湖北 許 文

一、問題的提出

如何定性比較同一帶電粒子在不同邊界的相同勻強磁場中做部分圓弧運動的時間？或者幾個相同的粒子以相同的初速率從不同位置或不同方向射入同一勻強磁場中做部分圓周運動的時間？

對以上提出的問題，如果采用定量的方法進(jìn)行研究，求出粒子在有界勻強磁場中做部分圓周運動的圓心角，通過比較圓心角的大小來比較粒子在磁場中的運動時間，有時往往會因數(shù)學(xué)計算顯得較為繁瑣。若將粒子運動的磁場區(qū)域疊合在一起，則粒子運動的部分圓弧軌跡就可能重疊。定性的畫出粒子可能的運動圓弧軌跡，再比較其運動時間，問題就會變得直觀、簡潔、明了。

二、實例分析

【例1】如圖1所示，圖1甲中正方形邊長、圖1乙中圓的直徑、圖1丙中菱形的對角線與圖1丁中等腰直角三角形的直角邊長均相等。這些區(qū)域中均有相同的勻強磁場，磁場方向垂直區(qū)域平面向里。有四個電子以相同的速度分別從圖1甲中正方形區(qū)域一邊的中點垂直于邊長射入、從圖1乙中圓形區(qū)域的邊界正對圓心射入、從圖1丙中菱形區(qū)域的一頂點沿對角線射入、從圖1丁中等腰直角三角形區(qū)域的直角邊中點垂直該邊射磁場中，電子在這些磁場區(qū)域中運動的時間分別為t甲、t乙、t丙、t丁。則以下關(guān)系可能正確的是

( )

圖1

A.t甲=t乙=t丙=t丁B.t丙=t丁

C.t丙t丙=t丁

圖2

【答案】ABC

【點評】本題中的四個電子有相同的初速度，它們在相同的磁場中的偏轉(zhuǎn)方向與做勻速圓周運動的半徑相同。將它們運動的不同的四個磁場區(qū)域疊合在一起，則這四個電子的運動軌跡將重疊。改變電子運動的初速度大小，電子運動的圓軌跡半徑就會改變。畫出電子運動的某一可能的軌跡圓(如圖2中的圓1)，在電子入射點的位置不變的情況下對這一軌跡圓進(jìn)行適當(dāng)?shù)目s放，得到某些特征的軌跡圓(如圖2中的圓2與圓3)，則四個電子分別在四個磁場區(qū)域中做部分圓周運動的時間大小關(guān)系便清楚明了。

【例2】如圖3所示，以O(shè)為圓心、MN為直徑的圓內(nèi)左半部分有垂直向里的勻強磁場。三個不計重力、質(zhì)量相同、電荷量相同的帶正電的粒子a、b、c以相同大小的速度分別沿AO、BO、CO方向垂直于磁場射入磁場區(qū)域，已知BO⊥MN，AO、CO與BO的夾角均為30°，不計粒子重力及粒子間的相互作用力，a、b、c三個粒子在磁場中運動的時間分別為ta、tb、tc，則關(guān)于ta、tb、tc的大小關(guān)系可能的是

( )

圖3

A.tatb>tc

C.ta=tb

【解析】由于這三個粒子的質(zhì)量與電荷量相同，且以相同大小的速率射入同一勻強磁場中做圓周運動，可知這三個粒子在磁場中做圓周運動的半徑相同。由于粒子a只可能在AOM的扇形磁場區(qū)域內(nèi)運動，粒子b只可能在BOM的扇形磁場區(qū)域內(nèi)運動，粒子c只可能在COM的扇形磁場區(qū)域內(nèi)運動。如果將它們運動的磁場區(qū)域以AO、BO、CO線為底邊疊合在一起(如圖4所示)，則等效為三個粒子入射磁場的位置相同，它們在磁場中的偏轉(zhuǎn)方向也相同，故它們在磁場中運動的圓軌跡是重合的。由于粒子運動的軌跡圓半徑大小與其速度大小有關(guān)。不同大小的速度，粒子軌跡圓的半徑將不同。我們將粒子的運動的某一軌跡圓進(jìn)行適當(dāng)縮放，就可得到粒子從磁場各邊界射出的情景。

如圖4所示，當(dāng)粒子的軌跡圓為1時，這三個粒子均從場區(qū)圓弧的邊界同一位置射出(用a1標(biāo)記粒子射出位置)，則有ta=tb=tc，選項D正確；當(dāng)粒子的軌跡圓為2時，則a粒子先從磁場OM邊界上射出(用a2標(biāo)記粒子射出位置)，而后b、c兩個粒子從場區(qū)圓弧的邊界相同位置射出磁場，則有ta

圖4

【答案】AD

【點評】本題中的三個帶正電的相同粒子以相同大小的速度，分別從不同位置進(jìn)入同一磁場中運動，它們在磁場中可能運動的區(qū)域只有部分相同。認(rèn)清它們在磁場中可能運動的區(qū)域，將它們進(jìn)入磁場的入射點與運動的磁場區(qū)域疊合在一起，這三個粒子的運動軌跡將重疊。改變粒子運動的速度大小，粒子運動的圓軌跡半徑就會改變。對某一軌跡圓進(jìn)行適當(dāng)?shù)目s放，就能得到它們可能從磁場不同邊界射出磁場的各種情景，從而為比較它們在磁場中運動時間大小關(guān)系帶來了極大的方便。

【例3】如圖5所示，在Rt△ABC內(nèi)有垂直紙面向里的勻強磁場，∠ABC=30°，D、F將斜邊AB三等分，DE、FG平行于AC。a、b、c三個相同的帶正電的粒子分別從D、F、A三點分別沿DE、FG、AC方向以相同的初速度射入磁場，它們在磁場中運動的時間分別為ta、tb、tc。不計粒子重力及粒子間的相互作用力，則關(guān)于ta、tb、tc的大小關(guān)系可能的是

( )

A.tatb>tc

C.ta=tb

【解析】如圖5所示，這三個粒子在磁場中做圓周運動的半徑相同，偏轉(zhuǎn)方向相同。但粒子a只可能在△BDE的磁場區(qū)域內(nèi)運動，粒子b只可能在△BFG的磁場區(qū)域內(nèi)運動，粒子c只可能在△BAC的磁場區(qū)域內(nèi)運動。將它們進(jìn)入磁場的入射點與可能運動的部分磁場區(qū)域疊合在一起(如圖6所示)，等效為它們在磁場區(qū)域內(nèi)運動的軌跡重合。改變粒子運動的速度大小，就可改變粒子運動的圓軌跡半徑。當(dāng)粒子的軌跡圓為1時，它們到達(dá)磁場邊界AB上的位置相同用a1標(biāo)記射出位置，這種情況下應(yīng)有ta=tb=tc，選項D正確；當(dāng)粒子的軌跡圓為2時，a粒子先從磁場豎直邊界EB″上射出(用a2標(biāo)記粒子射出位置)，后b、c兩個粒子從AB邊同一位置射出磁場，這種情況下應(yīng)有ta

圖6

【答案】AD