顧蓓青，徐曉嶺，王蓉華

（1.上海對外經(jīng)貿(mào)大學 統(tǒng)計與信息學院，上海201620；2.上海師范大學 數(shù)理學院，上海 200234）

0 引言

在可靠性分析中浴盆形失效率函數(shù)對模擬壽命數(shù)據(jù)非常有用，大多數(shù)產(chǎn)品的壽命周期都呈現(xiàn)浴盆形失效率，但隨著壽命數(shù)據(jù)的越來越復雜，其失效率函數(shù)有時也會呈現(xiàn)單調(diào)遞增、單調(diào)遞減、倒浴盆形、滾輪形等其他類型的失效率函數(shù)，此時常用的壽命分布，例如威布爾分布、對數(shù)正態(tài)分布等就不能很好地刻畫這些壽命數(shù)據(jù)，于是越來越多的學者提出了一些新的壽命分布，并研究其性質(zhì)和參數(shù)估計問題。Adamidis和Loukas提出了一個失效率遞減的兩參數(shù)分布，稱為EG分布（指數(shù)－幾何分布），討論其性質(zhì)和參數(shù)的極大似然估計[1]。Coskun提出了一個新的具有遞減失效率的兩參數(shù)分布，稱為EP分布（指數(shù)－泊松分布），討論了該分布的各種性質(zhì)，利用EM算法得到參數(shù)的極大似然估計以及估計的漸進方差和協(xié)方差[2]。Dimitris給出了估計指數(shù)－泊松分布參數(shù)的一種EM算法[3]。Rasool和Sadegh提出了一種新的失效率遞減的兩參數(shù)分布，稱為EL分布（指數(shù)－對數(shù)分布），討論了該分布的性質(zhì)以及由EM算法得到的極大似然估計[4]。Xie等提出了一種新的模型，稱為廣義威布爾分布，其有利于模擬具有浴盆形失效率函數(shù)的系統(tǒng)壽命，并給出了該分布的參數(shù)估計方法[5]。Wu等提出了一個新的具有浴盆或單調(diào)遞增失效率函數(shù)的兩參數(shù)壽命分布，也可看作是威布爾分布的推廣，給出一種簡單精確的方法構(gòu)造形狀參數(shù)的統(tǒng)計檢驗，并得到形狀參數(shù)的精確區(qū)間估計[6]。高艷紅和周秀輕提出了一種具有單調(diào)遞增失效率函數(shù)的兩參數(shù)分布，稱為RG分布（瑞麗－幾何分布），討論了該分布的各種性質(zhì)，并利用EM算法得到參數(shù)的極大似然估計及估計的漸近方差－協(xié)方差陣[7]。

本文將文獻[7]所提出的壽命分布作進一步推廣，提出了一種新的壽命分布——三參數(shù)威布爾-幾何分布WG(p，m，β)，研究了該分布的密度函數(shù)、失效率函數(shù)的圖形特征以及該分布的數(shù)字特征等，最后利用分位數(shù)估計的方法，給出了當形狀參數(shù)已知時另兩個參數(shù)的點估計。

1 三參數(shù)WG(p,m,β)分布

定義：若非負連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)F(x)具有如下形式：

則稱X服從三參數(shù)威布爾-幾何分布，簡稱為WG(p，m，β)分布。其中m稱為形狀參數(shù)，β稱為刻度參數(shù)，p稱為幾何分布參數(shù)。

特別地，當 p=0時，即為常用的兩參數(shù)威布爾分布，所以WG(p，m，β)分布可以看作兩參數(shù)威布爾分布的推廣；當m=2時，即為文獻[7]中的RG（瑞利-幾何）分布。

假設(shè)Y1，Y2，…，YZ為一列獨立同服從兩參數(shù)威布爾分布W(m，β)的隨機變量，W(m，β)的密度函數(shù)為：。而隨機變量Z服從參數(shù)為 p的幾何分布，其分布列為：P(Z=k)=(1-p)pk-1，0＜p＜1，k=1，2，… ，且 與 Y1，Y2，…，YZ相互獨立。記 X=min(Y1，Y2，…，YZ)，此時：

則：

值得一提的三參數(shù)威布爾—幾何分布WG(p，m，β)是一個混合分布，它是通過將威布爾與幾何分布混合在一起得到的。Z可以理解為某種產(chǎn)品中起初存在的同一類型缺陷的個數(shù)，Z是未知的，缺陷的出現(xiàn)將導致產(chǎn)品的失效。由于，關(guān)于 p是單調(diào)遞增的，也就是說隨著p的增大，該產(chǎn)品中存在多個缺陷的概率在增大，當概率接近于1的時候，該產(chǎn)品中存在的缺陷過多，那么就需要較多的維修費用，可能就沒有維修的必要了。

2 三參數(shù)WG(p,m,β)分布密度函數(shù)、失效率函數(shù)的圖像特征

定理1：若非負連續(xù)型隨機變量X服從三參數(shù)威布爾—幾何分布WG(p，m，β)，分布函數(shù)和密度函數(shù)分別記為F(x)，f(x)，則（1）當 0＜m≤1時，f(x)嚴格單調(diào)下降；（2）當m＞1時，f(x)先嚴格單調(diào)增加后嚴格單調(diào)下降，即f(x)呈“倒浴盆”形。

證明：易見密度函數(shù)為：

于是當 0＜m≤1時，g(t)＜0，f′(x)＜0，即 f(x)嚴格單調(diào)下降。

當 m＞1時 ，存 在 t0＞0，當 t＜t0時 ，g(t)＞0，f′(x)＞0 ，即 f(x)嚴格單調(diào)增加；當 t＞t0時，g(t)＜0 ，f′(x)＜0，即 f(x)嚴格單調(diào)下降，也就是 f(x)呈“倒浴盆”形。

給定 p=0.5，β=1，m=0.5，1.5，密度函數(shù) f(x)的圖像見圖1所示。

定理2：若非負連續(xù)型隨機變量X服從三參數(shù)威布爾-幾何分布WG(p，m，β)，失效率函數(shù)記為 λ(x)，則（1）當 0＜m≤1時，λ(x)嚴格單調(diào)下降；（2）當 m＞1時，存在m0＞1，當1＜m＜m0時，λ(x)先嚴格單調(diào)增加，緊接著嚴格單調(diào)下降，再嚴格單調(diào)增加，即λ(x)呈“N”形；當m＞m0時，λ(x)嚴格單調(diào)增加。

當0＜m≤1時，g(t)＜0，λ′(x)＜0，λ(x)嚴格單調(diào)下降

當m＞1時，令m的函數(shù)h(m)=m-1-mpe-1/m，m＞1

令函數(shù)h2(a)=1-a-pe-a，0＜a＜1

所以，當1＜m＜m0時，h(m)＜0；當m＞m0時，h(m)＞0

由此，當1＜m＜m0時，g(t)的值從(m-1)(1-p)嚴格單調(diào)下降到小于0的數(shù)值，再嚴格單調(diào)增加到m-1，即存在 t1＜t2，當 t＜t1時，g(t)＞0 ，λ′(x)＞0 ，λ(x)嚴格單調(diào)增加；當t1＜t＜t2時，g(t)＜0，λ′(x)＜0，λ(x)嚴格單調(diào)下降；當 t＞t2時，g(t)＞0，λ′(x)＞0，λ(x)嚴格單調(diào)增加。此時λ(x)呈“N”形。

當 m＞m0時，g(t)＞0，λ′(x)＞0，λ(x)嚴格單調(diào)增加。

給定參數(shù) p=0.5，β=1，m0=1.3020 ，m=0.5，1.2，1.3，1.4，失效率函數(shù)λ(x)的圖像見圖2所示。

圖2 失效率函數(shù)λ(x)的圖像

為與文獻[7]作比較，對RG分布，即取m=2，此時

由定理2的證明過程可以看到，對m的函數(shù)h(m)=m-1-mpe-1/m，m＞1，由于 h(m0)=0，而 h(2)=1-2pe-1/2，由此，若，則 h(2)＞0，此時有m0＜2，則有 λ(x)嚴格單調(diào)增加。若/2＜p＜1，則h(2)＜0，此時有 2＜m0，則有 λ(x)呈“N”形。

3 三參數(shù)WG(p,m,β)分布的數(shù)字特征

定理3：若非負連續(xù)型隨機變量X服從三參數(shù)威布爾—幾何分布WG(p，m，β)，分布函數(shù)與密度函數(shù)分別記為F(x)，f(x)，對 k=1，2，…，則：

（1）對 0＜q＜1 ，WG(p，m，β)分布的q分位數(shù)

證明：設(shè) WG(p，m，β)分布的q分位數(shù) Mq，則

又當|x|＜1時，有如下泰勒展開：

則:

4 形狀參數(shù)固定時，參數(shù)p,β的分位數(shù)估計

設(shè) X1，X2，…，Xn為來自總體 X～ WG(p，m0，β)的容量為n的一個簡單隨機樣本，其次序統(tǒng)計量記為X(1)，X(2)，…，X(n)，而形狀參數(shù) m0已知。

由定理3可知 WG(p，m0，β)分布的q分位數(shù)，于是利用分位數(shù)估計的方法，建立如下兩個方程：

令函數(shù)g1(p)=-[n-(n-1)p]ln[n-(n-1)p]+(n-1)(2-p)ln(2-p)，0＜p＜1

令函數(shù) g2(x)=-xlnx+2(x-1)ln2，x≥2

于是有 g3(p)＞1，進而 g1(p)＜0，g(p)嚴格單調(diào)下降，由此可知：當在(0，1)上有唯一正實根。

5 結(jié)論

本文提出了一種新的具有單調(diào)遞減、“N”形、單調(diào)遞增失效率函數(shù)的壽命分布，稱為三參數(shù)威布爾-幾何分布WG(p，m，β)，其密度函數(shù)呈單調(diào)遞減或“倒浴盆”形。該分布的q分位數(shù)為，k階矩為E(Xk)=。此外，當形狀參數(shù)m=m0已知時，幾何分布參數(shù)p的分位數(shù)估計為方程的根，刻度參數(shù)β的分位數(shù)估計為