汪 峰， 田 豐， 武風(fēng)波

(西安科技大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院，西安 710054)

0 引 言

目前，提高LD抽運(yùn)全固態(tài)激光器的輸出功率是人們著重研究的一個(gè)方向，其中，激光晶體的熱效應(yīng)對(duì)其影響巨大[1-3]。雙摻雜的Cr，Nd:GSGG晶體由于Cr3+具有寬吸收帶，能夠有效的吸收光譜中的可見(jiàn)光，并將能量有效的傳給Nd3+，因此Cr離子的摻入大大增加從泵浦源到激光晶體的輻射轉(zhuǎn)換效率，適合閃光燈作為泵浦源的高效固體激光器的激活介質(zhì)。1985年,Edward Reed等人研究了閃光燈泵浦下Cr，Nd:GSGG晶體的激光效率是Nd：YAG晶體的3倍，而熱透鏡效應(yīng)是Nd：YAG晶體的6倍，本文用ANSYS有限元分析軟件分析晶體的熱導(dǎo)率隨溫度變化的非線(xiàn)性變化，得到了閃光燈泵浦的Cr，Nd:GSGG晶體的內(nèi)部溫度場(chǎng)[4-6]、熱應(yīng)力場(chǎng)分布、以及改善熱透鏡效應(yīng)后的溫度場(chǎng)、應(yīng)力場(chǎng)分布進(jìn)行有限元模擬，得到詳細(xì)而直觀的結(jié)果。

1 理論模型的建立

在柱坐標(biāo)系下，熱傳導(dǎo)的方程為[7-10]：

(1)

對(duì)于穩(wěn)態(tài)，軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題上式可以簡(jiǎn)化為一維溫度分布：

(2)

式中：k=kr=kθ=kz表示熱導(dǎo)率；q為產(chǎn)生的熱量；以T(r0)表示棒面溫度，表示r=r0的邊界條件；r0為棒的半徑。則棒內(nèi)溫度場(chǎng)的分布為：

(3)

式(3)表明溫度場(chǎng)發(fā)生對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)曲線(xiàn)的變化。即周邊溫度降低，中間溫度升高。對(duì)晶體表面進(jìn)行強(qiáng)制冷卻，考慮冷卻水的溫度Tf，晶體吸收熱量后與冷卻水之間發(fā)生熱交換，當(dāng)晶體內(nèi)部吸收的總熱量Qa等于冷卻液從棒表面帶走的熱量時(shí)，就達(dá)到穩(wěn)定[11-13]：

Qa=2πr0Lh[T(r0)-Tf]

(4)

式中:h為晶體表面與冷卻液的傳熱系數(shù);L為晶體長(zhǎng)度。從式(4)可以看出,提高h(yuǎn)和降低Tf都能有效降低晶體內(nèi)的溫度。

因?yàn)榫w溫度分布的不均衡，棒的內(nèi)外層材料有了溫差，產(chǎn)生機(jī)械應(yīng)力。依據(jù)熱彈性理論，在無(wú)其他外力作用時(shí)，自由端的各向同性激光棒，熱應(yīng)力的徑向、軸向、切向分量分為：

(5)

將T(r)表達(dá)式代入上式，求解得到：

(6)

式中：S=αE[16k(1-υ)]-1，E為彈性模量；υ為泊松比；α為熱膨脹系數(shù)。晶體內(nèi)部熱應(yīng)力分布如圖1所示。

圖1 Cr,Nd:GSGG內(nèi)部晶體應(yīng)力分布圖

晶體的等效熱透鏡焦距為：

(7)

2 有限元模擬

晶體熱導(dǎo)率是隨著溫度變化的量，因此在模擬時(shí)要考慮到材料的非線(xiàn)性變化，本文的模擬就是基于圖2和表1線(xiàn)性擬合得到的擬合方程κ=2.031 12+(1 161.049 81/T)作為變化的熱導(dǎo)率來(lái)模擬晶體的溫度場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng)分布。

圖2 實(shí)驗(yàn)所得Cr,NdGSGG晶體隨溫度變化的熱導(dǎo)率

3 仿真結(jié)果及分析

采用有限元ANSYS分析軟件，對(duì)參數(shù)如表2所示的Cr，Nd:GSGG晶體進(jìn)行熱應(yīng)力和溫度場(chǎng)仿真。熱應(yīng)力分析采用間接法，其中，PLANE55，PLANE42單元軸為對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)，網(wǎng)格大小0.01 mm×0.1 mm，晶體尺寸φ6 mm×80 mm，冷卻水溫度20 ℃，晶體內(nèi)部吸收的總熱量Qa=600 J，晶體兩端空氣對(duì)流換熱系數(shù)為50 W/(m2·℃-1)，得到其溫度場(chǎng)模擬如圖3所示。

表2 Cr,Nd:GSGG晶體的性質(zhì)參數(shù)[14-16]

從圖3可以看出，棒的兩邊溫度T(ro)=86.4 ℃，棒的中間溫度T(0)=203.7 ℃，溫度以?huà)佄锞€(xiàn)曲線(xiàn)的形態(tài)改變，與理論相符。

當(dāng)熱導(dǎo)率為常量，在條件不變的情況下，仿真出來(lái)的溫度場(chǎng)分布如圖3(b)所示，可以看出，與圖3(a)相比，棒的兩邊溫度沒(méi)有變化，棒的中間溫度有16.7 ℃差距，造成圖3所示的兩種中心溫度不同的原因就是熱導(dǎo)率隨著溫度的升高減小從而使得導(dǎo)熱性能下降。

為了降低晶體的熱效應(yīng)，在其他條件不變得情況下，通過(guò)降低冷卻液的溫度(Tf變?yōu)?5 ℃)和加快冷卻液的流動(dòng)速度以提高棒表面與水的傳熱系數(shù)(h變?yōu)? 000 W/m2K-1)，得到棒內(nèi)溫度場(chǎng)分布情況如圖4所示。

(a) Tf=20 ℃，h=8 000 W·(m2·℃)-1(b) Tf=15 ℃，h=6 000 W·(m2·℃)-1

從圖4所知，通過(guò)降低水的溫度，增加水和晶體傳熱系數(shù)，不僅晶體中心溫度有明顯的減少，而且兩邊的溫度大幅降低。但是棒內(nèi)溫度場(chǎng)不均勻的狀況仍然沒(méi)有得到改變，棒中心到棒邊緣的溫度差ΔT=117.3 ℃并沒(méi)有改變。那么這種溫度不均就會(huì)使得棒的端面形狀發(fā)生變化，即所謂的端面效應(yīng)。用ANSYS模擬的熱導(dǎo)率為變量和常量條件下晶體的變形情況如圖5所示。

(a) κ=2.031 12+(1 161.049 81/T)W·(m·K)-1(b) κ=6.0 W·(m·K)-1

溫度不均使得棒端面發(fā)生變形，棒端面改變?yōu)橥姑妫瑥膱D5上所知，變化熱導(dǎo)下的晶體的形變量是常量熱導(dǎo)率下的形變量的1.1倍。目前情況下，經(jīng)常采用端面修磨的方法來(lái)彌補(bǔ)，由于棒端面發(fā)生變形，而對(duì)激光模式帶來(lái)的損耗影響，這種方法同時(shí)彌補(bǔ)了熱透鏡效應(yīng)。把棒的端面修磨成一個(gè)凹面，凹面的半徑為R=(no-1)fT，由于變化熱導(dǎo)率引起的端面形變較大，因此中心向內(nèi)的修磨量就要稍微大一點(diǎn)才能夠得到理想的效果。修磨后激光棒的形變以及應(yīng)力場(chǎng)分布如圖6所示。

圖6 Cr,Nd:GSGG晶體應(yīng)力分布

從圖7中可以看出，晶體修磨過(guò)后的端面由于熱效應(yīng)被填平，對(duì)于熱透鏡效應(yīng)起到了很好的補(bǔ)償作用，但是棒體內(nèi)的溫度梯度沒(méi)有隨之發(fā)生變化，其端面應(yīng)力隨之發(fā)生改變，如圖7所示。由于端面的修磨，棒端面的邊緣應(yīng)力隨之變大，而且越來(lái)越集中，其中，隨著凹面的半徑的增加，邊緣應(yīng)力會(huì)慢慢超出棒的破壞閾值，損壞了晶體，所以，棒的端面修磨要有尺度。圖5為沒(méi)有修磨前晶體在兩種熱導(dǎo)率條件下內(nèi)部的應(yīng)力分布，兩者的應(yīng)力分布都是中心和邊緣應(yīng)力較大，靠近端面的區(qū)域應(yīng)力很小，所不同的是應(yīng)力在這兩個(gè)區(qū)域大小不一樣，變化熱導(dǎo)率條件下的應(yīng)力分布更加容易使得晶體端面發(fā)生形變甚至破裂。在實(shí)際應(yīng)用中對(duì)于熱透鏡效應(yīng)的改善應(yīng)采用設(shè)計(jì)相應(yīng)諧振腔，或者加負(fù)透鏡的方法以抵消熱致雙折射或熱透鏡的影響。

圖7 Cr,Nd:GSGG晶體修磨后的應(yīng)力分布

4 結(jié) 語(yǔ)

本文給出有限元分析的一般步驟，并且用ANSYS有限元分析軟件對(duì)閃光燈泵浦下的Cr,Nd:GSGG晶體的溫度場(chǎng)分布，應(yīng)力場(chǎng)分布進(jìn)行了有限元分析，結(jié)果表明提高冷卻水與晶體的傳熱系數(shù)，降低冷卻水的溫度可以有效降低晶體棒內(nèi)的溫度，而端面的適當(dāng)修磨對(duì)于熱透鏡效應(yīng)的改善起到一定作用。本模擬是建立在熱導(dǎo)率隨溫度變化的基礎(chǔ)上的，材料非線(xiàn)性分析，較之熱導(dǎo)率為常數(shù)的模擬結(jié)果更接近于真實(shí)值，通過(guò)上面的分析，將對(duì)Cr,Nd:GSGG晶體有一個(gè)詳細(xì)的了解，在設(shè)計(jì)激光器件時(shí)有一定參考價(jià)值。

——摘自《國(guó)家中長(zhǎng)期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要(2010-2020年)》