)語

IIR數(shù)字濾波器在諸如語音信號處理、圖像信號處理視頻信號處理以及視頻信號處理等應(yīng)用領(lǐng)域都得到了非常廣泛的應(yīng)用。本文根據(jù)IIR數(shù)字濾波器的工作原理，實(shí)現(xiàn)了IIR數(shù)字濾波器的快速設(shè)計(jì)方法，進(jìn)而在MATLAB軟件環(huán)境中完成了IIR數(shù)字濾波器的快速仿真設(shè)計(jì)，同時(shí)在設(shè)計(jì)過程中對比了濾波特性，也可以隨時(shí)改變相關(guān)參數(shù)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)工作的最優(yōu)化處理。