陳 晉, 王德輝

(1. 吉林建筑大學(xué)城建學(xué)院 基礎(chǔ)科學(xué)部, 長春 130114; 2.吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 長春 130012)

目前, 關(guān)于隨機系數(shù)模型的研究已有很多結(jié)果, 例如： NEAR(2)(new exponential autoregressive process of second-order)模型[1], 邊際分布是指數(shù)分布, 可用于建模正值和高偏度的數(shù)據(jù)； 與NEAR(2)模型具有相似結(jié)構(gòu)的NLAR(2)(new Laplace autoregressive process of second-order)模型[2], 可用于建模具有大峰度和長尾特征的數(shù)據(jù). 兩類模型目前均已推廣到了p階. 文獻(xiàn)[3]給出了NLAR(p)模型的參數(shù)估計方法； 文獻(xiàn)[4-5]研究了一階隨機系數(shù)自回歸過程的極限理論和隨機系數(shù)的相依性檢驗問題. Dewald等[6]基于TEAR(2)(the exponential autoregressive process of second-order)模型提出了二元時間序列模型BEAR(1)(bivariate autoregressive time series model in exponential variables)模型, 用于建模復(fù)雜系統(tǒng)中有相關(guān)影響的二元正值序列； 文獻(xiàn)[7]研究了多元隨機系數(shù)自回歸模型中參數(shù)的一類估計問題. 為了建模具有大峰度和長尾特征的相關(guān)二元序列, 本文考慮如下具有Laplace邊際分布的二元自回歸模型:

(1)

1 過程的性質(zhì)

假設(shè){Xt}={(Xt,Yt)′}的觀測值是可取的, 則模型(1)可寫成如下向量形式的隨機系數(shù)模型：

Xt=AtXt-1+Wt,

(2)

(3)

2 參數(shù)的估計

若記vech(G)=N+M,Σ=Σ0+Λ, 其中:N=(2,0,2)′;M=(-2σ11-2σ12,0,-2σ21-2σ22)′=Wvec(σ);

Λ=diag{σ11,σ21,σ12,σ22}, vech(Λ)=Lvec(σ),L=(e1,0,0,0,e2,0,0,e3,0,e4)′,

{ei}(1≤i≤4)為4中的第i個單位向量,0為四元零向量. 則有

vec(σ)+gt,

(4)

(5)

下面給出方程(5)估計量的強相合性和極限分布.

?G+U-1[E(UtΣUt)]U-1),

(6)

3 數(shù)值模擬及實例分析

對于上述模型, 本文通過數(shù)值模擬分析其條件最小二乘估計的性質(zhì)和效果. 考慮下列兩組參數(shù)組合:θ=(α11,α21,α12,α22,β11,β21,β12,β22)=(0.4,0.25,0.5,0.25,0.6,0.5,0.7,0.5),(0.4,0.25,0.5,0.25,-0.6,-0.5,0.7,0.5), 分別記為θ1，θ2. 樣本量的取值分別為n=200,500,1 000,10 000, 重復(fù)模擬100次. 表1列出了兩組參數(shù)下模型的條件最小二乘估計結(jié)果. 當(dāng)樣本量為n=200,500,1 000時, 參數(shù)θ的估計值易超出允許的范圍, 本文對該類估計做了修正. 由表1可見, 隨著樣本量的增大, 均方誤差(MSE)不斷減小, 表明條件最小二乘估計是相合的、 無偏的, 且在大樣本情形, 所有參數(shù)估計都有一致好的趨勢.

下面考慮2017-10-11--2018-08-30每天中國聯(lián)通股票的收盤價, 原始數(shù)據(jù)記為Xt(t=1,2,…,215). 用日回報率Zt=100(ln(Xt-lnXt-1))分析{Xt}, {Zt}可用Laplace分布擬合. 用模型(2)和文獻(xiàn)[11]中簡化的新Laplace AR(1)模型擬合序列Zt(t=1,2,…,215), 考慮中國移動股票的收盤價對中國聯(lián)通股票收盤價的影響. 采用均方根

表1 不同樣本量下數(shù)值模擬的參數(shù)估計Table 1 Parameter estimation of numerical simulation under different sample sizes