曾雷，符興鋒，任強(qiáng)，張松林，翟艷霞，王佳騏

(廣州汽車集團(tuán)股份有限公司汽車工程研究院，廣州廣東 511434)

0 引言

燃料電池是一種把燃料所具有的吉布斯自由能部分轉(zhuǎn)換成電能的裝置，它分為堿性燃料電池、磷酸燃料電池、固體氧化物燃料電池、質(zhì)子交換膜燃料電池(Proton Exchange Membrane Fuel Cell, PEMFC)。其中PEMFC以氫作為燃料，具有功率密度高、體積小、質(zhì)量輕、反應(yīng)溫度適中、啟動(dòng)速度快、比能量高等優(yōu)點(diǎn)，是21世紀(jì)最有前途的“綠色能源”裝置[1]，被認(rèn)為是實(shí)現(xiàn)未來汽車工業(yè)可持續(xù)發(fā)展的重要方向之一[2]。

對于PEMFC來說，歐姆內(nèi)阻是其運(yùn)行的一個(gè)重要參數(shù)，它反映了燃料電池內(nèi)部的運(yùn)行狀態(tài)[3]，是衡量質(zhì)子和電子在電池內(nèi)部傳輸難易程度的主要標(biāo)志，體現(xiàn)發(fā)電效率的大小[4]。另外，通過估計(jì)歐姆內(nèi)阻可以間接地預(yù)測膜的濕度和電池壽命的衰減。文獻(xiàn)[5-6]中采用交流阻抗法測量燃料電池的內(nèi)阻，該方法對燃料電池的擾動(dòng)比較小，但也需要額外的激勵(lì)源。文獻(xiàn)[7]中采用改進(jìn)型交流阻抗法測量燃料電池的內(nèi)阻，但仍然需要額外的激勵(lì)源。文獻(xiàn)[3]中則采用雙卡爾曼濾波算法估計(jì)燃料電池歐姆內(nèi)阻，只需輸入燃料電池電壓電流數(shù)據(jù)即可實(shí)時(shí)辨識(shí)出燃料電池歐姆內(nèi)阻，但雙卡爾曼濾波算法相對較復(fù)雜。本文作者采用最小二乘法，根據(jù)燃料電池電壓電流數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)辨識(shí)燃料電池歐姆內(nèi)阻。

1 燃料電池等效電路模型

1.1 燃料電池工作原理

PEMFC由陽極、陰極和質(zhì)子交換膜組成，基本原理如圖1所示。工作時(shí)，氫氣和氧氣發(fā)生反應(yīng)形成離子移動(dòng)，從而在外部電路形成電流。陽極發(fā)生氧化反應(yīng)，電子流流向外部電路，氫離子穿過質(zhì)子交換膜到達(dá)陰極：

H2→2H++2e

(1)

陰極發(fā)生還原反應(yīng)，氧氣與氫離子結(jié)合產(chǎn)生水：

(2)

電池總反應(yīng)：

(3)

圖1 PEMFC基本原理

1.2 燃料電池工作原理

文獻(xiàn)[8]中同時(shí)考慮燃料電池內(nèi)阻容性和阻性的特點(diǎn)，提出的電池內(nèi)部電路模型如圖2所示，該模型由一個(gè)電阻和一個(gè)阻容并聯(lián)環(huán)節(jié)組成。

圖2 燃料電池內(nèi)部電路模型

模型中電阻R0即是所求的歐姆內(nèi)阻，由于該電阻的存在，當(dāng)電流IL發(fā)生突變時(shí)也會(huì)引起輸出電壓UL的突變，由雙電層分布電容CTh和電阻RTh組成的RC并聯(lián)環(huán)節(jié)，體現(xiàn)了燃料電池電極表面多孔結(jié)構(gòu)的化學(xué)特性[3]。燃料電池能斯特電壓與氫氣壓力、氧氣壓力以及溫度等多種因素有關(guān)，實(shí)際得到的開路電壓要比理論計(jì)算得到的能斯特電壓小[3]。模型中的UOC可理解為燃料電池的開路電壓，在燃料電池正常工作區(qū)域(線性區(qū)域)可視為定值。

1.3 等效電路模型的差分方程

根據(jù)電路相關(guān)知識(shí)可列出等效模型的數(shù)學(xué)關(guān)系如下：

(4)

下面推導(dǎo)該模型的差分方程，將公式(4)離散化得

(5)

式中：Δt為采樣間隔；τ為時(shí)間常數(shù)；k為采樣時(shí)刻。令Ek為k時(shí)刻的動(dòng)態(tài)電壓：

Ek=UL,k-UOC,k

(6)

由公式(5)和(6)可得

Ek+1=-[e-Δt/τUTh,k+(1-e-Δt/τ)RThIL,k]-IL,k+1R0=

-[e-Δt/τ(UOC,k-UL,k-IL,kR0)+(1-e-Δt/τ)RThIL,k]-IL,k+1R0=

e-Δt/τEk+(-R0)IL,k+1+[e-Δt/τR0-(1-e-Δt/τ)RTh]IL,k

(7)

因此，差分方程可以寫成：

Ek+1=aEk+bIL,k+1+cIL,k

(8)

式中：a、b、c為待估計(jì)參數(shù)，a、b、c分別為

(9)

由公式(9)可知，只要能辨識(shí)出差分方程的參數(shù)b，就可以求出電池等效模型的參數(shù)R0，即燃料電池的歐姆內(nèi)阻。

2 利用最小二乘法辨識(shí)歐姆內(nèi)阻

2.1 離線最小二乘法

最小二乘法是一種古老的數(shù)據(jù)處理方法，由高斯首先提出最小二乘法的概念，并將它用于天文計(jì)算。在參數(shù)辨識(shí)領(lǐng)域中，最小二乘法是重要的估計(jì)方法。它既可以用于動(dòng)態(tài)系統(tǒng)也可用于靜態(tài)系統(tǒng)，既可用于線性系統(tǒng)也可用于非線性系統(tǒng)，既可用于離線估計(jì)也可用于在線估計(jì)。在隨機(jī)的環(huán)境條件下，利用最小二乘法時(shí)，并不要求觀測數(shù)據(jù)提供出有關(guān)噪聲的概率統(tǒng)計(jì)特性，而這種方法所得出的結(jié)果卻有相當(dāng)好的統(tǒng)計(jì)特性。下面對最小二乘法基本原理進(jìn)行簡要介紹，假設(shè)被辨識(shí)系統(tǒng)的差分方程：

z(k)=-a1z(k-1)-......-anz(k-na)+b0u(k)+b1u(k-1)+......+bnu(k-nb)+e(k)

(10)

式中：z(k)為系統(tǒng)輸出量的第k次觀測值，z(k-1)是系統(tǒng)輸出量的第k-1次觀測值，依次類推；u(k)為系統(tǒng)的第k次輸入值；e(k)為均值為零的噪聲；a1、......、an，b1、......、bn為待辨識(shí)參數(shù)。

令：

(11)

式中：h為樣本集合；θ為待辨識(shí)參數(shù)向量，則式(10)可改寫為

z(k)=hT(k)θ+e(k)

(12)

對于k=1,2,......，G，構(gòu)成了一個(gè)線性方程組，可以寫成：

zG(k)=HG(k)θ+eG(k)

(13)

式中：

(14)

HG=

(15)

最小二乘法的基本思想是找出一個(gè)參數(shù)估計(jì)值θ，使得判定函數(shù)：

(16)

取極小值，此時(shí)的參數(shù)估計(jì)值稱為最小二乘法意義下的估計(jì)值，用θGS表示，可以推出：

(17)

2.2 遞推最小二乘法及歐姆內(nèi)阻辨識(shí)

上一節(jié)討論的最小二乘算法是一種離線算法，適合成批處理觀測數(shù)據(jù)。為了實(shí)時(shí)跟蹤動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的時(shí)變參數(shù)，需轉(zhuǎn)化成遞推算法。遞推算法的基本思想是當(dāng)被辨識(shí)系統(tǒng)在運(yùn)行時(shí)，每獲得一組新的觀測數(shù)據(jù)后，在上次估計(jì)結(jié)果的基礎(chǔ)上，利用新獲取的觀測數(shù)據(jù)對上次估計(jì)的結(jié)果根據(jù)遞推算法進(jìn)行修正，從而遞推得到新的參數(shù)估計(jì)值。這樣隨著新的觀測數(shù)據(jù)的逐次引入，不斷地進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，直到參數(shù)估計(jì)值接近于真實(shí)值。遞推最小二乘算法的基本思想可以概括：

此次新的估計(jì)值=上次老的估計(jì)值+修正項(xiàng)

即新的估計(jì)值是在老的估計(jì)值的基礎(chǔ)上，利用新的觀測數(shù)據(jù)對老估計(jì)值進(jìn)行修正而得到的。假設(shè)上次老的估計(jì)值：

(18)

則此次新的估計(jì)值：

(19)

令：

(20)

則可以推出：

(21)

整理得到最小二乘法的遞推公式：

(22)

最小二乘算法的推導(dǎo)中，沒有做任何近似處理。因此，遞推估計(jì)和離線估計(jì)在理論上是一致的。結(jié)合公式(8)電池模型的差分方程，可知：

(23)

式中：Ek=UL,k-UOC,k，開路電壓UOC,k在燃料電池正常工作區(qū)域可視為定值，給定初始值P0和θGS,0(后面章節(jié)有初始值設(shè)定分析)，再輸入燃料電池兩端電壓、電流值即可實(shí)時(shí)辨識(shí)出a、b、c3個(gè)參數(shù)。根據(jù)公式(9)可知?dú)W姆內(nèi)阻為-b，從而得到電池的歐姆內(nèi)阻。

3 算法分析及驗(yàn)證

3.1 歐姆內(nèi)阻辨識(shí)

文中采用廣汽某款燃料電池車上的電堆，額定功率30 kW，由120片單體串聯(lián)而成，工作電流0～500 A，工作電壓60～120 V，開路電壓105 V。文中搭載NEDC(New European Driving Cycle)工況進(jìn)行算法的分析及驗(yàn)證。NEDC是新歐洲行駛工況，主要有歐洲、中國、澳大利亞等國家使用，由市區(qū)運(yùn)轉(zhuǎn)循環(huán)和市郊運(yùn)轉(zhuǎn)循環(huán)組成，其電壓電流曲線如圖3所示，采樣間隔為0.2 s。

圖3 NEDC工況電壓電流曲線

給定初始值如下：

θGS,0=[1, 1, 1]T×m

(24)

式中：n為1×106；m為0。實(shí)時(shí)辨識(shí)出的歐姆內(nèi)阻曲線如圖4所示?？梢钥闯觯涸诒孀R(shí)初期結(jié)果波動(dòng)比較大，這是因?yàn)樗惴ㄔ诒孀R(shí)初期還未收斂，之后曲線逐漸穩(wěn)定，驗(yàn)證了算法的收斂性，最終的辨識(shí)結(jié)果為0.037 9 Ω。

圖4 歐姆內(nèi)阻辨識(shí)結(jié)果

3.2 算法驗(yàn)證

燃料電池的可測量較少，常用的參數(shù)辨識(shí)準(zhǔn)確與否的驗(yàn)證方法是利用真實(shí)電壓輸出與辨識(shí)得到內(nèi)部參數(shù)值之后，利用辨識(shí)參數(shù)值導(dǎo)入仿真模型得到的電壓輸出值，兩者相比較可以得出參數(shù)辨識(shí)算法對電池內(nèi)部參數(shù)的辨識(shí)能力，兩者之間的誤差值越小，則辨識(shí)算法越準(zhǔn)確，這是目前較為常用的參數(shù)辨識(shí)算法的評(píng)價(jià)方法。在Simulink仿真平臺(tái)上搭建好驗(yàn)證模型，如圖5所示，輸入電流、真實(shí)的電壓以及開路電壓值，利用遞推最小二乘法估計(jì)出歐姆內(nèi)阻，然后反推出仿真電壓值，再結(jié)合真實(shí)電壓值得出電壓誤差曲線。電壓誤差如圖6所示，可以看出：整個(gè)辨識(shí)過程中電壓誤差值始終在±1.5 V以內(nèi)，相對開路電壓誤差為1.4%，驗(yàn)證了算法的有效性。

3.3 算法初始值的設(shè)定

對于上述算法，在開始計(jì)算的第一步必須給定P0和θGS,0的初始值，表1是不同初始值對應(yīng)的估計(jì)結(jié)果，m、n含義見上文所述。

圖5 驗(yàn)證模型

圖6 電壓誤差結(jié)果

mn101×1031×1061×101600.037 90.037 90.037 90.037 9-1000.038 50.037 90.037 90.037 91000.037 40.037 90.037 90.037 9

從表中可以看出：當(dāng)n的取值足夠大時(shí)(1 000以上)，初值的設(shè)定對估計(jì)結(jié)果無影響。當(dāng)n初始取值10時(shí)，m初始值-100和100對應(yīng)的相對誤差也僅為1.6%和1.3%，在可接受范圍內(nèi)。因此，初始值的選定對估計(jì)結(jié)果影響很小，當(dāng)n取值足夠大時(shí)，初值對估計(jì)結(jié)果的影響基本可以忽略。由此可見，算法具有良好的魯棒性。

4 結(jié)束語

文中基于質(zhì)子交換膜燃料電池的等效電路模型，提出采用最小二乘法辨識(shí)電池的歐姆內(nèi)阻，所提出的方法與現(xiàn)有方法相比，具有在線實(shí)時(shí)估計(jì)、無需額外激勵(lì)源以及硬件電路支持、算法較簡單等優(yōu)點(diǎn)，而且通過搭載整車NEDC工況，在Simulink仿真平臺(tái)上驗(yàn)證了該算法的收斂性、有效性以及良好的魯棒性。當(dāng)然，該算法僅僅適用于燃料電池在線性工作區(qū)域內(nèi)，結(jié)合實(shí)車數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)燃料電池大部分時(shí)間都工作在線性區(qū)域，因此并不影響此方法的推廣。對于PEMFC來說，歐姆內(nèi)阻反映了燃料電池內(nèi)部的運(yùn)行狀態(tài)，是衡量質(zhì)子和電子在電池內(nèi)部傳輸難易程度的主要標(biāo)志，體現(xiàn)發(fā)電效率的大小。另外，通過估計(jì)歐姆內(nèi)阻可以間接地預(yù)測膜的濕度和電池壽命的衰減。由于電堆中各單體本身存在差異性以及電堆裝配工藝的原因，單體電池的輸出特性存在不一致，而單片電池的性能會(huì)直接影響到整個(gè)電堆的性能。因此，辨識(shí)出的歐姆內(nèi)阻可應(yīng)用于：(1)間接估算膜的濕度，為加濕策略提供參考；(2)間接估算電堆的健康狀態(tài)，從而預(yù)測電堆壽命；(3)估算電堆輸出功率、發(fā)電效率等狀態(tài)參數(shù)；(4)辨識(shí)出單體的歐姆內(nèi)阻可判斷電堆的不一致性，從而及時(shí)采用相應(yīng)措施。