陳 通，黃 楷

（華中科技大學(xué)自動化學(xué)院圖像信息處理與智能控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北武漢 430074）

0 引言

隨著電子信息技術(shù)的不斷發(fā)展，人們的日常生活中出現(xiàn)各種各樣的電子產(chǎn)品。對各類電子產(chǎn)品進(jìn)行無線充電也成了現(xiàn)代社會新的需求。無線能量傳輸技術(shù)源起于19世紀(jì)末著名科學(xué)家尼古拉特斯拉的一項(xiàng)遠(yuǎn)距離無線充電實(shí)驗(yàn)，從此便一直是熱門研究方向[1]。

2007年，美國麻省理工學(xué)院（MIT）的研究人員在《Science》雜志上提出一種新型的無線能量傳輸技術(shù)——磁諧振耦合式無線能量傳輸[2]。該文獻(xiàn)中研究人員利用磁諧振耦合無線能量傳輸系統(tǒng)成功點(diǎn)亮了2 m外一盞60W的燈泡，能量傳輸效率高達(dá)40%。近年來，研究人員對磁諧振耦合無線能量傳輸技術(shù)的傳輸效率、功率等方面做了很多的深入研究，但對于能量傳輸距離與自諧振線圈尺寸之間關(guān)系的研究還尚不清晰。本文作者通過電路理論分析及互感計(jì)算經(jīng)驗(yàn)公式建立一個系統(tǒng)最佳傳輸距離與線圈尺寸之間的數(shù)學(xué)模型，并通過HFSS軟件仿真及網(wǎng)絡(luò)分析儀實(shí)際測量對該數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 磁諧振耦合WPT系統(tǒng)建模與分析

圖1 磁諧振耦合無線能量傳輸系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)模型

磁諧振耦合無線能量傳輸系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)模型如圖1所示，主要由4個部分組成：驅(qū)動線圈、發(fā)射線圈、接收線圈、負(fù)載線圈。當(dāng)驅(qū)動線圈回路被射頻功率放大器激勵時(shí)，會產(chǎn)生振蕩磁場來激發(fā)發(fā)射線圈，而發(fā)射線圈可看做是一個高品質(zhì)因數(shù)的LCR諧振器。發(fā)射線圈將從驅(qū)動線圈得到的功率以諧振耦合的方式傳給接收線圈，負(fù)載線圈則通過電磁感應(yīng)的方式從接收線圈中接收能量并給負(fù)載供電。驅(qū)動線圈與負(fù)載線圈為單匝線圈，發(fā)射線圈與接收線圈為多匝線圈[3-4]。

圖1中磁諧振耦合WPT系統(tǒng)的等效電路模型如圖2所示。由于任何不相鄰線圈之間的耦合太弱，不會影響電路，只考慮3對線圈之間的互感，簡化了模型。其中，Coil1表示驅(qū)動線圈、Coil2表示發(fā)射線圈、Coil3表示接收線圈、Coil4表示負(fù)載線圈。VS表示激勵源，ZS為源端內(nèi)阻， RL為負(fù)載阻抗。 Li(i=1，2，3，4)為線圈i的電感 ， Ci(i=1，2，3，4) 為 線 圈 i的 分 布 電 容 ，Ri(i=1，2，3，4)為線圈i的電阻。 Ii(i=1，2，3，4)為線圈i中電流。Mij(i，j=1，2，3，4，i≠j)為線圈i與線圈i之間互感，相應(yīng)的耦合系數(shù)可由式（1）定義：

圖2 磁諧振耦合WPT系統(tǒng)等效電路模型

通過基爾霍夫電壓定律可以列寫圖2中等效電路的KVL方程，其矩陣表示為：

其中Zi(i=1，2，3，4)為線圈i的等效阻抗，其值為：

通過式（2）中的4個KVL方程可以推導(dǎo)出負(fù)載端電壓VL與源端電壓VS之比：

一般來說，磁諧振耦合系統(tǒng)可視為一個二端口網(wǎng)絡(luò)，激勵源作為輸入端，負(fù)載作為輸出端。對一個二端口網(wǎng)絡(luò)而言，其傳輸效率可以用散射參數(shù)（S21）來表示，S21為二端口網(wǎng)絡(luò)的正向傳輸系數(shù)。由文獻(xiàn)[5-6]可以得到圖2中等效電路模型的S21參數(shù)可通過下式進(jìn)行計(jì)算：

實(shí)驗(yàn)所用線圈為16匝平面螺旋線圈，文中平面螺旋線圈線徑為0.15 cm、線間距為0.15 cm、線圈內(nèi)徑為0.2 cm。利用阻抗分析儀可以測量線圈相關(guān)參數(shù)如表1所示。

表1 四線圈系統(tǒng)各線圈參數(shù)

利用表1中電路參數(shù)，結(jié)合式（4）、（5）可得S21與耦合系數(shù)k23及工作頻率 f之間的關(guān)系，如圖3所示。

圖3 正向傳輸系數(shù)S21與ω及k23之間關(guān)系圖

從圖3中可以看到，隨著k23的增加，系統(tǒng)會分別處于欠耦合狀態(tài)、臨界耦合狀態(tài)及過耦合狀態(tài)。欠耦合狀態(tài)下，系統(tǒng)的傳輸效率在諧振頻率處隨著距離的增加會急劇下降。過耦合狀態(tài)下，系統(tǒng)會產(chǎn)生頻率分裂現(xiàn)象，系統(tǒng)在兩個新的諧振頻率處都具有較高頻率。在臨界耦合狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)擁有較高傳輸效率且不會產(chǎn)生頻率分裂。在過耦合狀態(tài)下系統(tǒng)需要不斷調(diào)諧才能保證系統(tǒng)擁有高傳輸效率，因此在實(shí)際條件下臨界耦合狀態(tài)為系統(tǒng)的最佳工作狀態(tài)，此時(shí)的k23為臨界耦合系數(shù)，所對應(yīng)的傳輸距離為系統(tǒng)的最佳傳輸距離。

根據(jù)式（4）、（5），可以通過求偏導(dǎo)計(jì)算出臨界耦合系數(shù)表達(dá)式：

即當(dāng)k23=k23c且工作頻率為線圈諧振頻率時(shí)，系統(tǒng)擁有最佳工作條件，此時(shí)發(fā)射線圈與接收線圈間距為系統(tǒng)最佳傳輸距離。

2 最佳傳輸距離與線圈尺寸關(guān)系模型

PCB（Printed Circuit Board）線圈又稱印刷螺旋線圈。它具有準(zhǔn)確性高、穩(wěn)定性好、易于設(shè)計(jì)和制造等優(yōu)點(diǎn)，并且容易和其他電路連接?；谶@些優(yōu)點(diǎn)，本文作者采用PCB線圈作為無線能量傳輸系統(tǒng)的諧振線圈。線圈間的互感不僅僅可以通過式（1）進(jìn)行計(jì)算，也可以根據(jù)其幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行計(jì)算。對印刷螺旋線圈而言，文獻(xiàn)[7-8]介紹了一種兩平面螺旋線圈間互感計(jì)算方式，它將平面螺旋線圈等效同心圓形線圈，通過較為簡單的單匝線圈互感計(jì)算公式計(jì)算各匝線圈之間的互感，然后進(jìn)行求和計(jì)算，得到平面螺旋線圈之間的互感。一般情況下，發(fā)射線圈和接收線圈被設(shè)為具有相同的結(jié)構(gòu)，其互感表達(dá)式為：

其中：N為線圈匝數(shù)，ri、rj分別為第i匝和第j匝線圈半徑，d為兩線圈間距， μ0為真空磁導(dǎo)率。

通過印刷螺旋線圈結(jié)構(gòu)參數(shù)也可以對其電感、電阻進(jìn)行計(jì)算，分別如式（9）、（10）：

其中：rc為線圈平均半徑（內(nèi)徑與外徑平均值），a為線徑，σ為線圈材料的電導(dǎo)率，S為線圈橫截面積。

結(jié)合式（6）、（7），可以得到一個如式（11）所示的關(guān)于d和N的方程，即系統(tǒng)最佳傳輸距離與自諧振線圈匝數(shù)之間的方程式。

在印刷螺旋線圈中，通常通過改變線圈匝數(shù)來改變線圈的半徑，線圈匝數(shù)與線圈半徑有如下關(guān)系：

其中：rin為線圈內(nèi)徑，w為線間距，a為線徑。

因此式（11）也可看做系統(tǒng)最佳傳輸距離與自諧振線圈半徑之間的關(guān)系式。式（11）中R、L參數(shù)可以通過式（9）、（10）代入計(jì)算。式（11）是一個難以直接解析的方程式，可以通過Mathematica軟件對該方程式進(jìn)行求解。相關(guān)參數(shù)如表2所示。

表2 PCB螺旋線圈參數(shù)

分別取平面螺旋線圈匝數(shù)N為12、14、16、18、20，即線圈半徑r分別為5.6 cm、6.5 cm、7.4 cm、8.3 cm、9.2 cm。計(jì)算得到線圈半徑與系統(tǒng)最佳傳輸距離之間關(guān)系如圖4所示。

圖4 系統(tǒng)最佳傳輸距離與線圈半徑關(guān)系

從圖4中可以看出線圈半徑與系統(tǒng)最佳傳輸距離之間呈正比關(guān)系。線圈尺寸越大，系統(tǒng)最佳傳輸距離越遠(yuǎn)。

3 仿真與實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證式（12）中數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確性，本文作者利用高頻電磁場仿真軟件High Frequency Structure Simulator（HFSS）分別對不同半徑的平面螺旋線圈構(gòu)成的磁耦合諧振無線能量傳輸系統(tǒng)在不同的傳輸距離下進(jìn)行仿真，得到系統(tǒng)最佳傳輸距離。結(jié)合實(shí)際，文中平面螺旋線圈線徑為0.15 cm、線間距為0.15 cm、線圈內(nèi)徑為0.2 cm。發(fā)射線圈與接收線圈間變化范圍為2～20 cm，距離變化步長設(shè)為0.25 cm。掃頻范圍是10～40 MHz，得到系統(tǒng)在不同傳輸距離下的頻率特性曲線，當(dāng)系統(tǒng)頻率特性曲線從雙峰曲線轉(zhuǎn)變?yōu)閱畏迩€時(shí)的傳輸距離即為系統(tǒng)最佳傳輸距離。分別選取N為12、14、16、18、20匝的線圈構(gòu)成磁耦合諧振WPT系統(tǒng)，重復(fù)進(jìn)行以上操作，得到各系統(tǒng)最佳傳輸距離如圖4所示。仿真結(jié)果與計(jì)算結(jié)果誤差分別為8.73%、7.05%、7.3%、4.2%、3.68%，可認(rèn)為仿真結(jié)果與理論計(jì)算值大致相等。

不僅通過仿真，本文作者也采取實(shí)際測量的方法來驗(yàn)證式線圈半徑與最佳傳輸距離數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確性。分別按HFSS仿真模型制作了5種尺寸的平面螺旋線圈，搭建如圖5所示的實(shí)驗(yàn)平臺。通過測量該系統(tǒng)在不同傳輸距離的S21參數(shù)來確定系統(tǒng)臨界耦合距離，即在掃頻條件下S21參數(shù)曲線圖從雙峰變?yōu)閱畏鍟r(shí)發(fā)射線圈與接收線圈間距離即為系統(tǒng)臨界耦合距離。所使用實(shí)驗(yàn)儀器為ROHDE&SCHWAR手持式網(wǎng)絡(luò)分析儀，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4所示。實(shí)際測量結(jié)果與計(jì)算結(jié)果誤差分別為10.7%、7.69%、7.1%、6%、5.7%，充分說明了本文作者所提出線圈半徑與最佳傳輸距離數(shù)學(xué)模型的可用性。該方法可以較準(zhǔn)確的應(yīng)用于磁耦合諧振無線能量傳輸系統(tǒng)中自諧振線圈的設(shè)計(jì)。

圖5 無線能量傳輸實(shí)驗(yàn)裝置圖

4 結(jié)論

本文作者提出一種平面螺旋線圈構(gòu)成的磁耦合諧振無線能量傳輸系統(tǒng)中最佳傳輸距離與線圈尺寸之間的數(shù)學(xué)模型。通過電路理論對系統(tǒng)等效電路模型分析得出當(dāng)發(fā)射線圈與接收線圈間耦合系數(shù)為臨界耦合系數(shù)時(shí)系統(tǒng)擁有最大傳輸效率。利用系統(tǒng)臨界耦合系數(shù)表達(dá)式和線圈互感計(jì)算經(jīng)驗(yàn)公式構(gòu)建系統(tǒng)最佳傳輸距離與線圈半徑之間的數(shù)學(xué)方程。并通過有限元仿真及實(shí)驗(yàn)測量數(shù)據(jù)對這一數(shù)學(xué)模型進(jìn)行驗(yàn)證，確定這一數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確性。雖然目前的工作僅限于平面螺旋線圈系統(tǒng)，但這一方法卻可以應(yīng)用于其它結(jié)果線圈（如螺線管線圈）的磁耦合諧振無線能量傳輸系統(tǒng)。這種方法對于一定傳輸距離下磁耦合諧振無線能量傳輸系統(tǒng)中自諧振線圈的設(shè)計(jì)提供了極為重要的理論依據(jù)。