王 楷， 鄭 凱， 張小磊， 石學濤， 姚抒均

（齊魯工業(yè)大學（山東省科學院） 山東省科學院海洋儀器儀表研究所， 山東 青島 266000）

引言

隨著振動源分離技術的發(fā)展，傳遞路徑分析（TPA）法[1]被引入到船舶領域。傳遞路徑分析法可以準確分析系統(tǒng)中各臺設備的貢獻量，確定主要振源，從而針對主要振源，有的放矢的提出改進設計。但是，由于傳遞路徑分析需要測量大量的頻響函數(shù)，測試工作量大且測試不便，限制了傳遞路徑分析法的應用范圍。近年來，國內外學者為解決這一問題進行了很多探索和研究，其中工況傳遞路徑分析（OPA）法[2]得到了很大重視。工況傳遞路徑分析不需要測量頻響函數(shù)，僅需要獲得系統(tǒng)在工作狀態(tài)下評估點和激勵點的響應即可進行分析。Gert De Sitter和ChristofDevriendt[3]等人提出一種不用拆解系統(tǒng)即可識別傳遞路徑的方法。該方法首先運用在簡單離散系統(tǒng)上，通過整理得到關于傳遞函數(shù)的表達式，然后運用H1估計得到傳遞函數(shù)的計算式。但是在實際應用中，結構的傳遞函數(shù)表達式很難獲得，且各個激勵力不相關的條件難以滿足，以至于限制該方法的應用。K.Janssens和A.Ossipov[4-5]等人介紹了一種運用傳遞率理論的OPA方法。文中指出盡管該方法可以減少測量時間，減輕測量的復雜程度，但是也存在很多限制：首先，輸入載荷應是不相關的；其次，結構輸入路徑之間不應存在互耦合；最后，在測量中可能遺漏重要路徑。

1 基本原理

工況傳遞路徑分析法是在傳遞路徑分析法[6]的基礎上發(fā)展演變而來的，其基本原理基于假設：來自不同路徑的所有部分響應構成了總響應。

式中：Xj為評估點j處的總響應，Xij為傳遞路徑ij在評估點j處的響應分量。

響應分量Xij是激勵點處的激勵力通過頻響函數(shù)在評估點處引起的響應，其表達式為：

式中：Hij為激勵點i到評估點j的頻響函數(shù)，F(xiàn)i為作用于激勵點i處的激勵力。

在傳遞路徑分析法中，頻響函數(shù)Hij是通過錘擊實驗[7]獲得的，但是在工況傳遞路徑分析法中，頻響函數(shù)是通過計算得到的。因此，頻響函數(shù)Hij的計算方法即為工況傳遞路徑分析法的關鍵技術。

為計算頻響函數(shù)，本文提出三種方法：多工況法、分段函數(shù)法和多工況分段函數(shù)法。下面分別予以說明。

1.1 多工況法

利用多工況法計算頻響函數(shù)，振動系統(tǒng)需要具有足夠多的不同工況。對于具有一臺或多臺設備的振動系統(tǒng)，可以通過改變設備的工作狀態(tài)或者開關某臺設備，以獲得不同的工況。假設系統(tǒng)有m個頻響函數(shù)，k個工況。根據(jù)式（1），每個工況列一個方程，其公式如下：

式中：下標m為頻響函數(shù)編號，下標k為工況編號，下標j為評估點編號。

當工況數(shù)目k大于或等于頻響函數(shù)數(shù)目m時，即可求得m個激勵點到評估點j的頻響函數(shù)：

式中：[H]為頻響函數(shù)矩陣，[X]為評估點響應矩陣，[F]為激勵力矩陣，[F]+為[F]的廣義逆。

1.2 分段函數(shù)法

利用分段函數(shù)法[8]計算頻響函數(shù)，首先假設頻響函數(shù)在某頻段內為一個可以用參數(shù)a1，a2，…，an表示的函數(shù)：

式中：下標n表示參數(shù)的編號。

利用在這個頻段內多個采樣頻率點ωx測量得到的響應值Xj（ωx）與激勵力的值F（ωx），列出足夠多的方程，求解頻響函數(shù)中的參數(shù) a1，a2，…，an。

假設系統(tǒng)有m個頻響函數(shù)，每個頻響函數(shù)在[ω1，ω2]頻段內可以表示為含有n個參數(shù)的函數(shù)H（ωx），則在[ω1，ω2]頻段內至少需要 m·n 個采樣頻率點，才能求得頻響函數(shù)中的m·n個參數(shù)。根據(jù)式（1），在每個采樣頻率點ωx處列一個方程，如式（6）所示：

式中：ωx∈（ω1，ω2），下標 m 為頻響函數(shù)編號，下標 j為評估點編號。

如果在分析頻段內，頻響函數(shù)分為s段，則其表達式為：

式中：下標m為頻響函數(shù)編號，下標j為評估點編號，下標s為頻響函數(shù)分段編號，下標n為頻響函數(shù)參數(shù)編號。

1.3 多工況分段函數(shù)法

在工程實際中，振動系統(tǒng)的可變工況數(shù)目不多，從而限制了多工況法的運用；對于分段函數(shù)法，每個頻段內采樣頻率點的數(shù)目不能過多，否則會因各采樣頻率點間的差異過小而產生奇異矩陣，導致求解錯誤。鑒于以上兩種方法的缺陷和不足，工程實際中兩種方法可以結合使用，增加可用方程的數(shù)目，以便提高計算精度。

假設振動系統(tǒng)有k個工況，m個頻響函數(shù)，每個頻響函數(shù)在[ω1，ω2]頻段內可以表示為含有n個參數(shù)的函數(shù)，則在[ω1，ω2]頻段內僅需要 m·n/k 個采樣頻率點，就能求得頻響函數(shù)中的m·n個參數(shù)。為了提高計算精度，需要增加方程的數(shù)目。因此采樣頻率點個數(shù)應大于m·n/k。根據(jù)式（1），每個工況列一個方程，則在每個采樣頻率點ωx處可列一個含有k個方程的方程組，如式（8）所示：

式中：ωx∈（ω1，ω2），下標為 m 頻響函數(shù)編號，下標 k為工況編號，下標j為評估點編號。

由式（8）計算得到各參數(shù)后，即可按照式（7）獲得各頻響函數(shù)的表達式。

2 實驗與結果分析

2.1 實驗步驟

為了檢驗通過多工況分段函數(shù)法計算得到的頻響函數(shù)的準確性，在實驗室內選用一臺海水泵進行實驗研究。海水泵附有進口管路和出口管路，其安裝如圖1所示。海水泵四個機腳通過隔振器與基座相連，進口管路、出口管路通過隔振器與馬腳相連。

圖1 海水泵安裝示意圖

實驗中，每個機腳考慮3個方向激勵，布置三向加速度傳感器。每個管路馬腳只考慮1個方向激勵，布置單向加速度傳感器。評估點選在距設備與管路激勵點距離相當?shù)幕?，共?個，布置單向加速度傳感器。因此，該振動系統(tǒng)中，每個評估點對應14條路徑，即14個頻響函數(shù)。

海水泵與管路安裝前，通過錘擊實驗獲得各路徑的頻響函數(shù)，以便與計算得到的頻響函數(shù)進行對比。實驗時,根據(jù)互易原理[9]，裝有力傳感器的力錘在靠近評估點的位置激勵,加速度傳感器安放在激勵點處采集響應信號。通常一個位置敲5～10次，最后的結果取平均值。本次錘擊實驗中，力錘錘頭使用的是鋼頭。一般而言，在中高頻段內采用鋼頭進行錘擊可以獲得較好的頻響函數(shù)。因此，本次實驗的分析頻段選為 300～700 Hz。

海水泵與管路安裝后，開啟設備。待設備運轉穩(wěn)定后，采集各激勵點與評估點的響應信號，作為工況一。停止采集后，調節(jié)進出口管路壓力，待設備再次穩(wěn)定后，采集響應信號，作為工況二。

2.2 數(shù)據(jù)處理及結果分析

本實驗中，各激勵點處的激勵力是基于隔振器阻抗特性[10]計算得到的。由于本實驗中的頻響函數(shù)數(shù)目較多，且系統(tǒng)可變工況較少，不能準確計算出全部頻響函數(shù)。在不失一般性的前提下，本實驗僅對管路的頻響函數(shù)進行計算和驗證。因此，將錘擊實驗中得到的設備機腳對應的頻響函數(shù)作為已知量，代入式（9）中。將進口管路和出口管路對應的頻響函數(shù)作為未知量，運用第2節(jié)中的三種方法分別進行求解，并與錘擊實驗得到的頻響函數(shù)進行比較，其結果如圖2所示。

圖2 多工況法的計算結果

由圖2可知，兩曲線在分析頻段內趨勢一致，但部分頻率處，方程組的奇異性嚴重，計算值曲線的峰值過大，導致總級誤差偏大，結果不可取。由圖3可知，兩曲線在分析頻段內量級一致，但趨勢吻合較差，結果亦不可取。由圖4可知，兩曲線在分析頻段內趨勢和峰值均吻合較好。在個別頻率處，計算值曲線的峰值偏大，這是由于在該頻率處方程組的奇異性無法消除，導致誤差被放大。經(jīng)計算，多工況分段函數(shù)法的計算值與錘擊實驗的測試值在分析頻段內的總級相差1 dB，滿足工程要求。這表明：由多工況分段函數(shù)法計算得到的頻響函數(shù)具有較高的準確度，運用該方法計算振動系統(tǒng)的頻響函數(shù)是切實可行的。

圖3 分段函數(shù)法的計算結果

圖4 多工況分段函數(shù)法的計算結果

3 結論

運用多工況分段函數(shù)法計算得到的頻響函數(shù)與錘擊實驗得到的頻響函數(shù)，在分析頻段內吻合較好，兩者總級僅相差1 dB，滿足工程要求。由此可知，多工況分段函數(shù)法計算的頻響函數(shù)具有較高的精度。

在振動系統(tǒng)具有足夠多可變工況的情況下，完全可以運用該方法計算所有的頻響函數(shù)，避免測量頻響函數(shù)，實現(xiàn)該系統(tǒng)的工況傳遞路徑分析。多工況分段函數(shù)法為工況傳遞路徑分析提供了重要技術支撐，為工況傳遞路徑分析的推廣應用奠定了理論基礎。