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(上海理工大學(xué) 理學(xué)院,上海 200093)

1 問題的提出

近年來,分?jǐn)?shù)階微分方程在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域的應(yīng)用日益廣泛,其理論研究也取得了巨大的進(jìn)展[1-8].作為刻畫突變現(xiàn)象的脈沖微分方程在電子技術(shù)及通訊工程等方面發(fā)揮了巨大的作用,瞬時脈沖理論也受到人們的關(guān)注[9-13].在生物技術(shù)及醫(yī)藥工程領(lǐng)域存在著大量的非瞬時脈沖現(xiàn)象[14-20],對這類現(xiàn)象進(jìn)行研究具有重要意義.本文研究一類具有非瞬時脈沖的分?jǐn)?shù)階微分方程積分邊值問題

(1)

定義空間:PC(J,):={u:J→存在,且取范數(shù)‖u‖PC=則PC(J,)為Banach空間.

H0g∈L1(J),且ρ≠0.

2 預(yù)備知識與引理

有關(guān)分?jǐn)?shù)階微積分的定義可參見文獻(xiàn)[1-4].

定義1設(shè)u∈PC(J,),若u滿足邊值問題(1)中的各等式,則稱u是邊值問題(1)的一個解.

引理1[4]假設(shè)y∈L[0,1],且1<α<2,那么,Cauchy問題

(2)

有解,且以下列形式給出:

推論1假設(shè)y∈L[0,1],且1<α<2,那么,Cauchy問題

(3)

存在唯一解

引理2對任意的y∈L1[0,1],且H0成立,則邊值問題

(4)

存在唯一解

u(t) =v(t)+G(t)

(5)

其中

(6)

(7)

(8)

根據(jù)邊界條件u(0)=0,可得c0=0,故

(9)

考慮 Cauchy問題

(10)

類似地,當(dāng)t∈(sk,tk+1],k=1,2,…,m時,

因此,

另一方面,

將上式代入式(9),可得式(5)成立,即引理2得證.

經(jīng)過化簡與計算,易得下面的引理3和引理4.

引理3對任意的s∈J,有以下不等式成立:

為了方便起見,記

根據(jù)式(7),容易證明引理4成立.

引理4對任意的t∈J,不等式|G(t)|≤N2成立.

定義算子A:PC(J,)→PC(J,).

(11)

記

Tu(t) =Au(t)+G(t)

(12)

引理5若假設(shè)H0成立,則算子T:PC(J,)→PC(J,)全連續(xù).

證明首先,證明T為連續(xù)算子.

設(shè)un,u∈PC(J,),n=1,2,…, 且‖un-u‖PC→0(n→), 即對任意的t∈J,有un(t)→u(t)(n→),由于f是連續(xù)函數(shù),則|f(s,un(s))-f(s,u(s))|→0,n→.

故根據(jù)Lebesgue控制收斂定理,可得

因此,當(dāng)t∈[0,t1]時,結(jié)合引理3的a,可得

當(dāng)t∈(tk,sk],k=1,2,…,m時,|Tun(t)-Tu(t)|=0.

類似可得,當(dāng)t∈(sk,tk+1],k=1,2,…,m時,

即有‖Tun-Tu‖PC→0(n→), 因此,T連續(xù).

其次,證明T是緊的.

設(shè)B?PC(J,)為有界集,則存在r>0,使得對任意的u∈B,有‖u‖PC≤r,記則當(dāng)t∈[0,t1]時,結(jié)合引理3的a與引理4,可得

當(dāng)t∈(tk,sk],k=1,2,…,m時,|Tu(t)|=|hk(t)|≤Mh.

當(dāng)t∈(sk,tk+1],k=1,2,…,m時,

因此,T(B)一致有界.

即T(B)等度連續(xù).由Arzela-Ascoli定理可知T是緊的.

綜合以上討論,T是全連續(xù)算子.

3 邊值問題解的存在性與唯一性

假設(shè):

H1 存在非負(fù)函數(shù)a0,a1∈C[0,1], 常數(shù)σ>0, 使得對任意的t∈J及任意的x∈,有

H2 存在非負(fù)函數(shù)R∈C[0,1],使得對任意的t∈J及任意的x,y∈,有

|f(t,x)-f(t,y)|≤R(t)|x-y|

記‖a0‖‖R‖

定理1假設(shè)H0,H1成立,且0<σ<1, 則邊值問題(1)至少存在1個解.

證明取r1≥max{Mh,2(N0‖a0‖

令D={u∈PC:‖u‖PC≤r1},則D為PC(J,)中非空有界閉凸集.

對任意的u∈D,當(dāng)t∈[0,t1]時,結(jié)合引理3的b、引理4以及1<α<2,可得

當(dāng)t∈(tk,sk],k=1,2,…,m時,|Tu(t)|=|hk(t)|≤Mh≤r1.

當(dāng)t∈(sk,tk+1],k=1,2,…,m時,

因此,‖T‖PC≤r1, 故T(D)?D.由引理5可知T全連續(xù),故由Schauder不動點定理可知T在D中至少存在1個不動點,即邊值問題(1)在PC(J,)中至少存在1個解.

定理2假設(shè)H0,H1成立,如果σ=1,且0

當(dāng)t∈(tk,sk],k=1,2,…,m時,|Tu(t)|=|hk(t)|≤Mh≤r2.

當(dāng)t∈(sk,tk+1],k=1,2,…,m時,

|Tu(t)|≤|Au(t)|+|G(t)|≤

N1‖a0‖+N2+r2N1‖a1‖≤r2

因此,‖T‖PC≤r2, 故T(D)?D.由引理5可知T全連續(xù),故由Schauder不動點定理可知T在D中至少存在1個不動點,即邊值問題(1)在PC(J,)中至少存在1個解.

定理3假設(shè)H0,H2成立,如果0

證明對任意的u1,u2∈PC(J,),當(dāng)t∈[0,t1]時,

當(dāng)t∈(tk,sk],k=1,2,…,m時,|Tu2(t)-Tu1(t)|=0.

當(dāng)t∈(sk,tk+1],k=1,2,…,m時,

因為,0

4 例 子

考慮邊值問題

(13)

綜上可知定理1的所有條件均滿足,根據(jù)定理1可知邊值問題(13)至少存在1個解.

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