李斌，林德福，何紹溟，白冰

1. 北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100081 2. 北京理工大學(xué) 無人機自主控制技術(shù)北京市重點實驗室，北京 100081 3. 北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076

現(xiàn)代戰(zhàn)爭中，機場和軍艦等戰(zhàn)略戰(zhàn)術(shù)目標都采取多種防御措施來應(yīng)對來襲導(dǎo)彈，比如面對空空導(dǎo)彈系統(tǒng)，電子干擾系統(tǒng)，近防武器系統(tǒng)[1]。協(xié)同攻擊可以有效地應(yīng)對上述防御措施對導(dǎo)彈的威脅[2]。多枚導(dǎo)彈在協(xié)同攻擊目標時，為了取得更佳的毀傷效果，還希望以不同的終端攻擊角度命中目標[3]。因此，本文研究了一種基于最優(yōu)誤差動力學(xué)的時間角度控制制導(dǎo)律，可以同時滿足攻擊時間和終端攻擊角度的約束。

隨著多飛行器協(xié)同控制問題的發(fā)展，帶有攻擊時間約束的制導(dǎo)問題在近幾年被廣泛研究[4]。文獻[2]提出了一種基于傳統(tǒng)比例導(dǎo)引的攻擊時間控制制導(dǎo)律來實現(xiàn)協(xié)同攻擊的任務(wù)。文獻[5-6]提出了基于領(lǐng)彈和從彈的協(xié)同制導(dǎo)，從彈通過跟蹤領(lǐng)彈來實現(xiàn)主從協(xié)同。文獻[7]引入剩余飛行時間變量，提出了協(xié)同比例導(dǎo)引制導(dǎo)律，它通過減少各枚導(dǎo)彈剩余飛行時間之間的偏差來實現(xiàn)同時擊中目標。文獻[8]利用一種雙層的控制結(jié)構(gòu)，提出基于協(xié)調(diào)變量的時間協(xié)同制導(dǎo)律。文獻[9]用多項式函數(shù)推導(dǎo)含時間控制的制導(dǎo)指令，附加導(dǎo)引頭視場角限制的偏置項，設(shè)計了帶視場角限制的攻擊時間控制制導(dǎo)律。文獻[10]研究了不需要剩余飛行時間的兩段式制導(dǎo)策略，當(dāng)導(dǎo)彈狀態(tài)趨于一致后，切換成相同的比例導(dǎo)引制導(dǎo)律來實現(xiàn)協(xié)同攻擊。

針對具有終端攻擊角度約束的制導(dǎo)律研究已有很多，例如最優(yōu)制導(dǎo)律[11-13]，偏置比例導(dǎo)引律[14-15]，非線性控制制導(dǎo)律[16-17]。文獻[11-12]選取剩余飛行時間的函數(shù)為性能指標的權(quán)函數(shù)，基于二次型最優(yōu)控制理論推導(dǎo)了帶終端角度約束的制導(dǎo)律。文獻[13]針對帶有終端角度約束的任意函數(shù)加權(quán)最優(yōu)制導(dǎo)問題，應(yīng)用Schwarz不等式求解了有無控制系統(tǒng)動力學(xué)情況下最優(yōu)制導(dǎo)律的一般表達式。文獻[14-15]研究了無剩余飛行時間的偏置制導(dǎo)律，在比例導(dǎo)引律的基礎(chǔ)上附加角度約束偏置項，利用改變過載指令控制終端攻擊角度。文獻[16]基于連續(xù)二階滑模理論設(shè)計了有限時間收斂的角度約束制導(dǎo)律，具有很強的魯棒性。文獻[17]將終端攻擊角度約束轉(zhuǎn)化為終端視線角約束，利用螺旋控制算法設(shè)計了一種二階滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律。

同時考慮攻擊時間和終端攻擊角度的制導(dǎo)律也有一些研究。通過對文獻[2]的拓展，文獻[18]提出了攻擊時間和角度控制制導(dǎo)律，可以同時滿足攻擊時間和終端攻擊角度的約束。文獻[19]選擇滿足攻擊時間和終端攻擊角度約束的滑模面，基于二階滑模理論和最優(yōu)控制理論設(shè)計了攻擊時間和角度控制制導(dǎo)律。文獻[20]在偏置比例導(dǎo)引律基礎(chǔ)上附加攻擊時間誤差反饋項，實現(xiàn)了期望的攻擊時間和終端攻擊角度。文獻[21]研究了帶有攻擊時間和攻擊角度控制的三維制導(dǎo)問題，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論和時間誤差補償設(shè)計了帶攻擊時間和攻擊角度控制的三維制導(dǎo)律。

制導(dǎo)律的設(shè)計可以轉(zhuǎn)化為一種有限時間跟蹤問題，目的是希望在有限時間內(nèi)將跟蹤誤差調(diào)整為零。根據(jù)不同的制導(dǎo)目的，跟蹤誤差可選擇為零控脫靶量，視線角速率，攻擊時間誤差，攻擊角度誤差等[22]。以往研究的誤差動力學(xué)只是將跟蹤誤差收斂到零，未考慮跟蹤誤差的收斂模式，一些基于非線性控制方法的時間角度控制制導(dǎo)律設(shè)計沒有明確的性能指標。本文研究了跟蹤誤差的最優(yōu)收斂模式，給出了實現(xiàn)跟蹤誤差最優(yōu)收斂模式的最優(yōu)誤差動力學(xué)，考慮攻擊時間和終端攻擊角度約束，設(shè)計了基于最優(yōu)誤差動力學(xué)的時間角度控制制導(dǎo)律，并給出了相應(yīng)的性能指標，得到的是一種能量最優(yōu)形式的制導(dǎo)律，且制導(dǎo)律中各部分制導(dǎo)指令的物理意義明確。最后，對不同參數(shù)情況下進行仿真，結(jié)果表明設(shè)計的制導(dǎo)律實現(xiàn)了期望的攻擊時間和終端攻擊角度。

1 問題描述

建立彈目相對運動的數(shù)學(xué)模型，圖1為導(dǎo)彈攻擊固定目標的二維平面示意圖。其中VM為導(dǎo)彈速度，aM為制導(dǎo)指令,R為導(dǎo)彈和目標的相對

圖1 導(dǎo)彈與目標運動關(guān)系Fig.1 Relationship of missile-target engagement

距離，λ、θ和σ分別為彈目視線角、導(dǎo)彈速度方向角和速度方向誤差角，σ0為初始速度方向誤差角。z和s分別為彈目視線系下表示距離的參數(shù)。

彈目相對運動方程為

(1)

導(dǎo)彈的運動學(xué)方程為

(2)

初始和終端約束分別為

(3)

式中：(x0,y0)和(xf,yf)分別為導(dǎo)彈的初始位置和目標位置；t0和tf分別為初始和終止時刻；θ0和θf分別為導(dǎo)彈的初始速度方向角和終端攻擊角度；td為期望的攻擊時間；θd為期望的終端攻擊角度。

2 最優(yōu)誤差動力學(xué)

跟蹤問題的系統(tǒng)方程一般表示為

(4)

式中：ε(t)為跟蹤誤差；r(t)為已知的時變函數(shù)；u(t)為控制輸入。

首先選擇一個期望的誤差動力學(xué)，然后計算在期望的誤差動力學(xué)下滿足系統(tǒng)方程式(4)的控制輸入。根據(jù)不同的制導(dǎo)目的，跟蹤誤差可選擇為零控脫靶量，視線角速率，攻擊時間誤差，攻擊角度誤差等，r(t)與選取的跟蹤誤差有關(guān)，因為上述跟蹤問題都是可控的，所以r(t)是可逆的，有r(t)≠0。

制導(dǎo)律設(shè)計中一種傳統(tǒng)的期望誤差動力學(xué)為

(5)

式中：k>0為控制跟蹤誤差收斂速度的比例增益。

解式(5)可得跟蹤誤差的解析式為

ε(t)=ε(t0)e-kt

(6)

式中：ε(t0)為初始跟蹤誤差。

式(6)表明跟蹤誤差按指數(shù)函數(shù)形式漸進地收斂到零，收斂速度與比例增益k有關(guān)。這種期望的誤差動力學(xué)只是將跟蹤誤差收斂到零，沒有考慮如何選取明確的性能指標最優(yōu)地實現(xiàn)零跟蹤誤差。

考慮跟蹤誤差的最優(yōu)收斂模式，利用Schwarz不等式推導(dǎo)最優(yōu)誤差動力學(xué)[22]。

期望的誤差動力學(xué)選取為

(7)

式中：tgo為剩余飛行時間；

(8)

其中：H(t)>0為權(quán)函數(shù)。

性能指標為

(9)

實現(xiàn)期望的誤差動力學(xué)式(7)并使性能指標式(9)取最小值需要的控制輸入為

(10)

證明過程可參考文獻[22]。

誤差動力學(xué)式(7)的形式即為最優(yōu)誤差動力學(xué)，它保證了設(shè)計的制導(dǎo)律在有限時間內(nèi)收斂，因為它是直接求解有限時間最優(yōu)跟蹤問題得到的。

對最優(yōu)誤差動力學(xué)特性進行分析，傳統(tǒng)期望誤差動力學(xué)與最優(yōu)誤差動力學(xué)為

(11)

對比式(11)的兩種誤差動力學(xué)，可知傳統(tǒng)期望誤差動力學(xué)與最優(yōu)誤差動力學(xué)的區(qū)別在于比例增益不同。傳統(tǒng)期望誤差動力學(xué)的比例增益是一常值k，最優(yōu)誤差動力學(xué)的比例增益是時變值φ(t)/tgo。

分析最優(yōu)誤差動力學(xué)的時變比例增益，由于

(12)

隨著剩余飛行時間趨于零，最優(yōu)誤差動力學(xué)的時變比例增益由一個初始小值增大到無窮大，時變比例增益的變化形式與φ(t)有關(guān)。

令Γ(t)=H-1(t)r2(t)，可將φ(t)寫為

(13)

函數(shù)r(t)與具體的制導(dǎo)問題有關(guān)，權(quán)函數(shù)H(t)是設(shè)計參數(shù)，根據(jù)不同的目標選取合適的權(quán)函數(shù)H(t)。

分析式(13)可得，對于給定的r(t)和H(t)，始終有φ(t)>0。當(dāng)Γ(t)為常數(shù)時，φ(t)=1；當(dāng)Γ(t)隨著t→tf減小時，φ(t)>1；當(dāng)Γ(t)隨著t→tf增大時，φ(t)<1。

下面分析兩種情況。

1)當(dāng)r(t)是時不變函數(shù)，權(quán)函數(shù)H(t)=1時，φ(t)為

(14)

最優(yōu)誤差動力學(xué)使性能指標式(15)取最小值得到的是控制量平方積分最小的制導(dǎo)律。

(15)

(16)

這種情況下，φ(t)=K為一常數(shù)。

期望誤差動力學(xué)使下述性能指標式(17)最小。

(17)

當(dāng)r(t)=1且K=1時，性能指標式(17)退化為性能指標式(15)。

最優(yōu)誤差動力學(xué)為

(18)

解式(18)可得最優(yōu)跟蹤誤差的解析式為

(19)

這種最優(yōu)誤差動力學(xué)在實際中是可用的，因為跟蹤誤差的收斂模式作為剩余飛行時間的函數(shù)是可預(yù)測的，并且最優(yōu)誤差動力學(xué)由簡單形式給出，這種最優(yōu)誤差動力學(xué)可應(yīng)用于各種類型的制導(dǎo)問題。

3 時間角度控制制導(dǎo)律

本節(jié)利用最優(yōu)誤差動力學(xué)方法設(shè)計時間角度控制制導(dǎo)律，在廣義最優(yōu)角度制導(dǎo)律的基礎(chǔ)上增加攻擊時間誤差反饋項，將攻擊時間誤差看做跟蹤誤差，設(shè)計的制導(dǎo)律使跟蹤誤差以最優(yōu)模式在有限時間內(nèi)收斂到零，最終實現(xiàn)攻擊時間和終端攻擊角度的共同控制。

3.1 廣義最優(yōu)角度控制律的剩余飛行時間

廣義最優(yōu)角度制導(dǎo)律可表示為[12]

(20)

式中：n=0,1,2,…；σf=θf-λ。

在對廣義最優(yōu)角度控制律進行剩余攻擊時間估算時，不僅要考慮比例導(dǎo)引過載指令對彈道曲率的影響，還要考慮用于終端攻擊角度控制的過載指令對彈道的影響。

定義z為關(guān)于沿彈目視線參數(shù)s的多項式函數(shù)

z=an+3sn+3+an+2sn+2+…+a1s+a0

n=0,1,2,…

(21)

根據(jù)小角度假設(shè)，速度方向誤差角表示為

σ=-[(n+3)an+3sn+2+(n+2)

an+2sn+1+…+a1]

n=0,1,2,…

(22)

根據(jù)邊界條件

(23)

當(dāng)n≥1時，補充方程

(24)

將式(23)和式(24)代入式(21)和式(22)，可解出待定系數(shù)為

(25)

當(dāng)1

考慮終端攻擊角度約束的剩余飛行時間估計表示為

(26)

式中：Δ為由于彈道彎曲增加的剩余飛行時間的比例。

將式(21)對s求導(dǎo)可得

(27)

利用泰勒公式并略去高階項有

(28)

將式(28)代入式(27)得

(29)

3.2 制導(dǎo)律設(shè)計

時間角度控制制導(dǎo)律的制導(dǎo)指令表示為

aM=aOA+aIT

(30)

式中：aIT為攻擊時間誤差反饋項制導(dǎo)指令。

3)σ+(2n2+6n+3)σf]sinσ

(31)

將上述簡化關(guān)系代入式(31)并且忽略高階項得

[(2n+3)σ+(2n2+6n+3)σf]σ=

(n+1)σf]aIT

(32)

攻擊時間誤差定義為

εt=td-tf

(33)

將攻擊時間誤差εt看作跟蹤誤差，利用第2節(jié)的方法，可得

[(2n+4)σ-(n+1)σf]aIT

(34)

攻擊時間控制問題的時變函數(shù)r(t)和控制輸入u(t)分別為

(35)

關(guān)于攻擊時間誤差εt的最優(yōu)誤差動力學(xué)

(36)

性能指標為

(37)

將式(36)代入式(34)得

(38)

則時間角度控制制導(dǎo)律為

(39)

式(39)也可表示為

(40)

可以看出，時間角度控制制導(dǎo)律包含比例導(dǎo)引項，終端攻擊角度控制項和攻擊時間誤差反饋控制項。其中比例導(dǎo)引項保證命中目標，終端攻擊角度控制項和攻擊時間誤差反饋控制項使導(dǎo)彈分別滿足期望的終端攻擊角度和期望攻擊時間。當(dāng)攻擊時間與期望的攻擊時間實現(xiàn)一致后，攻擊時間誤差反饋控制項的制導(dǎo)指令收斂為零，時間角度控制制導(dǎo)律退化為廣義最優(yōu)角度制導(dǎo)律。

當(dāng)n=0時，廣義最優(yōu)角度制導(dǎo)律即彈道成型制導(dǎo)律，時間角度控制制導(dǎo)律為

(41)

性能指標為

(42)

4 仿真分析

以時間角度控制制導(dǎo)律式(41)為例，仿真驗證在不同參數(shù)條件下的性能。式(41)可表示為

(43)

不考慮跟蹤誤差的收斂模式，由傳統(tǒng)的誤差動力學(xué)式(5)得到的時間角度控制制導(dǎo)律為

(44)

可以看出制導(dǎo)律中的設(shè)計參數(shù)為期望攻擊時間td、期望終端攻擊角度θd和制導(dǎo)增益K，不同的參數(shù)不僅可以改變導(dǎo)彈的彈道軌跡，也會影響對控制能量的消耗。

控制能量定義為

(45)

導(dǎo)彈初始位置(0,0) m，目標位置(12 000,0) m，初始速度方向誤差角σ0=30°，導(dǎo)彈速度VM=300 m/s，導(dǎo)彈最大可用過載amax=10g。

首先對比基于最優(yōu)和傳統(tǒng)誤差動力學(xué)的時間角度控制制導(dǎo)律式(43)、式(44)的性能。選取期望的攻擊時間為47 s，終端攻擊角度θd=-60°，制導(dǎo)增益K=6。

圖2給出了不同跟蹤誤差收斂模式下的彈道、過載指令和控制能量曲線。仿真結(jié)果表明，制導(dǎo)律式(43)、式(44)都實現(xiàn)了期望的攻擊時間和終端攻擊角度，但不考慮跟蹤誤差收斂模式的制導(dǎo)律式(44)需要很大的初始過載和更多的控制能量，并且沒有明確的性能指標。

下面分別分析td、θd和K對基于最優(yōu)誤差動力學(xué)的時間角度控制制導(dǎo)律式(43)性能的影響。

圖2 不同跟蹤誤差收斂模式下的仿真結(jié)果Fig.2 Simulation results of different tracking error convergence patterns

4.1 不同攻擊時間

研究不同攻擊時間情況下的性能。選取期望的攻擊時間分別為44、47、50 s，終端攻擊角度θd=-60°，制導(dǎo)增益K=6。

圖3給出了不同攻擊時間下的導(dǎo)彈與目標相對距離、彈道、速度方向角、速度方向誤差角、過載指令和控制能量曲線。由圖3(a)和圖3(c)可看出，在時間角度控制制導(dǎo)律作用下，實現(xiàn)了不同攻擊時間和期望的終端攻擊角度約束。在比例導(dǎo)引制導(dǎo)律作用下的飛行時間tf=40.8 s，終端攻擊角度θf=-10°，越大的期望攻擊時間要求彈道越彎曲，因此在初始段導(dǎo)彈以速度方向誤差角增大的方向飛行來增加彈道長度。仿真結(jié)果圖3(d)～圖3(f)表明，攻擊時間和角度的跟蹤誤差越大，初始段速度方向誤差角增加越多，需要的過載越大，控制能量消耗越多。

圖3 不同攻擊時間下的仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results of different impact time

4.2 不同終端攻擊角度

分析不同終端攻擊角度情況下的性能。選取期望的終端攻擊角度分別為-45°，-60°，-75°，攻擊時間td=47 s，制導(dǎo)增益K=6。仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4(a)和圖4(c)分別為彈目相對距離曲線和速度方向角曲線，導(dǎo)彈以期望的終端攻擊角度在攻擊時間47 s命中目標。在彈道成型制導(dǎo)律作用下，實現(xiàn)-45°，-60°，-75°終端攻擊角度的飛行時間分別為43.04、44.57、46.52 s。圖4(d)～圖4(f)表明，終端攻擊角度-45°的時間誤差最大，為了增加攻擊時間，初始段需要以速度方向誤差角增大的方向飛行，相應(yīng)的需要較大過載和控制能量。終端攻擊角度-75°的攻擊時間誤差較小，初始段需要較小的過載和控制能量，在彈道末端需要較大的過載和控制能量來實現(xiàn)大的終端攻擊角度。終端攻擊角度-60°時消耗的控制能量最小，因此在選擇制導(dǎo)律參數(shù)時，需要權(quán)衡攻擊時間和終端攻擊角度的匹配問題。

圖4 不同終端攻擊角度下的仿真結(jié)果Fig.4 Simulation results of different terminal impact angles

4.3 不同制導(dǎo)增益

圖5仿真對比了不同制導(dǎo)增益K下的時間角度控制制導(dǎo)律性能。選取攻擊時間td=47 s，終端攻擊角度θd=-60°，制導(dǎo)增益K分別為6、10和14。仿真結(jié)果表明，制導(dǎo)增益K越大，攻擊時間誤差收斂越快，但需要更大的過載和控制能量。由圖5(a)和圖5(c)可看出，不同的制導(dǎo)增益K都實現(xiàn)了期望的攻擊時間和終端攻擊角度。

圖5 不同制導(dǎo)增益下的仿真結(jié)果Fig.5 Simulation results of different guidance gains

5 結(jié) 論

1) 本文考慮攻擊時間和終端攻擊角度約束，提出了一種時間角度控制制導(dǎo)律，該制導(dǎo)律由廣義最優(yōu)角度控制制導(dǎo)律和攻擊時間誤差反饋項組成，分別用來進行終端攻擊角度控制和攻擊時間控制。

2) 考慮跟蹤誤差的最優(yōu)收斂模式，利用Schwarz不等式推導(dǎo)了最優(yōu)誤差動力學(xué)，給出了廣義最優(yōu)角度控制制導(dǎo)律作用下的剩余飛行時間估算表達式，將攻擊時間誤差看作跟蹤誤差，設(shè)計基于最優(yōu)誤差動力學(xué)的時間角度控制制導(dǎo)律，實現(xiàn)了攻擊時間和終端攻擊角度的共同控制。

3) 該制導(dǎo)律形式簡單，仿真表明在不同的設(shè)計參數(shù)下均有較好的性能，具有良好的工程應(yīng)用價值。