范冰嬋

（武漢工商學(xué)院公共課部， 湖北 武漢 430065）

1 模型分析

CT（ComputedTomography）可以在不破壞樣品的情況下，利用樣品對射線能量的吸收特性對生物組織和工程材料的樣品進(jìn)行斷層成像，由此獲取樣品內(nèi)部的結(jié)構(gòu)信息。本文通過對賽題中數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，首先需要確定探測器之間距離，以橢圓長短半軸建立坐標(biāo)系，確定水平方向、豎直方向最大吸收率,對應(yīng)地計算出探測器到對稱中心的距離，從而確定旋轉(zhuǎn)中心位置；分析數(shù)據(jù)，篩選出吸收率的最大值在該點旋轉(zhuǎn)的次數(shù)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)到短半軸的度數(shù)，確定旋轉(zhuǎn)到短半軸方向的旋轉(zhuǎn)次數(shù)，以此確定出探測器的180個方向參數(shù)信息；最后利用randon反變換以及濾波反投影法構(gòu)建CT圖像，并通過分析未知介質(zhì)的參數(shù)信息重建CT圖像。

2 模型假設(shè)

1）整個發(fā)射接收系統(tǒng)繞某固定旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)速度是均勻恒定的。

2）穿過的介質(zhì)越厚X射線的吸收率越高。3）橢圓圓心與小圓圓心在同一水平線上。

4）整個裝置勻速旋轉(zhuǎn)。

3 CT系統(tǒng)參數(shù)確定

3.1 探測器間距離確定

由于CT系統(tǒng)探測器之間距離等距，因此可以先確定連續(xù)幾個探測器之間的距離，再計算得出探測器單元之間的距離[1]。

1）臨界點確定。因為X射線平行入射且垂直于探測器平面，將每個探測器單元看成一個接收點，且等距排列，由于每條X射線射入介質(zhì)內(nèi)的厚度不同，所以吸收率最大的為射入橢圓長軸的X射線，首先篩選出最大吸收率為141.779 4，位于第223行第EU列，因為每一個X射線方向都有512個等距單元探測器，發(fā)射-接收系統(tǒng)繞某固定的旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)到X射線與橢圓短半軸相切。

2）探測器間距離計算。由于CT數(shù)據(jù)是按照512個探測器所接收的信息排列，所以第223行EU列、第168行EU列數(shù)據(jù)即為第223個探測器、第168個探測器接收的吸收率數(shù)據(jù)，則這兩個臨界點之間相隔的等距單位個數(shù)為：278-168=110。橢圓短軸長度為30 mm，則探測器單元的距離為：L=30 mm÷110=0.272 7 mm。

3.2 CT系統(tǒng)X射線的180個方向確定

正方形托盤上放置的標(biāo)定模板為兩個均勻固體介質(zhì)，所以兩均勻固體介質(zhì)上每一點對X射線的吸收率相同。吸收率最大的為射入橢圓長半軸的X射線，當(dāng)X射線旋轉(zhuǎn)到橢圓長半軸時，篩選出吸收率的最大值為141.779 4，在該點旋轉(zhuǎn)次數(shù)為151次，X射線從長半軸方向旋轉(zhuǎn)到短半軸方向大約需旋轉(zhuǎn)90次，旋轉(zhuǎn)到短半軸方向的旋轉(zhuǎn)次數(shù)大約為61次，數(shù)據(jù)中篩選出旋轉(zhuǎn)次數(shù)61次周圍的吸收率最大值，為67.352 9，旋轉(zhuǎn)次數(shù)為61次，即X射線旋轉(zhuǎn)過短半軸次數(shù)為61次，中間相隔：151-61=90次，由于橢圓長半軸與短半軸成90°角，所以每轉(zhuǎn)過一次為：90°÷90次=1°/次，所以CT系統(tǒng)使用的X射線的180個方向是由初始位置開始，每次逆時針旋轉(zhuǎn)1°，初始位置與水平方向夾角為θ'5=13×1°+θ2=60.601 3[2]。

4 CT未知介質(zhì)成像

4.1 基于MATLAB的未知介質(zhì)幾何形狀確定

利用上述CT系統(tǒng)得到的某未知介質(zhì)的接收信息，將數(shù)據(jù)帶入軟件Matlab中函iradon數(shù)中，反投影應(yīng)公式對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，將處理好的數(shù)據(jù)及其坐標(biāo)帶入imagesc中，imagesc(E)將矩陣E中的元素數(shù)值按大小轉(zhuǎn)化為不同顏色，并在坐標(biāo)軸對應(yīng)位置處以這種顏色染色，運行Matlab軟件得到未知介質(zhì)在正方形托盤中的幾何形狀如圖1所示[3]：

圖1 未知形狀在正方形托盤中的形狀

由圖1可知，未知介質(zhì)在正方形托盤中的幾何形狀是一個橢圓形。

4.2 未知介質(zhì)圖像重建

1）偏移角確定。X射線平行入射且垂直于探測器平面，將每個探測器單元看成一個接收點，且等距排列，由題目可知X射線穿過的介質(zhì)越厚，吸收率越高，接收信號越強，所以X射線穿過橢圓長半軸時，接收到信號的探測器數(shù)量最多，296個探測器接收到信號，且52～62次測量的非零數(shù)據(jù)個數(shù)都為296，中間次數(shù)為56次，此時該探測單元所對應(yīng)的X射線經(jīng)過橢圓短軸，則X射線從初始位置旋轉(zhuǎn)了55次，旋轉(zhuǎn)度數(shù)為55θˉ，則橢圓短半軸與水平方向的偏移角為：θ4=θ1+θ2-55θˉ.將數(shù)據(jù)帶入式中，得到橢圓短半軸與水平方向的偏移角θ4=5.513 1°。

2）未知介質(zhì)在正方形托盤中位置確定。因為同一方向的X射線是互相平行的，所以第246個探測器單元對應(yīng)的X射線與第238.5個探測器單元對應(yīng)的X射線平行，兩者相距246-238.5=7.5個探測單元，則距離為：，代入數(shù)據(jù)得到L3=2.045 3 mm。

第220個探測器單元對應(yīng)的X射線與第222個探測器單元對應(yīng)的X射線平行，兩者相距222-220=2個探測單元，則距離為：L4=2L，代入數(shù)據(jù)得到L4=0.545 4 mm。

3）未知介質(zhì)吸收率確定。截取以橢圓為中心的最小長方形，發(fā)現(xiàn)豎直方向有298個數(shù)據(jù)，水平方向有160個數(shù)據(jù)，每個數(shù)據(jù)對應(yīng)一個位置。由于所有數(shù)據(jù)為256×256，可以得出在水平方向的距離。

起始位置與水平方向的夾角為：θ5=θ1+θ2，代入數(shù)據(jù)得到：θ5=60.628 6°，所以旋轉(zhuǎn)次數(shù)為：，則第61列所對應(yīng)的非零數(shù)據(jù)個數(shù)為295個，即接收到信號的探測器有295個，寬度為：L5=L·（295-1），代入數(shù)據(jù)得到寬度L5=80.173 8 mm。

由于發(fā)射-接收系統(tǒng)為100 mm×100 mm，要變成256×256中每個點的吸收率，在水平方向上進(jìn)行變換：，即為變換后水平方向數(shù)據(jù)。

5 模型評價

X射線平行入射且垂直于探測器平面，將每個探測器單元看成一個接收點，且等距排列，同一方向的X射線互為平行光線，所以采用CT成像的連續(xù)數(shù)學(xué)模型平行投影，利用Radon反演來確定幾何形狀，而CT成像過程分為信息獲取過程和信息處理過程，利用掃描獲取信息用時較短，數(shù)據(jù)準(zhǔn)確。該模型可用于3D打印機以及3D投影技術(shù)等方面，對于此類問題提供了一個較優(yōu)的模型。