陳英

由于我校是九年一貫制學(xué)校，所以有更多機(jī)會(huì)與初中數(shù)學(xué)教師進(jìn)行溝通交流。不止一次地聽到初中老師反饋，很多剛剛步入初中的學(xué)生難以適應(yīng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，其中最難的是從算術(shù)方法到代數(shù)方法的轉(zhuǎn)變。學(xué)生沒有代數(shù)的意識(shí)，不喜歡也不會(huì)用方程解決問題，他們寧愿選擇比較困難的算術(shù)法也不去選擇簡易的方程來解開題目。初中老師認(rèn)為是小學(xué)老師太過于強(qiáng)化算術(shù)方法，以至于到了初中后，要費(fèi)很大力氣才能“掰回來”。小學(xué)老師則認(rèn)為把四則運(yùn)算的學(xué)習(xí)夯實(shí)一些沒有什么不好。學(xué)生不用方程解題是因?yàn)椤霸O(shè)——列——解——答”的步驟太繁瑣，要不是有些題目要求必須用方程解決，就都用算術(shù)方法，多簡單??！等以后遇到難題了，學(xué)生自然就會(huì)選擇用方程解題了。

事實(shí)上，小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是義務(wù)教育階段中一脈相承的兩個(gè)學(xué)習(xí)階段，小學(xué)數(shù)學(xué)是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，初中數(shù)學(xué)又是小學(xué)數(shù)學(xué)的延續(xù)和擴(kuò)展。學(xué)生從小學(xué)升入初中要經(jīng)歷知識(shí)的由淺到深，思維由具體直觀逐步抽象概括的過程。從算術(shù)思維到代數(shù)思維的過渡無疑是其中最重要的，也是比較困難的方面。

一、從算術(shù)到代數(shù)，如此之難

針對(duì)以上情況，小學(xué)數(shù)學(xué)老師需要反思：學(xué)生為什么不愿意用方程解決問題？僅僅是因?yàn)橛梅匠探鉀Q問題的步驟繁瑣嗎？還是另有原因？還有，等到除了方程“別無選擇”時(shí)“被迫”接受，真的為時(shí)不晚？

我們先來看看《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求，第二學(xué)段“式與方程”的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)是：1.具體情境中能用字母表示數(shù)。2.結(jié)合簡單的實(shí)際情境，了解等量關(guān)系，并能用字母表示。3.能用方程表示簡單情境中的等量關(guān)系（如3χ+2=5，2χ-χ=3），了解方程的作用。4.了解等式的性質(zhì)，能用等式的性質(zhì)解簡單的方程。

接下來，再來看教材中的編排：

北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材“式與方程”內(nèi)容分兩部分編排，具體安排如下表：

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材“式與方程”內(nèi)容安排在五年級(jí)上冊(cè)第五單元“簡易方程”，具體內(nèi)容如下表：

可以看出，教材還是很努力地落實(shí)“課標(biāo)”的要求，循序漸進(jìn)地滲透代數(shù)思想，培養(yǎng)學(xué)生用字母表示數(shù)、用方程解決問題的能力。

既然“課標(biāo)”和教材都沒有問題，問題一定是出在了教師的把握和執(zhí)行上。我們對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教師做了一次調(diào)查：你認(rèn)為小學(xué)生在用方程解決問題時(shí)遇到的最大困難是什么？79.5%的老師認(rèn)為困難是“找不到題目中的等量關(guān)系，不能正確列出方程”。85.3%的學(xué)生也存在同樣困擾。

大慶市小學(xué)數(shù)學(xué)名師工作室全體成員從這個(gè)研究背景和現(xiàn)狀出發(fā)，申請(qǐng)了全國新世紀(jì)研究課題“小學(xué)生等量關(guān)系學(xué)習(xí)路徑的研究”。通過研究，我們發(fā)現(xiàn)小學(xué)生對(duì)于等量關(guān)系的學(xué)習(xí)，不是一節(jié)課就能全部完成的，學(xué)生對(duì)“等量關(guān)系”這一問題的建模需要有一個(gè)不斷滲透、循序漸進(jìn)、由淺入深，逐步積累形成的過程。而且，等量關(guān)系作為數(shù)量關(guān)系之中重要的一種，決不能等到學(xué)習(xí)“方程”之時(shí)才去強(qiáng)調(diào)，而應(yīng)在低年級(jí)學(xué)習(xí)中重視數(shù)量關(guān)系，有意識(shí)地培養(yǎng)關(guān)系性思維，并適時(shí)進(jìn)行有效指導(dǎo)，發(fā)展關(guān)系性思維，為學(xué)生從算術(shù)思維向代數(shù)思維順利過渡做好準(zhǔn)備。

二、從算術(shù)到代數(shù)，如此，不難

那么，在小學(xué)階段應(yīng)該如何發(fā)展學(xué)生的關(guān)系性思維呢？接下來，筆者將結(jié)合工作室團(tuán)隊(duì)的實(shí)踐研究與大家進(jìn)行分享。

1.調(diào)動(dòng)已有生活經(jīng)驗(yàn)，感受數(shù)量關(guān)系。

研究表明，兩歲或三歲的幼兒就已經(jīng)表現(xiàn)出一定的數(shù)感，也許他們還不知道用數(shù)字來描述物體集合，但是他們能分清有兩個(gè)或三個(gè)物體的集合（Gelman &Gallistel;，1978）。這也說明，幼兒很小時(shí)就對(duì)生活中的數(shù)量有了一定的感知。例如，他們對(duì)物體的多少（如圖1-1）、身體的高矮、物品的長短、書本的厚薄、年齡的大小，都有自己的感受。

教師要善于調(diào)動(dòng)學(xué)生的已有生活經(jīng)驗(yàn)，在感知數(shù)量大小的同時(shí)感受數(shù)量之間的關(guān)系。學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，通過看圖或是實(shí)際情境模擬，能夠發(fā)現(xiàn)數(shù)量間的關(guān)系：紅色的繩子比綠色的繩子長（如圖1-2）；老虎比豹子重，獅子比老虎重，所以獅子最重，豹子最輕（如圖1-3）。

小學(xué)生經(jīng)常玩的猜數(shù)游戲也能幫助他們感受數(shù)量關(guān)系（如圖1-4）?！耙恢皇掷镉?個(gè)棋子，另一只手里有2個(gè)棋子，兩只手合起來有多少個(gè)棋子？”“兩只手里一共有6個(gè)棋子，一只手里有3個(gè)棋子，另一只手里有幾個(gè)棋子？”在這個(gè)游戲中，學(xué)生會(huì)感受到其中存在的數(shù)量關(guān)系，即“兩只手里的棋子數(shù)合在一塊兒就等于兩只手里的棋子總數(shù)”。感受到這個(gè)數(shù)量關(guān)系，學(xué)生往往不需要利用加減法計(jì)算，也能夠“看得出”答案的。

2.實(shí)物操作具體直觀，發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系。

實(shí)物直觀，即實(shí)物層面的幾何直觀，是指以生活中實(shí)際存在物作為參照物，借助其與研究對(duì)象之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行簡捷、形象的思考，獲得判斷的一種能力。學(xué)生可以利用實(shí)物操作，具體直觀地感知數(shù)量之間的關(guān)系。例如，在一年級(jí)上冊(cè)認(rèn)識(shí)1-10以內(nèi)的數(shù)時(shí)（如圖2-1），讓學(xué)生邊邊撥邊數(shù)，這樣，就將這些相互獨(dú)立的數(shù)字之間的關(guān)系建立起來。

在10以內(nèi)數(shù)的比較大小中（如圖2-2），可以利用實(shí)物圖片擺一擺，數(shù)一數(shù)，感受一一對(duì)應(yīng)，感悟數(shù)量的多少。學(xué)生通過實(shí)物或者圖片等替代物操作，知道6只小松鼠與6個(gè)盤子一樣多，6只小松鼠比5個(gè)勺子多，比7個(gè)杯子少。而且學(xué)生知道能夠“一一對(duì)應(yīng)”的就說明兩個(gè)物體是一樣多的。這也為后續(xù)學(xué)生認(rèn)識(shí)相等關(guān)系即等量關(guān)系做好了準(zhǔn)備。

3.抓住關(guān)鍵信息詞句，理清數(shù)量關(guān)系。

學(xué)生對(duì)于信息較多的問題，往往找不出其中的數(shù)量關(guān)系。這時(shí)，教師要適時(shí)指導(dǎo)，教給方法，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)梳理信息間的數(shù)量關(guān)系。

例如，在下圖中（如圖3-1），先讓學(xué)生說一說圖中的數(shù)學(xué)信息，然后提出問題：兩隊(duì)都上船后，船上還有多少個(gè)空座位？教師要引導(dǎo)學(xué)生抓住關(guān)鍵詞思考：“可乘90人”是什么意思？兩隊(duì)都上船后，“還有空座位”說明什么？學(xué)生繼續(xù)思考，這條船上一共90個(gè)座位與這兩隊(duì)人數(shù)以及空座位之間有什么關(guān)系？學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，兩隊(duì)人數(shù)合起來，再加上空座位的數(shù)量，應(yīng)該正好等于船上的座位總數(shù)。

一般情況下，“一共”“還剩”等關(guān)鍵詞的確能幫助學(xué)生快速確定運(yùn)算方法，但是如果沒有準(zhǔn)確把握題目中數(shù)量關(guān)系，就會(huì)適得其反。例如，學(xué)習(xí)五年級(jí)下冊(cè)《分?jǐn)?shù)乘法》，遇到下圖中的題目時(shí)（如圖3-2），學(xué)生出錯(cuò)率特別高。女生植了20棵樹，男生植樹棵數(shù)比女生多■，男生比女生植樹多多少棵？這其中存在著兩個(gè)等量關(guān)系：女生植樹棵數(shù)+男生比女生多植的棵數(shù)=男生植樹棵數(shù)；女生植樹棵數(shù)×男生比女生多植的倍數(shù)=男生比女生多植的棵數(shù)。很多學(xué)生看到了“比……多”，就認(rèn)為肯定要用加法，于是，用兩步運(yùn)算求出了男生植樹的棵樹。

因此，教師要及時(shí)向?qū)W生表明，在一個(gè)問題情境中，可能存在著多組數(shù)量關(guān)系，尋找到已知的信息與要求的問題之間的數(shù)量關(guān)系，并把數(shù)量關(guān)系理清了，問題也就迎刃而解了。

4.嘗試運(yùn)用多種表征，描述數(shù)量關(guān)系。

把題目中的數(shù)量關(guān)系理清并描述和表示出來，也非常重要。學(xué)生描述數(shù)量關(guān)系時(shí)，可以用語言表達(dá)，也可以用圖示表達(dá)，還可以用文字式或算式來表示。其中，直觀的畫圖無疑是非常有效的方法。

例如，六年級(jí)上冊(cè)的“分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算（一）”（如圖4-1），在“興趣小組”情境中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)3個(gè)數(shù)學(xué)信息，并提出問題“航模小組有多少人”。教材沒有急于讓學(xué)生列式解決問題，而是讓學(xué)生先獨(dú)立思考“航模小組的人數(shù)與什么有關(guān)呢”，接著學(xué)生嘗試畫圖表示航模小組與氣象小組、攝影小組之間的人數(shù)關(guān)系，最后才是列式解決問題。

布魯納認(rèn)為，在人類智慧生長期間，經(jīng)歷了三種表征系統(tǒng)的階段。分別是動(dòng)作表征、圖像表征和符號(hào)表征。在低年級(jí)表示數(shù)量關(guān)系時(shí)，應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生用自己的方式表示，并在合作交流中嘗試讀懂他人的想法，逐步實(shí)現(xiàn)從動(dòng)作表征到圖像表征再到符號(hào)表征的抽象提升。

在描述數(shù)量關(guān)系時(shí)，仍然是要關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，不要太在意學(xué)生描述數(shù)量關(guān)系的方式，而是要關(guān)注學(xué)生是否已經(jīng)找到題目中數(shù)量關(guān)系，能通過自己的方式表達(dá)出來，并根據(jù)數(shù)量關(guān)系解決問題。

例如，在一年級(jí)下冊(cè)《開會(huì)啦（比較意義下的減法）》課上（如圖4-2），個(gè)別學(xué)生列式7+4=11，已經(jīng)有7把椅子，再添上4把椅子，11把椅子正好夠坐，所以還缺4把椅子；也有學(xué)生列式11-4=7，11個(gè)人中去掉4個(gè)人，就正好夠坐了，說明還缺4把椅子。

這幾名同學(xué)都能夠讀懂題目信息，找清題目中的數(shù)量關(guān)系：現(xiàn)在有的椅子數(shù)量+還缺的椅子數(shù)量=總?cè)藬?shù)，并根據(jù)這個(gè)數(shù)量關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，正確解決了問題。所以，我們應(yīng)該允許學(xué)生用自己的方式表達(dá)，不能強(qiáng)迫學(xué)生必須列式為11-7=4。另外，列式為7+4=11的學(xué)生，他們已經(jīng)有了方程的萌芽。已經(jīng)有7把椅子，再添上幾把椅子，就正好是11把椅子了？7+（）=11，只不過因?yàn)閿?shù)目比較小，可以直接想出結(jié)果罷了。

這樣，教師不強(qiáng)迫學(xué)生統(tǒng)一為“規(guī)范”的減法算式，生硬地將這一點(diǎn)代數(shù)思維扼殺在萌芽狀態(tài)，學(xué)生就不會(huì)到了高年級(jí)都“一刀切”地在只會(huì)“逆向”算術(shù)，不會(huì)“順向”方程。

5.綜合運(yùn)用解決問題，豐富數(shù)量關(guān)系。

在學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系有了充分的認(rèn)識(shí)，并能借助四則運(yùn)算解決一些實(shí)際問題后，開始學(xué)習(xí)字母表示數(shù)和認(rèn)識(shí)方程，并嘗試用方程解決實(shí)際問題。在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，教師要繼續(xù)在解決問題中發(fā)展學(xué)生的關(guān)系性思維。

例如，在學(xué)習(xí)了“平行四邊形的面積”后，如何根據(jù)給出的平行四邊形的面積和高計(jì)算圖形的底呢（如圖5-1）？要先找到題目中的等量關(guān)系，即計(jì)算公式“平行四邊形的面積=底×高”。由于同一個(gè)等量關(guān)系可以有不同的表達(dá)方式，也考慮到除法是乘法的逆運(yùn)算，推出“底=平行四邊形的面積÷高”。根據(jù)這個(gè)關(guān)系，學(xué)生可以用除法解決問題。學(xué)生也可以用字母表示平行四邊形的底，直接根據(jù)計(jì)算公式列出方程來解決。

在一些不適合學(xué)生逆向思維的問題情境中，我們不建議學(xué)生用算術(shù)法來解決。例如：在“分?jǐn)?shù)除法（三）”一課中（如圖5-2），根據(jù)題目中的信息，學(xué)生借助畫圖理解題意并尋找到等量關(guān)系是“參加活動(dòng)總?cè)藬?shù)×■=跳繩人數(shù)”。我們鼓勵(lì)學(xué)生順向思維，根據(jù)等量關(guān)系用方程解答。

我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的感覺和經(jīng)驗(yàn)越來越豐富，就能更容易理清數(shù)量關(guān)系，解題也就越容易，也就越發(fā)地接近數(shù)學(xué)本質(zhì)。這也是“課標(biāo)”中只明確提出了小學(xué)需要學(xué)習(xí)的兩個(gè)常見的數(shù)量關(guān)系“總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量”“路程=速度×?xí)r間”的原因。

例如，“相遇問題”中（如圖5-3），數(shù)量關(guān)系是一致的：淘氣步行的路程+笑笑步行的路程=淘氣家到笑笑家的路程。還有一個(gè)數(shù)量關(guān)系，也是小學(xué)階段重要的數(shù)學(xué)模型：路程=速度×?xí)r間。根據(jù)題目中的信息及數(shù)量關(guān)系，學(xué)生很容易列出方程。這其中，學(xué)生不用再去記憶“速度和×相遇時(shí)間=路程”“路程÷速度和=相遇時(shí)間”等這些所謂的公式了。

事實(shí)上，算術(shù)法解題與用方程解題這兩種方法，我們不用太過于糾結(jié)它們的區(qū)別，更不應(yīng)該一廂情愿地提醒學(xué)生去選擇。我們完全可以從聯(lián)系的視角出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系是一樣的，只是選擇了不同的形式解題而已。當(dāng)學(xué)生體會(huì)列方程解決問題是對(duì)算術(shù)法解決問題的延伸后，從算術(shù)到代數(shù)之間的也就不存在什么“不可逾越的鴻溝”了。

縱觀數(shù)學(xué)課程內(nèi)容體系，可以說，有“數(shù)量”的情境就存在著“數(shù)量關(guān)系”，就需要理清“數(shù)量關(guān)系”。正是在解決這些問題的過程中，學(xué)生豐富著對(duì)數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識(shí)，積累著尋找和理清數(shù)量關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)，逐步建立和發(fā)展著關(guān)系性思維，從算術(shù)到代數(shù)順利過渡，最終實(shí)現(xiàn)“學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維分析世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”，使發(fā)展小學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成為現(xiàn)實(shí)。

（作者單位：大慶市萬寶學(xué)校）

編輯/魏繼軍