范興貴，許進(jìn)升,，陳雄，杜紅英，李映坤，張中水

1.南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094 2.晉西工業(yè)集團(tuán) 技術(shù)研發(fā)中心，太原 030027 3.北方自動(dòng)控制技術(shù)研究所，太原 030006

級(jí)間隔離技術(shù)作為雙脈沖固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)(以下簡稱雙脈沖發(fā)動(dòng)機(jī))的關(guān)鍵技術(shù)之一，其技術(shù)突破成為雙脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)實(shí)現(xiàn)工程應(yīng)用的關(guān)鍵。隔層式雙脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)具有結(jié)構(gòu)簡單、加工容易、裝配工藝簡便等優(yōu)點(diǎn)，因而隔層式雙脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)具有很好的應(yīng)用前景。雙脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)級(jí)間隔層裝置不僅要求具有良好的絕熱能力，還要保證安全可靠地打開。國內(nèi)的許多研究者對(duì)雙脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)的工作過程進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究和數(shù)值模擬，王春光等[1]建立了雙脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)三元乙丙橡膠(EPDM)軟隔層的結(jié)構(gòu)仿真模型，利用擴(kuò)展有限元技術(shù)模擬了隔層的承壓以及破壞過程，得到了軟隔層的打開壓強(qiáng)。付鵬等[2]通過顯式動(dòng)力學(xué)的方法對(duì)一種軟隔離裝置的打開過程進(jìn)行了模擬，驗(yàn)證了隔層的打開過程，結(jié)果表明脆性斷裂準(zhǔn)則可以較準(zhǔn)確地預(yù)測隔層的破壞位置和破壞壓強(qiáng)。

王春光[1]和付鵬[2]等在研究EPDM軟隔層時(shí)，都把EPDM當(dāng)作線彈性或者超彈性材料來建模，然而EPDM軟隔層在雙脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)工作過程中的力學(xué)行為已經(jīng)超出了線彈性和超彈性的范圍，因而有必要對(duì)EPDM軟隔層的力學(xué)行為進(jìn)行研究。目前已有大量關(guān)于各種填料對(duì)EPDM燒蝕性能和力學(xué)性能影響的研究，而對(duì)其力學(xué)行為的研究較少。國外如亞利桑那大學(xué)的Cheng和Chen[3]進(jìn)行了EPDM準(zhǔn)靜態(tài)和動(dòng)態(tài)加卸載實(shí)驗(yàn)研究，分別采用了Ogden模型和Roxburgh模型描述準(zhǔn)靜態(tài)加載條件下的力學(xué)行為和連續(xù)加卸載條件下的應(yīng)力軟化行為。隨后Cheng等[4]又建立了考慮損傷和應(yīng)變率效應(yīng)的黏超彈性本構(gòu)模型，較好地預(yù)測了EPDM在動(dòng)態(tài)加卸載循環(huán)下的Mullins效應(yīng)。Cheng等[4]所建立的橡膠材料的黏超彈本構(gòu)模型僅僅是把超彈項(xiàng)里面的常數(shù)改為了伸長比變化率的經(jīng)驗(yàn)函數(shù)，這種經(jīng)驗(yàn)函數(shù)適用性不強(qiáng)，且整個(gè)模型無法描述除應(yīng)變率效應(yīng)外的其他黏彈性材料的力學(xué)特性。Pouriayevali等[5]研究了6種不同硬度的橡膠在準(zhǔn)靜態(tài)和高應(yīng)變率加載條件下的力學(xué)行為，并提出了一個(gè)松弛時(shí)間依賴于應(yīng)變水平的黏超彈本構(gòu)模型。Pouriayevali等[5]建立的黏超彈本構(gòu)模型把松弛時(shí)間作為等效應(yīng)變的經(jīng)驗(yàn)函數(shù)，同樣也存在著經(jīng)驗(yàn)函數(shù)的適用性問題。國內(nèi)李冬等[6]研究了EPDM包覆層拉伸性能的影響因素。張中水等[7]針對(duì)EPDM絕熱層建立了一個(gè)由應(yīng)變率相關(guān)函數(shù)與Ogden超彈模型乘積組成的經(jīng)驗(yàn)型黏超彈本構(gòu)模型，蔣晶等[8]研究了EPDM絕熱層在準(zhǔn)靜態(tài)條件下的壓縮響應(yīng)，基于熱激活機(jī)制的Seeger模型建立了準(zhǔn)靜態(tài)條件下的黏超彈本構(gòu)模型。張中水[7]和蔣晶[8]等建立的黏超彈本構(gòu)模型也存在著無法描述除應(yīng)變率效應(yīng)外其他黏彈性材料的力學(xué)特性和有限變形條件下的力學(xué)響應(yīng)問題。楊曉紅等[9]基于Mooney-Rivlin超彈模型和廣義Maxwell黏彈性模型建立了EPDM絕熱層在準(zhǔn)靜態(tài)加載條件下的本構(gòu)模型。在楊曉紅等[9]所建立的黏超彈模型中，黏彈項(xiàng)采用了小變形條件下的廣義Maxwell模型，因而整個(gè)模型不能用于描述有限變形情況下的力學(xué)響應(yīng)。談炳東等[10-11]研究了短纖維增強(qiáng)EPDM薄膜的力學(xué)性能，引入角度參數(shù)，建立了考慮角度參數(shù)的橫觀各向同性黏超彈本構(gòu)模型。談炳東等[10-11]建立的本構(gòu)模型也是只能描述應(yīng)變率效應(yīng)，無法描述應(yīng)力松弛效應(yīng)等其他黏彈性材料的力學(xué)特性。

本文基于上述研究的不足，采用橡膠類材料連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論，對(duì)EPDM軟隔層的力學(xué)行為進(jìn)行研究，建立其在有限變形下的本構(gòu)模型，為開展EPDM軟隔層式雙脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)工作過程的研究提供理論參考。

1 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

本文研究的EPDM軟隔層是厚度為4 mm的薄板，該材料以EPDM為基體，在此基礎(chǔ)上加入填充纖維以及阻燃性添加劑來提高其熱穩(wěn)定性能和耐燒蝕性能。依據(jù)航天工業(yè)行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)GB/T 528—2009，將EPDM軟隔層制成啞鈴型3型標(biāo)準(zhǔn)試件，該試件標(biāo)距為16 mm，截面尺寸為4 mm×4 mm。試件尺寸如圖1所示。

圖1 啞鈴型試件尺寸示意圖Fig.1 Diagram of dumbbell specimen

實(shí)驗(yàn)在微機(jī)控制電子萬能材料試驗(yàn)機(jī)上完成，實(shí)驗(yàn)環(huán)境條件：溫度為25 ℃，濕度為40%。分別進(jìn)行了多步松弛實(shí)驗(yàn)和單軸等速率拉伸實(shí)驗(yàn)。單軸等速拉伸速率分別為1、10、100、500 mm/min。實(shí)驗(yàn)中對(duì)每一個(gè)工況進(jìn)行多次重復(fù)實(shí)驗(yàn)，并選取5次有效實(shí)驗(yàn)結(jié)果的平均值作為該工況的實(shí)驗(yàn)曲線。單軸等速率拉伸實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示。

為了獲取本文所建立的本構(gòu)模型中的超彈項(xiàng)參數(shù)，需要進(jìn)行多步松弛實(shí)驗(yàn)，該實(shí)驗(yàn)是每次以200 mm/min的速率拉伸20%的應(yīng)變，應(yīng)變保持1 000 s，重復(fù)進(jìn)行若干次直至試件斷裂。多步松弛實(shí)驗(yàn)如圖3所示。

圖2 單軸等速率拉伸曲線Fig.2 Uniaxial tension test at different constant rates

圖3 多步松弛曲線Fig.3 Multi-step relaxtion curve

從圖2中可以看出，EPDM軟隔層表現(xiàn)出軟而韌的特點(diǎn)，沒有明顯的屈服點(diǎn)，只在曲線上有較大的彎曲部分，斷裂伸長率可達(dá)500%以上，斷裂強(qiáng)度較低。當(dāng)伸長比λ<2時(shí)，從圖上可以看出材料的應(yīng)變率效應(yīng)并不明顯，表現(xiàn)出彈性材料的特點(diǎn)。只有當(dāng)伸長比λ>2時(shí)應(yīng)變率效應(yīng)才開始比較明顯。從圖2中還可以看出，當(dāng)伸長比λ>2時(shí)，從單條曲線來看，應(yīng)力-應(yīng)變曲線表現(xiàn)出類似線性關(guān)系。至于圖2中曲線出現(xiàn)的交叉現(xiàn)象，則是由于拉伸機(jī)無法瞬間加載到給定速率，導(dǎo)致應(yīng)變較小時(shí)實(shí)驗(yàn)曲線產(chǎn)生交叉。

2 EPDM軟隔層黏超彈本構(gòu)模型

國內(nèi)外學(xué)者對(duì)EPDM的研究表明，橡膠材料的力學(xué)響應(yīng)可以用黏超彈模型來描述，該模型認(rèn)為總的Cauchy應(yīng)力張量σ可以分解為超彈性應(yīng)力張量σe與黏彈性應(yīng)力張量σv之和，如圖4所示，即

σ=σe+σv

(1)

圖4 黏超彈本構(gòu)模型示意圖Fig.4 Diagram of visco-hyperelastic constitutive model

2.1 超彈性本構(gòu)模型

對(duì)于超彈性部分，單軸拉伸情況下，假設(shè)加載方向與主應(yīng)力σ11方向一致，加載方向的主伸長比λ1=λ。假設(shè)橡膠類材料不可壓縮，則其余2個(gè)主方向的伸長比λ2=λ3=λ-1/2。根據(jù)連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的有限變形理論可知，描述有限變形需要引入變形梯度張量F，即

(2)

在單軸加載的條件下，左右Cauchy-Green應(yīng)變張量B和C具有相同的形式，即

(3)

對(duì)于不可壓縮各向同性超彈性材料，其Cauchy應(yīng)力張量σe可以用應(yīng)變能密度函數(shù)We來表示，即

(4)

(5)

(6)

從式(4)可以看出，Cauchy應(yīng)力張量σe的具體表達(dá)式取決于應(yīng)變能密度函數(shù)We的選取。商業(yè)軟件中常見的基于不變量的應(yīng)變能密度函數(shù)有Neo-Hookean模型[12]、Yeoh模型[13]和Mooney-Rivlin模型[14]等。Neo-Hookean模型具有常剪切模量，只適用于近似預(yù)測30%～40%單軸拉伸和80%～90%純剪切的橡膠力學(xué)行為；Yeoh在Neo-Hookean模型的基礎(chǔ)上通過引入I1的高階項(xiàng)使其能描述有隨變形而變化剪切模量的填料橡膠，而且可以描述較大的變形，但不能很好地描述等雙軸拉伸實(shí)驗(yàn)[13]。Mooney[14]將Rivlin和Saunders提出的級(jí)數(shù)形式的應(yīng)變能函數(shù)[15]取前2項(xiàng)，即在Neo-Hookean模型的基礎(chǔ)上考慮I2對(duì)應(yīng)變能函數(shù)的影響，Mooney-Rivlin模型被廣泛應(yīng)用于工程問題中，但在變形很大的情況下，Mooney-Rivlin模型無法描述顆粒填充橡膠出現(xiàn)的硬化現(xiàn)象。因此本文在Mooney-Rivlin模型的基礎(chǔ)上，對(duì)其作如下改進(jìn)：允許I1-3和I2-3的次數(shù)為大于1的任意實(shí)數(shù)，可以寫為

(7)

(8)

2.2 非線性黏彈性本構(gòu)模型

對(duì)于描述橡膠這種非線性力學(xué)特性比較明顯的材料來說，小變形、線黏彈性條件下的線黏彈性本構(gòu)模型已經(jīng)不合適，這時(shí)需要利用有限變形條件下的非線性黏彈性本構(gòu)模型進(jìn)行描述。描述非線性黏彈性的本構(gòu)方程有很多種，較為簡便的是對(duì)于各向同性不可壓縮材料，若不考慮t=0之前的加載歷史對(duì)當(dāng)前應(yīng)力的影響，有限變形下非線性黏彈性本構(gòu)方程可以寫為

(9)

(10)

mt-τ一般可以寫為Prony級(jí)數(shù)的形式，如果要預(yù)測應(yīng)變率橫跨多個(gè)數(shù)量級(jí)情況下的力學(xué)響應(yīng)，就要取高階的Prony級(jí)數(shù)，這樣勢必會(huì)增加模型參數(shù)的個(gè)數(shù)，因此本文提出采用無量綱形式的KWW方程來代替Prony級(jí)數(shù)[16]，即

(11)

式中：θ為KWW松弛時(shí)間；β(0≤β≤1)為指數(shù)擴(kuò)展因子。

令Wv為

(12)

將式(12)代入式(10)，再由單軸拉伸的邊界條件可得

(13)

聯(lián)立式(8)和式(13)可得總的柯西應(yīng)力為

(14)

3 模型參數(shù)的獲取與驗(yàn)證

3.1 模型參數(shù)的獲取

對(duì)于黏超彈本構(gòu)模型，獲得模型參數(shù)的思路有2種：① 通過多步松弛實(shí)驗(yàn)或者極慢速拉伸實(shí)驗(yàn)獲得本構(gòu)模型中超彈項(xiàng)的參數(shù)，然后再選一個(gè)拉伸速率下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線獲得本構(gòu)模型中黏彈項(xiàng)的參數(shù)[17-18]；② 通過松弛實(shí)驗(yàn)或者2條不同拉伸速率的應(yīng)力-應(yīng)變曲線作差的方法來獲得本構(gòu)模型中黏彈項(xiàng)的參數(shù)，然后再選某一個(gè)單軸拉伸速率下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線擬合出超彈項(xiàng)的參數(shù)[19]。

獲得超彈項(xiàng)參數(shù)之后，選擇1 mm/min加載速率下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線來獲得本構(gòu)模型中的黏彈項(xiàng)參數(shù)，采用最小二乘法對(duì)式(14)進(jìn)行擬合，獲得的黏彈項(xiàng)參數(shù)如表2所示，擬合結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比如圖6所示。

為驗(yàn)證建立的黏超彈模型對(duì)其他加載速率的預(yù)測效果，利用擬合出來的本構(gòu)模型去預(yù)測10、100、500 mm/min單軸等速拉伸的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，預(yù)測結(jié)果如圖7所示。從圖中可以看出，本模型可以較好地預(yù)測加載速率為10、100、500 mm/min時(shí)的力學(xué)響應(yīng)。

表1 超彈參數(shù)Table1 Hyperelastic parameters

圖5 超彈響應(yīng)實(shí)驗(yàn)曲線與擬合曲線對(duì)比Fig.5 Comparison between model and experimental stress-strain curves

表2 黏彈參數(shù)Table 2 Viscoelastic parameters

圖6 1 mm/min速率單軸拉伸擬合結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比Fig.6 Comparison between fitting result and experimental results of uniaxial tension at 1 mm/min

圖7 不同加載速率下模型結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比Fig.7 Comparsion between model and experimental stress-strain curves under different rates

3.2 模型參數(shù)的驗(yàn)證

3.2.1 超彈模型適用性驗(yàn)證

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文所提出的超彈模型的適用性，采用經(jīng)典的Treloar實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[20]來驗(yàn)證，分別有單軸拉伸、等雙軸拉伸、純剪切3種不同類型的實(shí)驗(yàn)。為了便于比較，將本文所提出的新模型與Neo-Hookean (N-H)模型、Yeoh模型、Mooney-Rivlin (M-R)模型放在一起作為對(duì)比。擬合結(jié)果如圖8所示。表3～表5分別為單軸拉伸實(shí)驗(yàn)、等雙軸拉伸實(shí)驗(yàn)、純剪切實(shí)驗(yàn)各模型的平均絕對(duì)誤差(MAE)。

從圖8(a)來看，Neo-Hookean模型和Mooney-Rivlin模型不能預(yù)測大應(yīng)變時(shí)出現(xiàn)的硬化現(xiàn)象，Yeoh模型和本文所提出的新模型能更好地預(yù)測700%應(yīng)變范圍內(nèi)單軸拉伸實(shí)驗(yàn)結(jié)果，但是本文所提出模型的MAE值比Yeoh模型更低；從圖8(b)來看，除了Neo-Hookean模型外，其他3個(gè)模型都對(duì)等雙軸拉伸實(shí)驗(yàn)的結(jié)果擬合較好，本文所提出的新模型的MAE值比其他模型小1個(gè)數(shù)量級(jí)；從圖8(c)來看，在出現(xiàn)硬化現(xiàn)象之前，4個(gè)模型預(yù)測結(jié)果相差很小，MAE值均在相同的數(shù)量級(jí)，出現(xiàn)硬化現(xiàn)象之后，Yeoh模型和本文所提出的新模型能更好地預(yù)測實(shí)驗(yàn)結(jié)果，但是本文所提出模型的MAE值比Yeoh模型更低。綜合3種加載情況來看，本文提出的新模型對(duì)3種加載工況的預(yù)測結(jié)果最好。

圖8 3種加載情況下不同模型預(yù)測結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.8 Comparison of prediction results of different models and results of experiments under three loading cases

表3 單軸拉伸實(shí)驗(yàn)各模型的平均絕對(duì)誤差Table 3 MAE of each model in uniaxial tensile experiment

表4 等雙軸拉伸實(shí)驗(yàn)各模型的平均絕對(duì)誤差Table 4 MAE of each model in biaxial tension experiment

表5 純剪切實(shí)驗(yàn)各模型的平均絕對(duì)誤差Table 5 MAE of each model in pure shear experiment

3.2.2 中高應(yīng)變率單軸拉伸及準(zhǔn)靜態(tài)單軸壓縮驗(yàn)證

3.2.1節(jié)所述實(shí)驗(yàn)均在準(zhǔn)靜態(tài)條件下進(jìn)行，為了進(jìn)一步驗(yàn)證模型對(duì)于其他工況下的適用性，下面采用中高應(yīng)變率下的單軸拉伸實(shí)驗(yàn)[17]和準(zhǔn)靜態(tài)下的單軸壓縮實(shí)驗(yàn)[8]來驗(yàn)證。模型參數(shù)的獲取過程不再贅述，擬合及預(yù)測結(jié)果如圖9和圖10所示，表6～表9為中高應(yīng)變率單軸拉伸及準(zhǔn)靜態(tài)壓縮超彈、黏彈部分參數(shù)。

從圖9中可以看出，本文所建立的本構(gòu)模型可以預(yù)測寬泛應(yīng)變率下的單軸拉伸響應(yīng)，同時(shí)也預(yù)測到了大應(yīng)變時(shí)出現(xiàn)的硬化現(xiàn)象。圖10也表明本文所建立的模型可準(zhǔn)確地預(yù)測EPDM絕熱層在準(zhǔn)靜態(tài)條件時(shí)的單軸壓縮力學(xué)響應(yīng)。綜合以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果與相應(yīng)的預(yù)測結(jié)果可以看出，本文所建立的模型對(duì)多種工況都有較好的預(yù)測能力。

圖9 中高應(yīng)變率單軸拉伸下模型預(yù)測結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比Fig.9 Comparison of prediction results of models and results of experiments under uniaxial tensile at medium high strain rates

圖10 準(zhǔn)靜態(tài)單軸壓縮下模型預(yù)測結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.10 Comparison of prediction results of model and results of experiment under quasi-static uniaxial compression

表6 中高應(yīng)變率單軸拉伸超彈部分參數(shù)

表7 中高應(yīng)變率單軸拉伸黏彈部分參數(shù)

表8 準(zhǔn)靜態(tài)壓縮超彈部分參數(shù)

表9 準(zhǔn)靜態(tài)壓縮黏彈部分參數(shù)

4 結(jié) 論

1) 對(duì)雙脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)EPDM軟隔層低應(yīng)變率條件下的力學(xué)行為進(jìn)行了研究，獲取了EPDM軟隔層的超彈響應(yīng)曲線和低應(yīng)變率加載曲線。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果來看，EPDM軟隔層具有超彈和黏彈性材料的特點(diǎn)，加載速率越大對(duì)應(yīng)的載荷值越大。

2) 在Mooney-Rivlin模型的基礎(chǔ)上對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)，使其能夠描述大應(yīng)變時(shí)出現(xiàn)的硬化現(xiàn)象而不至于引入過多參數(shù)；針對(duì)傳統(tǒng)的描述寬泛應(yīng)變率條件下的力學(xué)響應(yīng)需要克服高階Prony級(jí)數(shù)帶來的參數(shù)過多的缺點(diǎn)，提出采用無量綱形式的KWW方程代替高階Prony級(jí)數(shù)。

3) 為驗(yàn)證本文所建立模型的合理性，利用所建的本構(gòu)模型參數(shù)去預(yù)測EPDM軟隔層單軸拉伸實(shí)驗(yàn)結(jié)果。為了進(jìn)一步驗(yàn)證模型的預(yù)測能力，采用文獻(xiàn)中經(jīng)典的Treloar實(shí)驗(yàn)及中高應(yīng)變率單軸拉伸、準(zhǔn)靜態(tài)壓縮實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)模型進(jìn)行了驗(yàn)證。驗(yàn)證結(jié)果表明，本文所建模型適用性較好，能夠較好地預(yù)測橡膠類材料在較大應(yīng)變及應(yīng)變率范圍內(nèi)的力學(xué)響應(yīng)，可以為雙脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)隔層工作過程的數(shù)值仿真提供理論模型。