鄧云生，楊洪勇

(魯東大學(xué)信息與電氣工程學(xué)院 山東 煙臺 264025)

復(fù)雜系統(tǒng)中群體合作行為的涌現(xiàn)一直備受關(guān)注，是復(fù)雜性科學(xué)領(lǐng)域中研究熱點(diǎn)之一。通過將復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論和演化博弈理論相結(jié)合的方法，對各種復(fù)雜系統(tǒng)中的關(guān)系進(jìn)行模擬，為人們研究現(xiàn)實(shí)世界中群體合作行為提供了有力的理論支持。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的演化博弈研究始于對規(guī)則網(wǎng)絡(luò)上的博弈行為的探討[1]，隨著“小世界”網(wǎng)絡(luò)模型[2]和“無標(biāo)度”網(wǎng)絡(luò)模型[3]的提出，研究逐漸從關(guān)注規(guī)則網(wǎng)絡(luò)上的博弈行為發(fā)展到關(guān)注“小世界”與“無標(biāo)度”網(wǎng)絡(luò)模型上的博弈行為，并產(chǎn)生了豐富的理論成果[4-14]。隨著研究的深入，人們認(rèn)識到現(xiàn)實(shí)世界中的網(wǎng)絡(luò)并非獨(dú)立存在，它們之間往往存在各種各樣的聯(lián)系，相依型多層網(wǎng)絡(luò)(interdependent networks)的概念由此提出[15]。網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)是影響網(wǎng)絡(luò)演化博弈行為的重要因素，相依型多層網(wǎng)絡(luò)模型提出之后，其上的演化博弈研究成為當(dāng)前網(wǎng)絡(luò)科學(xué)研究的前沿問題。

文獻(xiàn)[16]在由規(guī)模相同的網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的相依型網(wǎng)絡(luò)模型上引入公共品博弈，研究了概率連接對整個系統(tǒng)中合作行為的影響以及相依型網(wǎng)絡(luò)不同網(wǎng)絡(luò)層間的耦合關(guān)系，實(shí)驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn)，存在一個中等大小的連接概率使得系統(tǒng)中的合作者水平達(dá)到最優(yōu)。文獻(xiàn)[17]研究了由效用函數(shù)構(gòu)造的相依型網(wǎng)絡(luò)上的公共合作問題，研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)，效用函數(shù)的偏置性越強(qiáng)，公共合作水平越高。文獻(xiàn)[18]借助相依型多層網(wǎng)絡(luò)描述個體所具有的不同社會關(guān)系，通過在每一層網(wǎng)絡(luò)上進(jìn)行囚徒博弈的動力學(xué)演化研究，發(fā)現(xiàn)在較大的背叛誘惑參數(shù)下，相依型多層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)會增大合作行為的韌性，而這種韌性實(shí)質(zhì)上是由一些重要的跨網(wǎng)絡(luò)層的合作行為構(gòu)成。文獻(xiàn)[19]在相依型多層網(wǎng)絡(luò)的不同網(wǎng)絡(luò)之間引入囚徒博弈和雪堆博弈，網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)以概率p學(xué)習(xí)同一層鄰居的策略，以概率1-p學(xué)習(xí)相鄰層鄰居的策略。研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)學(xué)習(xí)概率p的值從p=1處開始下降時，有利于促進(jìn)采用囚徒博弈策略的群體內(nèi)的合作，而采用雪堆博弈群體內(nèi)的合作水平會隨之降低。文獻(xiàn)[20]研究相依型網(wǎng)絡(luò)上的囚徒博弈，發(fā)現(xiàn)囚徒博弈可以提高系統(tǒng)整體的合作水平，同時也發(fā)現(xiàn)了該網(wǎng)絡(luò)模型下背叛領(lǐng)袖與合作領(lǐng)袖的互動機(jī)理。文獻(xiàn)[21]研究了相依型網(wǎng)絡(luò)上小團(tuán)體的合作行為演化在人群疏散過程中的應(yīng)用，通過令不同網(wǎng)絡(luò)層上的小團(tuán)體內(nèi)部成員之間以及不同小團(tuán)體的成員之間采用不同的博弈策略，研究了鏈路的比例和強(qiáng)度對合作演化行為的影響。文獻(xiàn)[22]對相依型多層網(wǎng)絡(luò)上的演化博弈研究進(jìn)行了回顧和梳理，概述了單層和多層網(wǎng)絡(luò)之間最顯著的概念差異，提供了基本的定義和分類的最常用術(shù)語。最后強(qiáng)調(diào)指出，模式的形成和集體行為對于促進(jìn)在不利條件下的合作行為的重要性。文獻(xiàn)[23]研究了由兩個耦合的方格網(wǎng)組成的相依型網(wǎng)絡(luò)上基于記憶的囚徒博弈，研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)，存在一個最優(yōu)記憶長度和依存強(qiáng)度區(qū)間可以極大提高合作者的比例，同時研究也指出網(wǎng)絡(luò)模型上的節(jié)點(diǎn)是否具有記憶能力，是否具有外部連接，都將對節(jié)點(diǎn)的演化行為產(chǎn)生重要影響。

受到以上研究啟發(fā)，本文提出了由Holme-Kim[24]網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建相依型網(wǎng)絡(luò)的算法，并依此算法構(gòu)建了由兩個同等規(guī)模Holme-Kim網(wǎng)絡(luò)組成的相依型網(wǎng)絡(luò)。由于網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)是影響其上合作行為的重要因素，故本文在該網(wǎng)絡(luò)模型基礎(chǔ)上引入囚徒困境博弈模型，研究了算法模型中的連接度參數(shù)n與連接概率p對網(wǎng)絡(luò)上合作行為的影響，同時還研究了囚徒困境收益矩陣中參數(shù)b(背叛的誘惑)的改變對合作行為產(chǎn)生的影響。

1 相依型雙層HK網(wǎng)絡(luò)模型

現(xiàn)實(shí)世界中的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)往往具有無標(biāo)度、高聚類的特點(diǎn)。為模擬這些特點(diǎn)，Holme和Kim構(gòu)造了一種可調(diào)聚類系數(shù)的Holme-Kim網(wǎng)絡(luò)模型(HK)。HK網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造過程算法如下。

1) 初始狀態(tài)：網(wǎng)絡(luò)中有m0個全連通的節(jié)點(diǎn)；

2) 增長機(jī)制：每一時間步，一個具有m條邊的節(jié)點(diǎn)i加入網(wǎng)絡(luò)。節(jié)點(diǎn)i的第一條邊按照度優(yōu)先規(guī)則連接到網(wǎng)絡(luò)中已存在的節(jié)點(diǎn) j，即選擇節(jié)點(diǎn) j進(jìn)行連接的概率為：

3) 其余m-1條邊以概率pt隨機(jī)連接到節(jié)點(diǎn) j的鄰居上，否則以概率1-pt在全網(wǎng)絡(luò)中使用度優(yōu)先規(guī)則進(jìn)行連接。

根據(jù)以上網(wǎng)絡(luò)模型構(gòu)造算法的仿真圖如圖1所示。

圖1 HK網(wǎng)絡(luò)統(tǒng)計特性圖

圖1 a中網(wǎng)絡(luò)初始狀態(tài)m0=10，m=4，pt= 0 .6，最終生成的網(wǎng)絡(luò)規(guī)模 N = 1 2 000。圖1b中網(wǎng)絡(luò)初始狀態(tài)m0=10，m=4，最終生成網(wǎng)絡(luò)規(guī)模 N = 5 000，圖中每一個數(shù)據(jù)是10組獨(dú)立運(yùn)算取平均值后所得到的結(jié)果。由仿真結(jié)果可見，HK網(wǎng)絡(luò)模型同時具有無標(biāo)度、高聚類等現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)所具有的特點(diǎn)，且其聚類系數(shù)的值會隨著概率pt的值增大而增大。當(dāng) pt=0時，HK網(wǎng)絡(luò)即退化為BA網(wǎng)絡(luò)[3]。HK網(wǎng)絡(luò)模型提出后，許多學(xué)者研究了該網(wǎng)絡(luò)的高聚類特性對其上的演化博弈的影響。例如，文獻(xiàn)[25]研究了HK網(wǎng)絡(luò)上的公共品博弈，揭示了網(wǎng)絡(luò)聚類結(jié)構(gòu)的反饋互惠機(jī)制。文獻(xiàn)[26]對單層HK網(wǎng)絡(luò)上的演化博弈行為進(jìn)行了總結(jié)性闡釋。

鑒于HK模型可以再現(xiàn)真實(shí)網(wǎng)絡(luò)的這些特點(diǎn)，本文提出一種基于HK網(wǎng)絡(luò)的相依型HK網(wǎng)絡(luò)模型，其網(wǎng)絡(luò)模型由兩個HK網(wǎng)絡(luò)層構(gòu)成。這兩個網(wǎng)絡(luò)層上的節(jié)點(diǎn)之間通過隨機(jī)性概率p進(jìn)行連接。通過這種不同層節(jié)點(diǎn)之間的連接，兩個HK網(wǎng)絡(luò)之間具有了交互性，進(jìn)而可以在該模型基礎(chǔ)上研究合作行為是如何進(jìn)行演化的。為了方便研究，具體化網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的條件如下：HK_A和HK_B是兩個規(guī)模為N的HK網(wǎng)絡(luò)層，HK_A上的每個節(jié)點(diǎn)與HK_B上的隨機(jī)n (1 ≤ n≤N )個節(jié)點(diǎn)以概率p進(jìn)行連接，其中n與p分別稱為連接度與連接概率。其結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 相依型雙層HK網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)示意圖

考慮到在實(shí)際網(wǎng)絡(luò)中，一個網(wǎng)絡(luò)層上的節(jié)點(diǎn)在另一層網(wǎng)絡(luò)中相“熟識”的節(jié)點(diǎn)往往不會太多，所以n的值通常不會太大，且應(yīng)n?N。由上述的建模過程可以看出，參數(shù)n與p的值決定了不同網(wǎng)絡(luò)層之間存在多少連接，故可用這兩個參數(shù)值對兩個HK網(wǎng)絡(luò)層之間耦合程度進(jìn)行衡量。用參數(shù)k表示兩個網(wǎng)絡(luò)之間存在的連接數(shù)量。當(dāng)參數(shù)n的值固定時，可以通過討論參數(shù)p的值決定網(wǎng)絡(luò)層間的耦合強(qiáng)度。當(dāng)p=0時，k=0，兩個HK網(wǎng)絡(luò)是相互獨(dú)立的網(wǎng)絡(luò)層，它們之間不存在連接。當(dāng)0＜p＜1時，k服從二項(xiàng)分布，k～ B (n N,p)，0 ≤ k ≤ n N。當(dāng)p=1時，k=nN，HK_A中的每一個節(jié)點(diǎn)都與HK_B中的n個節(jié)點(diǎn)存在連接。通過構(gòu)建這樣結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)模型，在此基礎(chǔ)上引入囚徒博弈模型，對該網(wǎng)絡(luò)模型上的合作演化行為進(jìn)行分析與研究。

2 相依型HK網(wǎng)絡(luò)上的囚徒困境博弈

2.1 模型描述

在囚徒困境博弈模型(prisoner’s dilemma game,PDG)中，每個參與者都有合作(cooperation, C)與背叛(defection，D)兩種策略可供選擇。參與者的收益矩陣如下：

式中，最左側(cè)一列代表自己的選擇，最上面一行代表對方的選擇；R為(C,C)策略組合中，選擇C策略的參與者所獲得的收益；S為(C,D)策略組合中，選擇C策略的參與者所獲得的收益；T為(D,C)策略組合中，選擇D策略的參與者所獲得的收益；P為(D,D)策略組合中，采用D策略的參與者所獲得的收益。且滿足T ＞ R ＞ P ＞ S ，2R＞T+S。其中R、S、T、P分別被稱為“合作的獎勵”、“傻瓜的報酬”、“背叛的誘惑”、“背叛的懲罰”?；谠撌找婢仃嚕硇缘膮⑴c者一定會選擇背叛策略作為自己的最佳策略，然而就總體而言只有博弈雙方都選擇合作策略才能使整體的收益最大化。這種個人利益與整體利益的選擇沖突，在博弈論中也被成為社會兩難選擇(social dilemma)。

在本文的網(wǎng)絡(luò)博弈演化過程中，使用簡化后的單參數(shù)囚徒博弈模型[1]，其收益矩陣如下：

在該單參數(shù)模型中參數(shù)R=1、P=0、S=0，參數(shù)T=b為變量。故參數(shù)T的不同取值可以影響網(wǎng)絡(luò)上的合作行為，是本文需要考察的一個重要變量。

2.2 網(wǎng)絡(luò)博弈過程

網(wǎng)絡(luò)中每一個節(jié)點(diǎn)視為一個博弈個體，C為博弈個體所采用的策略，其取值為[1 0 ]T(代表合作)或[0 1 ]T(代表背叛)。網(wǎng)絡(luò)模型初始時合作與背叛策略均勻分布在網(wǎng)絡(luò)中。在每一輪博弈過程中，個體i與其所有鄰居進(jìn)行一次博弈(這里的所有鄰居既包括與節(jié)點(diǎn)i處于同一網(wǎng)絡(luò)層且直接相連的節(jié)點(diǎn)，還有可能包括與節(jié)點(diǎn)i處于不同網(wǎng)絡(luò)層以概率p進(jìn)行連接的節(jié)點(diǎn))，所得的累計收益總和為：

式中，Ωi為i的所有鄰居節(jié)點(diǎn)集合；j為i的鄰節(jié)點(diǎn)。

完成本輪博弈后，個體i從所有鄰居中隨機(jī)選擇一個鄰居j，并比較兩者收益。若有 Ui＜Uj，則個體i以概率pi←j采用 j的策略作為自己在下一輪博弈中所使用的策略。

式中，max(ki, kj)表示個體i與個體 j的度的最大者；D為收益矩陣中最大參數(shù)與最小參數(shù)之差，其作用相當(dāng)于歸一化因子，以確保概率pi←j的值不超過1。本文中使用的收益矩陣為式(1)，則有D = T-S = b 。

此外合作者密度是衡量網(wǎng)絡(luò)博弈行為的重要物理量。隨著網(wǎng)絡(luò)博弈的進(jìn)行，網(wǎng)絡(luò)中采取合作策略的節(jié)點(diǎn)的比例不再發(fā)生變化或者變化值小于一個極小的閾值時，網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)動狀態(tài)進(jìn)入或者逐漸進(jìn)入合作穩(wěn)定狀態(tài)。本文用 fc(t)表示在t時刻相依型HK網(wǎng)絡(luò)中合作者的密度， fc1(t)與 fc2(t)分別表示HK_A網(wǎng)絡(luò)與HK_B網(wǎng)絡(luò)中t時刻合作者密度。C1i(t)表示t時刻HK_A網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)i所采用的策略，其值取0或1。同理(t)表示t時刻HK_B網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn) j所采用的策略，其值取0或1。則相依型HK網(wǎng)絡(luò)在t時刻合作者密度可以表示為：

3 仿真分析

3.1 網(wǎng)絡(luò)層間連接概率對合作行為的影響

為研究網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成算法中的參數(shù)n與p對網(wǎng)絡(luò)上合作演化行為的影響，本文在不同規(guī)模的網(wǎng)絡(luò)模型上進(jìn)行了大量合作演化行為的仿真實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)步長t= 2 000，仿真圖中每一個數(shù)據(jù)都是10次獨(dú)立運(yùn)算取平均值后的結(jié)果，網(wǎng)絡(luò)進(jìn)入或逐漸進(jìn)入合作穩(wěn)定狀態(tài)。在此基礎(chǔ)上，首先討論連接概率p對網(wǎng)絡(luò)中合作行為的影響。由于群體合作行為的演化過程受多種因素影響，為保證實(shí)驗(yàn)對連接概率p的討論真實(shí)有效，首先固定n與T的值以及其他影響網(wǎng)絡(luò)演化行為的因素，并畫出n=2，T=1.5，網(wǎng)絡(luò)中合作者比例趨于穩(wěn)定時，連接概率p對網(wǎng)絡(luò)中合作演化行為影響的仿真圖。

圖3a中的網(wǎng)絡(luò)是由兩個規(guī)模為1 000的HK網(wǎng)絡(luò)(初始條件為m0=10，m=4，pt= 0 .5)按照本文算法構(gòu)成的規(guī)模為2 000的相依型HK網(wǎng)絡(luò)。圖3b～3d中的網(wǎng)絡(luò)與3a中網(wǎng)絡(luò)初始條件和構(gòu)造過程相同，其規(guī)模分別為4 400、5 200、7 200。其中網(wǎng)絡(luò)博弈模型本文采用第2節(jié)中介紹的囚徒困境博弈模型，初始時采用合作策略的節(jié)點(diǎn)與采用背叛策略的節(jié)點(diǎn)各占50%均勻分布在每一個網(wǎng)絡(luò)層中。

圖3 動態(tài)演化過程(n不變)

由上述仿真圖可以看出，不同規(guī)模的網(wǎng)絡(luò)在初始階段合作者的密度都會存在不同程度的下降。這是由于本文采用的收益矩陣式(1)中的參數(shù)b＞1，即背叛者所得收益大于合作者所得收益。故開始階段會有部分合作者模仿其采用背叛策略的鄰居，從而導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)中合作者密度的減少。然而具有高聚類特性的HK網(wǎng)絡(luò)中存在大量具有高度連接的hub節(jié)點(diǎn)，這些hub節(jié)點(diǎn)周圍分布著大量低度連接的節(jié)點(diǎn)[8]。累積收益的計算方式會使hub節(jié)點(diǎn)受合作策略的眷顧，在博弈的過程中收獲過高的博弈收益。這種高收益會在其周圍低度的鄰居節(jié)點(diǎn)中起到示范效應(yīng)，使這些低度節(jié)點(diǎn)紛紛模仿hub節(jié)點(diǎn)的合作策略，從而致使合作策略在網(wǎng)絡(luò)上快速傳播開來。另一方面，仿真圖中在連接度n=2，T=1.5以及相同的網(wǎng)絡(luò)規(guī)模下，連接概率p值越小，網(wǎng)絡(luò)中合作者密度值fc在初始階段下降的幅度Δfc也越小，在其后的動態(tài)演化過程中其反彈的力度反而越大。這種“低開高走”的特性，最終會使低連接概率構(gòu)造的網(wǎng)絡(luò)在博弈達(dá)到平衡狀態(tài)時，獲得較高的合作者比例。

3.2 網(wǎng)絡(luò)層間連接度對合作層的影響

接下來討論當(dāng)連接概率p與誘惑參數(shù)T固定時，網(wǎng)絡(luò)層間連接度n對網(wǎng)絡(luò)中合作行為的影響。令p=0.5，T=1.5，不同規(guī)模網(wǎng)絡(luò)上的仿真圖如圖4所示。

圖4 動態(tài)演化過程(p不變)

圖4 a中的網(wǎng)絡(luò)是由兩個規(guī)模為1 500的HK網(wǎng)絡(luò)(初始條件為m0=10，m=4， pt= 0 .5)按照本文算法構(gòu)成的規(guī)模為3 000的相依型HK網(wǎng)絡(luò)。圖4b～4d中的網(wǎng)絡(luò)與4a中網(wǎng)絡(luò)初始條件和構(gòu)造過程相同，其規(guī)模分別為3 800、5 000、6 000。初始時合作者與背叛者各以50%的比例均勻混合在每一層網(wǎng)絡(luò)中。圖中每一個數(shù)據(jù)都是10次獨(dú)立運(yùn)算取平均值后的結(jié)果。與參數(shù)n、T固定時網(wǎng)絡(luò)中的合作演化行為相對比，本文發(fā)現(xiàn)當(dāng)參數(shù)p、T固定時，同樣是由于T＞R的存在，網(wǎng)絡(luò)中的合作行為也呈現(xiàn)出一種“低開高走”的狀態(tài)。與參數(shù)n、T固定時不同的是，當(dāng)參數(shù)p、T固定時，連接度參數(shù)n的值越小，最終網(wǎng)絡(luò)博弈達(dá)到平衡時合作者的密度fc的值越高。

兩個不同HK網(wǎng)絡(luò)層之間的耦合程度，本文用兩個網(wǎng)絡(luò)層之間存在的連接數(shù)k進(jìn)行衡量。由網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造算法可知k～ B (n N,p)，故參數(shù)k的數(shù)學(xué)期望值為E(k)=nNp。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模N固定時，有E(k)∝np。通過對圖3、圖4的分析可知，在相同網(wǎng)絡(luò)規(guī)模N，相同背叛誘惑T下，連接度參數(shù)n與連接概率p的值越小，最終網(wǎng)絡(luò)上合作行為達(dá)到平衡時合作者占比fc的值越高。故當(dāng)網(wǎng)絡(luò)上合作演化行為達(dá)到平衡時合作者的密度值其中E(k)∝np，即有由此可見，E(k)是影響相依型HK網(wǎng)絡(luò)上合作行為的重要參數(shù)，即當(dāng)兩個不同的網(wǎng)絡(luò)層間的耦合程度較低時，反而有利于網(wǎng)絡(luò)中合作行為的涌現(xiàn)，高耦合度反而會導(dǎo)致最終合作者比例的降低。

為驗(yàn)證結(jié)論，進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)的結(jié)果如圖5所示。

圖5 動態(tài)演化過程

圖5 a與圖5b分別為在規(guī)模 N = 3 000和N=5 000網(wǎng)絡(luò)上，參數(shù)n、p分別取不同值后得到的演化結(jié)果，其中每一個數(shù)據(jù)都是10次獨(dú)立運(yùn)算取平均值后的結(jié)果。圖5a中的4條曲線由上到下(fc值由大到小)的 E(k)值分別為2 400、3 600、4 800、7 200，即有 fc∝ 1 E(k)。同樣對圖5b進(jìn)行分析也可以得到相同的結(jié)論，可見本文的結(jié)論具有普遍性。圖5c與圖5d考察了當(dāng)網(wǎng)絡(luò)規(guī)模N，初始策略分布都相同時，網(wǎng)絡(luò)上的合作行為的演化過程。由圖5c與圖5d兩圖可看出雖然網(wǎng)絡(luò)層間的連接概率p與連接度n不相同，但只要參數(shù)n與p的乘積值np相同，它們的演化進(jìn)程近乎是相似的過程。這充分說明，E(k)是影響相依型HK網(wǎng)絡(luò)上合作行為的重要因素。

3.3 背叛的誘惑對合作行為的影響

囚徒困境收益矩陣中的參數(shù)T被稱為“背叛的誘惑”(temptation to defect)，它表示當(dāng)博弈雙方分別采用背叛、合作策略時，采用背叛策略的一方所獲得的收益。當(dāng)采用式(1)中的收益矩陣時有T=b。隨著參數(shù) b( 1 ≤ b≤ 3 )的增大，單層HK網(wǎng)絡(luò)上的合作者密度會經(jīng)歷一個由快到慢的下降過程[8]。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)由單層HK網(wǎng)絡(luò)擴(kuò)展為相互之間存在聯(lián)系的雙層相依型網(wǎng)絡(luò)時，為研究參數(shù)T以及網(wǎng)絡(luò)之間的連接度n、連接概率p對網(wǎng)絡(luò)中博弈演化進(jìn)程的影響，首先考慮參數(shù)n、p固定時，不同規(guī)模網(wǎng)絡(luò)上合作者密度隨參數(shù)T動態(tài)演化過程，仿真圖如圖6所示。

由圖6可以看出當(dāng)網(wǎng)絡(luò)規(guī)模N、連接概率p及連接度n都相同的情況下，背叛的誘惑T的不同取值會對網(wǎng)絡(luò)中的合作行為產(chǎn)生較大的影響。在低誘惑參數(shù)(T=1.1)下，fc的值一路上揚(yáng)，在極短的時間內(nèi)達(dá)到動態(tài)平衡。反之在較高的誘惑參數(shù)下，fc在博弈初始階段都呈現(xiàn)出不同程度的下降，其下降的幅度Δfc隨T值的增大而增大。當(dāng)誘惑參數(shù)T值過大時(T=1.9)，fc值在初始階段急劇下跌，并短時間內(nèi)迅速達(dá)到動態(tài)平衡狀態(tài)，不過此時平衡狀態(tài)下fc的值低于其初始狀態(tài)值0.5。此外，盡管T值很大時，合作者仍然能以較低的占比存在于網(wǎng)絡(luò)中，這充分證明了高聚類網(wǎng)絡(luò)中的hub節(jié)點(diǎn)對于背叛策略傳播具有阻礙作用的結(jié)論[8]。

圖6 不同誘惑參數(shù)下動態(tài)演化過程

為考慮誘惑參數(shù)T對相依型HK網(wǎng)絡(luò)中合作行為的具體影響，仿真圖圖7所示。

圖7 合作者密度與背叛誘惑關(guān)系圖

圖7 是在規(guī)模 N = 3 000的網(wǎng)絡(luò)上，參數(shù)n、p分別取不同的值得到的演化結(jié)果。圖中每一個數(shù)據(jù)都是獨(dú)立10次2 000步博弈后fc取平均值的結(jié)果。由圖可見，無論參數(shù)n與p取何值，當(dāng)背叛誘惑T增大時，最終合作密度fc都呈現(xiàn)出下降的趨勢。這是由于T增大時，采取背叛策略的節(jié)點(diǎn)將會獲得更大的收益，而采取合作策略的節(jié)點(diǎn)并不會獲得額外的收益，這將會增大兩者之間的收益差。由式(3)可知這將增大合作者模仿背叛者的概率，從而在宏觀上表現(xiàn)為 fc值的下降。當(dāng)1.05≤b≤2時，對于圖中不同n、p值所對應(yīng)的曲線，都存在一個不同的閾值λn,p∈ ( 1.55,1.70)， 當(dāng) T ＞λn,p時 fc＞ 0 .5， 反 之fc≤ 0 .5。由圖中可以看出乘積值np越小則λn,p值越大，這說明np值越小的網(wǎng)絡(luò)其演化博弈過程不易受誘惑參數(shù)T的影響，有利于促進(jìn)網(wǎng)絡(luò)中合作行為的涌現(xiàn)。這一結(jié)論也可從觀察圖中相同誘惑參數(shù)T下，np值小的曲線其fc值反而大而得到。當(dāng)b≥2時，不同n、p值的網(wǎng)絡(luò)的合作頻率fc并未出現(xiàn)交疊的情況[8]，合作者占比隨著b值的增大不斷變小，當(dāng)b=2.5時，合作者在網(wǎng)絡(luò)中消失。

由上述分析過程可知，存在適當(dāng)?shù)恼T惑參數(shù)T值(1.05 ≤ T ≤ 2 )，使得np值越小的雙層網(wǎng)絡(luò)越不易受到誘惑參數(shù)T的影響，即有 fc∝ 1 /np。這與上一小節(jié)中討論的結(jié)果相一致。當(dāng)T值過大時(T≥2.5)，會導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)中合作者的徹底消失。

4 結(jié) 束 語

本文提出了一種相依型雙層HK網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)造算法，并在此算法構(gòu)造的網(wǎng)絡(luò)模型上引入囚徒困境博弈模型進(jìn)行了演化合作行為的研究。研究了網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造算法中的連接度參數(shù)n與連接概率p以及博弈收益矩陣中的參數(shù)T對網(wǎng)絡(luò)中合作行為的影響。研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)當(dāng)n與p的取值較小時，網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)易采取合作策略。穩(wěn)定狀態(tài)下，網(wǎng)絡(luò)中合作者的密度值fc與不同網(wǎng)絡(luò)層之間的連接數(shù)量k值的數(shù)學(xué)期望E(k)密切相關(guān)，網(wǎng)絡(luò)的E(k)值越小越容易抵御誘惑參數(shù)T的影響，越有利于促進(jìn)網(wǎng)絡(luò)中合作行為的涌現(xiàn)。

同時仍有一些問題值得探討。如，處于不同網(wǎng)絡(luò)層的大度節(jié)點(diǎn)間通過完全隨機(jī)的方式進(jìn)行相連，通過多次模擬取平均值的方法消除隨機(jī)誤差，得到合作者占比與網(wǎng)絡(luò)連接參數(shù)n與p值有關(guān)的結(jié)論。文獻(xiàn)[27]與文獻(xiàn)[28]分別研究了單層無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的度相關(guān)特性對其上的囚徒博弈和公共品博弈的影響。研究表明無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上的同配性會抑制其上的合作行為，而異配性會使其中心節(jié)點(diǎn)與周圍節(jié)點(diǎn)形成維持其初始策略的合作/背叛簇，從而導(dǎo)致合作行為不易在網(wǎng)絡(luò)中湮滅。與之類似，也可以定義相依型網(wǎng)絡(luò)的同配性(不同網(wǎng)絡(luò)層的大度節(jié)點(diǎn)之間相連)與異配性(大度節(jié)點(diǎn)與另一個網(wǎng)絡(luò)層上的小度節(jié)點(diǎn)相連)。不同網(wǎng)絡(luò)層間的同配與異配連接模式會對其上合作行為有何影響？同配方式、異配方式、隨機(jī)方式，哪一種更有利于合作現(xiàn)象的產(chǎn)生？本文在此未做進(jìn)一步探討，這也是未來研究工作的著力點(diǎn)。