暢柳 王寧 時(shí)爽爽

摘要： 對(duì)中值濾波、模式濾波、盒式濾波、余弦濾波與高斯濾波5種空間域?yàn)V波方法的原理及特點(diǎn)進(jìn)行分析，并對(duì)其進(jìn)行實(shí)驗(yàn)?zāi)M，基于模擬試驗(yàn)結(jié)果選取高斯濾波應(yīng)用于大華北地區(qū)地殼垂直形變數(shù)據(jù)優(yōu)化處理中。結(jié)果表明中值濾波適用于背景比較平緩的曲面；模式濾波受突跳空間影響范圍最大；盒式濾波對(duì)于削弱突跳幅值和突跳空間影響范圍效果居中；余弦濾波和高斯濾波的濾波效果接近，但高斯濾波能更好地控制突跳對(duì)濾波的影響范圍。將空間域?yàn)V波方法應(yīng)用于形變分析數(shù)據(jù)處理中時(shí)，濾波窗口寬度建議選取為削弱目標(biāo)長(zhǎng)半徑的2倍。

關(guān)鍵詞：中值濾波；模式濾波；盒式濾波；余弦濾波；高斯濾波；形變分析

中圖分類號(hào)：P315.725 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1000-0666（2018）03-0464-08

0 引言

空間域?yàn)V波是一種采用濾波處理的影像增強(qiáng)方法，其理論基礎(chǔ)是空間卷積和空間相關(guān)。目的是改善影像質(zhì)量，包括去除高頻噪聲與干擾、影像邊緣增強(qiáng)、線性增強(qiáng)以及去模糊等（鄭麗娜等，2012）。采用空間域?yàn)V波進(jìn)行空間信息的殘差分離，旨在從觀測(cè)值中提取出感興趣的部分（Kim，Wessel，2013）。如在重力位勢(shì)研究中，需要去除深層結(jié)構(gòu)造成的長(zhǎng)波長(zhǎng)效應(yīng)，因?yàn)槠溲谏w了短波長(zhǎng)特征（郭志宏等，2003；龔正，許才軍，2016；Hillier，Watts，2005）；而海洋測(cè)深數(shù)據(jù)的研究方面，在對(duì)海洋地殼沉降進(jìn)行建模時(shí)需要區(qū)域測(cè)深不受小規(guī)模特征的影響（Hillier，Watts，2005）。在區(qū)域形變分析時(shí)，根據(jù)實(shí)際的需求有時(shí)也需要將長(zhǎng)波長(zhǎng)與短波長(zhǎng)的信息進(jìn)行分離（楊國(guó)華等，2001）。大量的實(shí)際計(jì)算發(fā)現(xiàn)利用平滑濾波擬合法能夠較好地突出地殼垂直運(yùn)動(dòng)信息，消弱地表層的噪聲擾動(dòng)（楊國(guó)華等，2001；楊博等，2011）。

在傳統(tǒng)的區(qū)域水準(zhǔn)結(jié)果分析中，通常采用剔除異常點(diǎn)、增大繪圖時(shí)重采樣間隔等方法，削弱由于觀測(cè)點(diǎn)不穩(wěn)定等因素造成的局部噪聲。剔除異常點(diǎn)時(shí)，異常點(diǎn)的判斷與人的經(jīng)驗(yàn)相關(guān)性較大，常常會(huì)出現(xiàn)同一套原始數(shù)據(jù)不同人處理結(jié)果不同的情況，增大繪圖時(shí)重采樣間隔本質(zhì)上稀釋了原始數(shù)據(jù)也存在一定的缺陷。本文基于對(duì)中值濾波、模式濾波、盒式濾波、余弦濾波以及高斯濾波的模擬實(shí)驗(yàn)，分析不同濾波的特點(diǎn)，選取較為合適的空間域?yàn)V波，將其應(yīng)用在1990—2010年大華北地區(qū)的區(qū)域水準(zhǔn)得到的垂直形變速率的處理中。

1 幾種空間域?yàn)V波方法原理

圖像處理中經(jīng)典的濾波模型主要有中值濾波、模式濾波、盒式濾波、余弦濾波以及高斯濾波等，這幾種濾波的原理和特征如下所述。

中值濾波與模式濾波屬于非卷積濾波。這2種濾波方法的原理差別主要體現(xiàn)在窗口中心點(diǎn)的選取，中值濾波是在濾波窗口的輸入信息中提取出中位值作為該窗口中心點(diǎn)的濾波值；而模式濾波主要提取最大似然值作為該窗口中心點(diǎn)的濾波值。盒式濾波、余弦濾波和高斯濾波都屬于卷積濾波，濾波后的值與濾波窗口內(nèi)的每一個(gè)值都存在直接關(guān)系，而其權(quán)重取值不同決定了這幾種濾波的差異。

盒式濾波的權(quán)重為單位權(quán)重，與被濾波點(diǎn)與濾波中心點(diǎn)的距離無關(guān)，相當(dāng)于濾波窗口內(nèi)的值取平均。對(duì)于余弦濾波，當(dāng)被濾波點(diǎn)到濾波中心點(diǎn)的距離為0時(shí)，權(quán)重為1，隨著濾波器中點(diǎn)到濾波中心點(diǎn)的距離增加，權(quán)重降低，直至濾波器中點(diǎn)到濾波中心點(diǎn)的距離等于濾波窗口寬度時(shí)權(quán)重為0。對(duì)于高斯濾波器，當(dāng)被濾波點(diǎn)到濾波中心點(diǎn)的距離為0時(shí)，權(quán)重為1，隨著濾波器中點(diǎn)到濾波中心點(diǎn)的距離增加，權(quán)重快速降低，直至濾波器中點(diǎn)到濾波中心點(diǎn)的距等于濾波窗口寬度時(shí)權(quán)重為0。高斯濾波比余弦濾波權(quán)重降低更快，在濾波器中點(diǎn)到濾波中心點(diǎn)的距離等于濾波窗口寬度的0.5倍左右時(shí)權(quán)重已經(jīng)接近于0。

2 模擬實(shí)驗(yàn)

為了比較不同空間域?yàn)V波方法的濾波效果，模擬一個(gè)無量綱的帶有突跳的平面，突跳的半徑為3，參考Kim和Wessel（2013）的做法，將濾波寬度設(shè)置為目標(biāo)半徑的2倍，也就是6。模擬的原始面如圖2a所示，假設(shè)我們的目標(biāo)是要將這一突跳在大背景中消除，如圖2b所示，不同濾波方法的結(jié)果如圖2c～i所示。

中值濾波和模式濾波都可將突跳剔除，為了比較這2種濾波方法的濾波效果，分別采用長(zhǎng)度為6和3的濾波窗口寬度進(jìn)行模擬試驗(yàn)（圖2c～f）。對(duì)于平面上的突跳，濾波窗口寬度選取合適，中值濾波與模式濾波都可以較好地剔除突跳（圖2c，e）；如果濾波窗口寬度選取較?。▓D2d，f），中值濾波對(duì)突跳的削弱效果優(yōu)于模式濾波。

3種卷積濾波中，盒式濾波由于是求取濾波窗口的平均值，濾波后突跳的峰值降低明顯（圖3e），但是其影響范圍也明顯擴(kuò)大；余弦函數(shù)濾波與高斯濾波相比，濾波效果差異不大（圖3h，i），但高斯濾波權(quán)重隨距離收斂的更快。濾波函數(shù)模型和模型測(cè)試結(jié)果顯示平面上的突跳對(duì)高斯濾波的影響范圍比余弦函數(shù)濾波小。

在實(shí)際的速率面中，平面帶突跳的情況是較少的，大多數(shù)情況下都是在緩和的曲面上有一些突跳。因此，我們模擬一個(gè)帶有突跳的斜面，

突跳半徑為3，同樣將濾波寬度設(shè)置為目標(biāo)半徑的2倍，也就是6，不同濾波方法的濾波結(jié)果如圖3所示。

從圖3c～g中可以看出，高斯濾波和余弦函數(shù)濾波結(jié)果相近，從濾波原理也可以看出它們的加權(quán)方法都是離濾波中心越近權(quán)重值越大，只是權(quán)函數(shù)有所不同。如果在要保留濾波對(duì)象的特征的前提下進(jìn)行濾波，這2種方法更合適，且二者差異不明顯，從權(quán)值函數(shù)的函數(shù)特性上，高斯函數(shù)收斂更快，更能突出濾波對(duì)象的特征。

中值濾波器和模式濾波器在平面中有突跳的情況下濾波效果非常好，可以消除突跳，但是模式濾波在斜面有突跳的情況下對(duì)背景信息（斜面）影響比較大。因此除非有特殊需求，不建議使用模式濾波。盒式濾波器在平面有突跳的情況下在削弱突跳方面較高斯濾波和余弦濾波器效果好，但是對(duì)背景信息有一定范圍的影響。

通過上述的試驗(yàn)認(rèn)為，對(duì)于要剔除或削弱突跳信息，且要盡量少地對(duì)背景信息造成影響的需求下，在比較平緩的背景曲面上建議采用中值濾波，在背景曲面起伏波動(dòng)較大的情況建議采用卷積濾波，且優(yōu)先考慮高斯濾波。在實(shí)際的應(yīng)用中，應(yīng)該根據(jù)具體的需求選擇合適的濾波器和濾波窗口寬度，也可以多種濾波器配合使用。

3 空間域?yàn)V波在垂直形變中的應(yīng)用

為了討論采用模擬數(shù)據(jù)分析優(yōu)選的濾波方法在實(shí)際形變數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用效果，收集大華北地區(qū)1990年前后和2010年前后2期的水準(zhǔn)資料，采用分段動(dòng)態(tài)線性速率模型計(jì)算垂直運(yùn)動(dòng)速率（田曉等，2018）（圖4，5中簡(jiǎn)記為1990—2010年），選取玉淵潭原點(diǎn)為起算點(diǎn)，得到相對(duì)速率場(chǎng)（楊國(guó)華等，2001；郭寶震等，2017；孫啟凱等，2017；蘇建鋒，薄萬舉，2016）。2期的原始速率矢量如圖4a所示，數(shù)據(jù)的公共測(cè)點(diǎn)為300個(gè)，公共測(cè)點(diǎn)平均間距約為8.7 km，選取略小于其間距0.05°（約5.5 km）的數(shù)據(jù)插值間隔進(jìn)行格網(wǎng)重采樣，繪制等值線，如圖4b所示。圖4b中等值線結(jié)果中仍然有一些小的或正或負(fù)的突跳（等值線中的小圓圈）。等值線圖像上反映的目標(biāo)突跳長(zhǎng)半徑最大約為0.25°，因此濾波窗口設(shè)定為0.5°，并選用高斯濾波器進(jìn)行濾波，結(jié)果如圖4c所示。

從圖4c中可以看出，濾波窗口為0.5°的高斯濾波很好地保留了原始的背景運(yùn)動(dòng)信息，剔除了大部分的突跳信息。為了對(duì)比不同濾波窗口寬度的濾波效果，再選取濾波窗口寬度分別為1.5°，2.0°，3.0°的濾波窗口進(jìn)行高斯濾波，結(jié)果如圖5所示。

從圖5中可以看出，小于0.5倍濾波窗口寬度的信息幾乎都被削弱或消除，濾波窗口寬度越大，剔除掉的信息越多。濾波窗口寬度為1.5°和2.0°的高斯濾波后，寶坻沉降區(qū)和呼和浩特沉降區(qū)已無法辨識(shí)，包頭、大同、太原、北京沉降區(qū)還能辨識(shí)但是幅度明顯降低。以2.0°濾波窗口寬度濾波后的沉降幅度更小。經(jīng)過 3.0°濾波窗口寬度的高斯濾波后，小尺度的形變信息幾乎都被剔除，可以明顯看到該區(qū)域東南降西北升的大尺度形變信息。

水準(zhǔn)資料在地震預(yù)測(cè)的應(yīng)用中，區(qū)域隆升可能具有更強(qiáng)的預(yù)測(cè)意義，且區(qū)域隆升受觀測(cè)環(huán)境影響的可能性較小。因此，在濾波過程中，應(yīng)當(dāng)考慮濾波的方向性，以完整保留區(qū)域隆升的信號(hào)。對(duì)上述濾波方法及濾波窗口寬度進(jìn)行比較，選取濾波窗口寬度為0.5°的高斯濾波，進(jìn)行優(yōu)化：原始數(shù)據(jù)中的正值區(qū)域不進(jìn)行濾波，僅對(duì)負(fù)值區(qū)域進(jìn)行濾波，結(jié)果如圖6所示。對(duì)比圖6與圖4b可以看出，優(yōu)化后的方法完整保留了原始數(shù)據(jù)的正值區(qū)域的形變信息，負(fù)值區(qū)域的沉降區(qū)的大部分突跳信息也得以剔除或削弱。

4 結(jié)論

本文對(duì)2種非卷積濾波、3種卷積濾波方法進(jìn)行了對(duì)比分析及模擬實(shí)驗(yàn)，并將其應(yīng)用于于大華北地區(qū)地殼垂直形變數(shù)據(jù)優(yōu)化處理中。研究結(jié)果表明中值濾波在帶突跳的平面中能較好的消除突跳，但在帶突跳的斜面受突跳的影響范圍較大，因此適用于背景運(yùn)動(dòng)較為平緩的區(qū)域；模式濾波受突跳影響范圍最大，除非有特殊需求一般不建議使用；盒式濾波在削弱突跳幅值方面弱于2種非卷積濾波，在卷積濾波中效果最好，但其受突跳影響空間范圍較大；余弦濾波和高斯濾波在削弱突跳幅值方面較弱，但是可以較好地兼顧削弱突跳的影響和保持背景信息，高斯濾波權(quán)函數(shù)的特性決定了其能更好的控制突跳對(duì)濾波的影響范圍。

通過不同尺度的空間域?yàn)V波可以得到不同尺度的形變信息。小尺度濾波可以濾掉一些空間小突跳，大尺度濾波可以得到研究區(qū)域的背景運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行格網(wǎng)點(diǎn)加減運(yùn)算還可以得到扣除背景運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)之后的細(xì)部相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。該方法的應(yīng)用需要對(duì)不同空間、不同尺度的研究對(duì)象進(jìn)行探索，本文目前僅提出了該方法應(yīng)用的可能性，后續(xù)還需要進(jìn)行更細(xì)致的研究。

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Abstract In this paper，principle and characteristics of five filter type which is the Median Filter，Mode estimator Filter，Boxcar Filter，Cosine Arch Filter and Gaussian Filter are studied，and selected a suitable method in north China vertical deformation analysis.The results show that the Median Filter is suitable for the background which is smooth surface.The effect of Mode estimator Filte，in the spacial scale impact by the cone is maximum.The effect of Boxcar Filter，in reducing the amplitude of the cone amplitude and the spacial scale impact by the cone is median.The effect of Boxcar Filter and Gaussian Filter are close，and Gaussian filter can better control the influence area range of the cone the filter.When the filter is applied to the deformation analysis，the filter window width is recommended to twice of the target radius.

Keywords：Median Filter；Mode estimator Filter；Boxcar Filter；Cosine Arch Filter；Gaussian Filter；Deformation Analysis