張羽白，崔彥勇，李玉飛，劉寶文，相 梅，楊振聲

（航空工業(yè)洪都，江西 南昌，330024）

0 引言

高機(jī)動能力是現(xiàn)代戰(zhàn)機(jī)的重要特征，而飛機(jī)的機(jī)動響應(yīng)能力與穩(wěn)定性是一對矛盾，在飛機(jī)氣動平臺確定后，電傳飛機(jī)的穩(wěn)定性能主要取決于控制律設(shè)計(jì)。為盡可能提高飛機(jī)機(jī)動能力，需要在設(shè)計(jì)階段準(zhǔn)確地計(jì)算飛控系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，為控制律設(shè)計(jì)提供明確的穩(wěn)定邊界。

其中，穩(wěn)定儲備是評價(jià)飛機(jī)和飛控系統(tǒng)穩(wěn)定性的一個(gè)重要指標(biāo)，表明系統(tǒng)穩(wěn)定的可靠程度。穩(wěn)定儲備包括幅值儲備和相位儲備，即系統(tǒng)進(jìn)入不穩(wěn)定狀態(tài)之前可以增加的相位和增益變化，相位儲備和幅值儲備越大，系統(tǒng)越穩(wěn)定，GJB 2191中對其有明確指標(biāo)要求。

在控制律設(shè)計(jì)階段，穩(wěn)定儲備理論計(jì)算利用線性化小擾動模型和飛行控制系統(tǒng)線性化模型求取系統(tǒng)穩(wěn)定儲備，但通過后期和鐵鳥試驗(yàn)得到的穩(wěn)定儲備對比發(fā)現(xiàn)，該方法存在以下問題：采用小擾動模型并線性化的方法，忽略了飛機(jī)氣動特性及飛控系統(tǒng)存在的多種復(fù)雜非線性，所求取的穩(wěn)定儲備與實(shí)際穩(wěn)定儲備存在較大偏差，可能導(dǎo)致后期控制律設(shè)計(jì)反復(fù)。

基于以上原因，本文提出一種基于六自由度非線性模型的穩(wěn)定儲備理論計(jì)算方法，通過快速傅里葉變換方法計(jì)算飛控系統(tǒng)縱、橫、航向的穩(wěn)定儲備。

1 六自由度非線性模型下的穩(wěn)定儲備計(jì)算方法

根據(jù)快速傅里葉變換建立六自由度非線性模型的穩(wěn)定儲備計(jì)算模型。

1.1 快速傅里葉變換

對于一個(gè)周期連續(xù)信號f（t）可以通過傅里葉級數(shù)將其分解成不同頻率的正余弦函數(shù)之和，從頻率的角度對信號進(jìn)行分析和研究，如式1～6所示。

其中，ω1、T1分別是原周期函數(shù)的角頻率和周期。

對這種頻域分析的概念進(jìn)行拓寬，可以得到時(shí)域信號非周期甚至是離散情況下對應(yīng)的傅里葉變換方法。工程應(yīng)用一般使用數(shù)字計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算，要求輸入的時(shí)域信號和輸出的頻域信號都是離散信號，且輸入的時(shí)域信號一般為非周期，這種情況下應(yīng)采取離散傅里葉變換方法，如公式7～9所示：

通過離散傅里葉變換，可以將離散的時(shí)域信號和頻域信號進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換，同時(shí)，輸入輸出信號都是數(shù)字信號，這使得該過程可以使用數(shù)字計(jì)算機(jī)進(jìn)行，拓展了該方法的實(shí)用性。

然而，根據(jù)式（7）和式（8），整個(gè)離散傅里葉變換運(yùn)算需要4N2次實(shí)數(shù)乘法和2N（2N-1）次實(shí)數(shù)加法，計(jì)算復(fù)雜度為o（N2）。如果直接用定義式計(jì)算離散傅里葉變換，隨著信號長度的增加，計(jì)算復(fù)雜度會急速增加，運(yùn)算量非常大。

因此，直接計(jì)算離散傅里葉變換的方法是行不通的，必須尋找減少運(yùn)算次數(shù)的途徑，由此催生了快速傅里葉變換算法（FFT）。

快速傅里葉變換算法主要有兩大類，即時(shí)域抽取法和頻域抽取法，又分別被稱為庫利算法和圖基算法。這兩種算法分別按照時(shí)域和頻域的奇偶性對序列進(jìn)行分解，從而減小了計(jì)算復(fù)雜度，具體做法本文不做贅述。當(dāng)序列長度為N=2M時(shí)，其計(jì)算復(fù)雜度為o（Nlog2M）。N越大，快速傅里葉變換相對于原始離散傅里葉變換速度越快，這樣就大大提升了離散傅里葉變換的實(shí)用性。

1.2 穩(wěn)定儲備計(jì)算方法

基于六自由度非線性模型的穩(wěn)定儲備原理圖見圖1和圖2，其中δio為掃頻信號，δz為輸入時(shí)域信號，X為輸出時(shí)域信號。

穩(wěn)定儲備計(jì)算方法具體步驟如下：

1）在飛機(jī)配平狀態(tài)下，從作動器模型后加入掃頻信號，選取合適的起始頻率、終止頻率，采樣信號長度為系統(tǒng)開始接收掃頻信號擾動到系統(tǒng)響應(yīng)穩(wěn)定的時(shí)間長度。

2）根據(jù)采集的輸入、輸出時(shí)域信號，使用快速傅里葉變換將其變換為頻域信號；將輸出信號對應(yīng)的頻域信號除以輸入信號對應(yīng)的頻域信號，即可得到系統(tǒng)本身的頻域特性曲線，這些頻域信號值都是復(fù)數(shù)，可以方便地求出幅值和相位。頻域信號對應(yīng)的頻率值根據(jù)式10求取。

圖1 縱向穩(wěn)定儲備計(jì)算原理圖

圖2 橫、航向穩(wěn)定儲備計(jì)算原理圖

其中，N=100，表示時(shí)域信號采樣頻率，L表示采樣計(jì)算得到的頻域信號總數(shù)，例如，當(dāng)采樣時(shí)間為10s時(shí)，L=1001；系數(shù)6.28是將頻率單位由HZ轉(zhuǎn)換為rad/s，以便與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較。得到頻域信號幅值、相位和對應(yīng)頻率以后，即可繪制伯德圖求取穩(wěn)定儲備。

2 六自由度Simulink模型穩(wěn)定儲備仿真計(jì)算

以縱向穩(wěn)定儲備求取為例，搭建六自由度非線性模型，掃頻模塊位于作動器后，如圖3所示。

按照2節(jié)所述方法步驟，繪制伯德圖如圖4所示：

圖3 縱向掃頻模塊示意圖

圖4 起飛0km、0.2M非線性穩(wěn)定儲備伯德圖

通過伯德圖，可以計(jì)算出系統(tǒng)的幅值穩(wěn)定儲備和相位穩(wěn)定儲備。如圖4，在幅值頻率特性圖中可以算出穿越0db頻率為2.82rad/s，根據(jù)相位頻率特性圖可知該頻率下對應(yīng)的相角為-104.22°，系統(tǒng)相位儲備GM=-104.22°-（-180°）=75.78°；同理，根據(jù)相位頻率特性圖可以計(jì)算出系統(tǒng)相位-180°時(shí)對應(yīng)的頻率為19.37rad/s，對應(yīng)的系統(tǒng)幅值穩(wěn)定儲備PM=18.50db。這樣就得到了表征系統(tǒng)穩(wěn)定程度所需的穩(wěn)定儲備所有參數(shù)。

3 結(jié)果對比分析

將基于六自由度非線性模型穩(wěn)定儲備計(jì)算方法得到的計(jì)算結(jié)果與小擾動方法、鐵鳥臺試驗(yàn)方法得到的結(jié)果進(jìn)行對比分析。

以某型飛機(jī)為原型，搭建六自由度非線性仿真模型，選取合適狀態(tài)點(diǎn)，按照第2節(jié)所述方法步驟進(jìn)行仿真計(jì)算縱向穩(wěn)定儲備，對應(yīng)構(gòu)型對應(yīng)狀態(tài)點(diǎn)的鐵鳥穩(wěn)定儲備試驗(yàn)結(jié)果和小擾動模型仿真計(jì)算結(jié)果對比見表1。

表1 三軸穩(wěn)定儲備對比

從表1可以看出，通過六自由度非線性模型穩(wěn)定儲備計(jì)算方法計(jì)算出來的縱向穩(wěn)定儲備，相對于原有的小擾動模型計(jì)算方法，更接近真實(shí)鐵鳥試驗(yàn)結(jié)果，但還存在一定差異。

分析認(rèn)為，誤差存在的原因可能是真實(shí)鐵鳥環(huán)境各環(huán)節(jié)的時(shí)延和相位滯后相對于理想仿真模型更大，導(dǎo)致在真實(shí)鐵鳥試驗(yàn)得到的伯德圖中，系統(tǒng)幅值響應(yīng)與理想六自由度模型一致，穿越頻率相同，而系統(tǒng)相位下降相對更快，穿越頻率對應(yīng)的相位距離-180°更近，因此相位儲備更?。煌?，真實(shí)鐵鳥試驗(yàn)系統(tǒng)相位更快到達(dá)-180°，導(dǎo)致相角-180°處頻率更小，從而幅值儲備也更??；也有可能是鐵鳥試驗(yàn)和非線性仿真方法不同掃頻方法造成的，有待進(jìn)一步研究。

4 結(jié)語

本文以某型飛機(jī)為原型機(jī)，運(yùn)用快速傅里葉變換方法在六自由度非線性模型中進(jìn)行飛機(jī)穩(wěn)定儲備計(jì)算。通過仿真結(jié)果對比分析，驗(yàn)證了非線性模型穩(wěn)定儲備計(jì)算方法在縱、橫、航向穩(wěn)定儲備求取上的準(zhǔn)確性，總體上優(yōu)于原有的小擾動模型穩(wěn)定儲備計(jì)算方法，能夠減少控制律設(shè)計(jì)的迭代次數(shù)，提高工作效率。