林英姿 劉 覽 劉思宏 呂尊敬

(吉林建筑大學(xué) 市政與環(huán)境工程學(xué)院,長春 130118)

0 引言

在城市給水管網(wǎng)系統(tǒng)中,作為全面掌握給水管網(wǎng)運行狀態(tài)以及正確調(diào)度給水系統(tǒng)的重要參數(shù)[1-2],且是直接反映城市供水服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)之一的水壓,在對其進行布置壓力監(jiān)測裝置時,要求監(jiān)測裝置監(jiān)測到的壓力能夠反映節(jié)點流量變化,便于監(jiān)控管網(wǎng)漏失和爆管事故.隨著模糊聚類理論完善和發(fā)展,越來越多的被運用到給水管網(wǎng)壓力監(jiān)測點優(yōu)化布置當(dāng)中去[3-5].把壓力監(jiān)測點的聚類分析轉(zhuǎn)化成一個帶約束的非線性規(guī)劃問題,通過基于目標(biāo)函數(shù)聚類算法對其優(yōu)化求解,得到數(shù)據(jù)集的最優(yōu)模糊劃分和聚類中心,可使壓力監(jiān)測點的布置較為均勻且具有代表性.

基于上述所說,本文利用FCM聚類算法進行城市給水管網(wǎng)壓力監(jiān)測點優(yōu)化布置,得出一種較為完整的城市給水管網(wǎng)壓力監(jiān)測點優(yōu)化選址的方法.

1 FCM聚類算法

1969年,Ruspini系統(tǒng)的提出了關(guān)于數(shù)據(jù)集模糊劃分概念的模糊聚類算法后[6],Zadeh[7]和Tarmura[8]學(xué)者也相繼提出基于相似關(guān)系和模糊關(guān)系的聚類方法.在模糊聚類研究方面,隨著與各類群智能算法、圖論等技術(shù)進行交叉融合,學(xué)者們陸續(xù)提出了許多種方法[9-11].在其中運用最廣、設(shè)計簡單、參數(shù)較少的是基于目標(biāo)函數(shù)的聚類算法,而在此類聚類算法中比較典型[12-13]的為模糊C-均值聚類法(FCM).1974年,Dunn首次提出FCM模糊聚類算法[14],Bezdek則在1981年進一步完善了該算法[15].隨著FCM算法的不斷完善,該算法在各個領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用,列如國外學(xué)者Kannan的基于FCM算法的圖像醫(yī)學(xué)分割[16],我國的楊浩把FCM算法應(yīng)用于電力負(fù)荷分析研究[17]等.

設(shè)待聚類分析的樣本集有n個元素為X={X1,X2,X3,…,Xn},每個樣本Xk(k=1,2,…,n)都有s個特性Xk=(Xk1,Xk2,…,Xks),稱為Xk的模式矢量,相對應(yīng)的為特征空間的一點.若將樣本集X劃分為c個類別,那么c個類別中擁有全部的n個樣本,且引入模糊劃分矩陣U=[μik]c×n(也稱為隸屬度矩陣).

其中，μik(1≤i≤c,1≤k≤n)為第k個樣本Xk的第i個類別的隸屬度,Bezdek把模糊c均值模糊聚類算法描述為:

(1)

約束條件:

m∈[1，∞)

0≤μik≤1,1≤i≤c,1≤k≤n

式中,U為模糊劃分矩陣U=[μik]c×n,μik∈[0,1],U中每個元素代表隸屬度;P為聚類中心矩陣P=(p1,p2,…,pc),pi(i=1,2,…,c),為第i類的聚類中心;m為模糊加權(quán)指數(shù),通常取m=2;dik為樣本Xk與第i類的聚類中心pi之間的歐式距離;

FCM算法就是最小化優(yōu)化解目標(biāo)函數(shù)Jm(X,U,P)的過程,因為矩陣U中各列都是獨立的,因此:

(2)

上式極值用拉格朗日乘數(shù)法來求解:

(3)

若樣本集X、聚類類別c和模糊權(quán)重值m都已知,運用迭代算法對min{Jm(U,P)}求解出最佳模糊分類矩陣U和聚類中心P:

(4)

(5)

(6)

2 FCM聚類算法應(yīng)用于管網(wǎng)壓力監(jiān)測點優(yōu)化布置

當(dāng)實際的給水管網(wǎng)處于某供水工況并正常工作時,管網(wǎng)各個節(jié)點的水壓值會受到許多不同因素的影響,其中最敏感的外界影響因素為管網(wǎng)節(jié)點流量.當(dāng)某個節(jié)點流量發(fā)生變化時,各個管網(wǎng)節(jié)點水壓必然發(fā)生變化,但節(jié)點流量變化時對各個節(jié)點水壓的影響程度是各不相同的.在對城市管網(wǎng)系統(tǒng)進行壓力監(jiān)測點優(yōu)化布置時,應(yīng)首先建立城市管網(wǎng)水力模型,并對模型進行校正.聚類對象為給水管網(wǎng)中的節(jié)點,對象特性為各個節(jié)點壓力所對應(yīng)的節(jié)點流量的變化程度,利用FCM聚類算法對管網(wǎng)節(jié)點進行聚類分析,求出給水管網(wǎng)壓力監(jiān)測點.

在FCM聚類算法參數(shù)中,管網(wǎng)有n個節(jié)點,在j節(jié)點處節(jié)點流量Q增加一微小節(jié)點變化流量ΔQj,則整個給水管網(wǎng)的各個節(jié)點壓力都會受到不同程度的影響,ΔHi則表示為被考察節(jié)點i處的水壓變化值,且j節(jié)點自身受ΔQj影響最大,j節(jié)點水壓變化值為ΔHj.i節(jié)點處利用ΔHi/ΔQj表示為單位節(jié)點流量變化產(chǎn)生的節(jié)點水壓變化率,即i節(jié)點水壓受其它節(jié)點流量變化影響的大小.但給水管網(wǎng)各個節(jié)點流量大小相差懸殊,則各個ΔQj在各個Qj中所占的比例不同,所以各個節(jié)點水壓變化值ΔHi相差很大.基于此ΔHi/ΔQj可比性較差,固而選用ΔHi/ΔHj表示.即用ΔHi/ΔHj表示j節(jié)點流量變化對i節(jié)點水壓的影響程度,為了利于編程則記為,X(i,j)=ΔHi/ΔHj,且對ΔHi和ΔHj取微分:

(7)

式中,X(i,j)為j節(jié)點對i的影響系數(shù).

直接對管網(wǎng)進行微觀分析,簡化上式來求得X(i,j).在莫工況下進行管網(wǎng)水力計算,求出該工況下的各個節(jié)點的壓力Hi,然后在j節(jié)點上增加微小流量ΔQj,其余節(jié)點流量不變,再對管網(wǎng)進行水力計算,求出各個節(jié)點壓力Hi′.其影響系數(shù)可表示:

(8)

式中,Hi,Hj為在基準(zhǔn)工況下i,j的節(jié)點水壓;Hi′,Hj′為在i節(jié)點流量改變后i,j的節(jié)點水壓.

所有的節(jié)點影響系數(shù)X(i,j)用影響系數(shù)矩陣[X]n×n陣來表示, 且該矩陣的對角線上的元素X(i,k)=1,其余元素0

FCM聚類法應(yīng)用于管網(wǎng)壓力監(jiān)測點優(yōu)化布置步驟:

(1) 求出影響系數(shù)矩陣. 在基準(zhǔn)工況下,調(diào)用Epanet進行水力計算,求出各個節(jié)點水壓,然后根據(jù)上述在j節(jié)點上按一定比例增加節(jié)點流量ΔQj,其余條件不變,再次進行調(diào)用Epanet進行水力計算,根據(jù)上述公式(8)求出節(jié)點水壓影響系數(shù)矩陣.

(2) FCM算法初始化. 依據(jù)FCM聚類法,n為給水管網(wǎng)管段數(shù)目,且權(quán)重設(shè)定為m通常取2,迭代停止閥值ε,開始時設(shè)定聚類類別c(2≤c≤n),當(dāng)?shù)嫈?shù)器b=0,初始化聚類中心矩陣P0=[p10,p20,…,pc0],不同的聚類類別數(shù)c相對應(yīng)不同的聚類中心和模糊分類矩陣.第k管段對第i類別的隸屬度由模糊劃分矩陣U=[μik]c×n中μik的值來表示.該類的代表節(jié)點為每行中數(shù)值最大的μik對應(yīng)的節(jié)點.基于此就可得到每一類劃分中的代表節(jié)點.

(3) 計算歐式距離dij. 本文距離測度采用歐式距離,利用式(6)分別計算樣本xj到Pi(b)的歐式距離.

(4) 根據(jù)公式(4)計算μik(b).

(5) 根據(jù)公式(5)計算Pi(b+1).

(6) 若條件滿足‖P(b)-P(b+1)‖<ε,則算法停止迭代并輸出模糊劃分矩陣U和聚類中心P,若不滿足以上條件,則令b=b+1,返回步驟(3)繼續(xù)進行計算.

(7) 根據(jù)輸出的模糊劃分矩陣U和聚類中心P得出聚類方案和每一類的代表節(jié)點.

(8) 最后判斷聚類類別c是否劃分合理,需要注意聚類中心是否相互距離之間離的太近,各類別之間差異性是否明顯,并借鑒壓力監(jiān)測點布置經(jīng)驗法,若聚類合理,則輸出最佳聚類類別c,聚類方案和每一類中的代表節(jié)點.若不合理,則轉(zhuǎn)到步驟(2),重新設(shè)置c值,并調(diào)用Epanet且根據(jù)公式進行計算,直到滿足迭代停止條件,輸出最優(yōu)的節(jié)點模糊c劃分以及代表節(jié)點.

3 工程實例

表1為J市管網(wǎng)基準(zhǔn)工況下節(jié)點流量表,不考慮兩水源節(jié)點,對其中編號1～56的節(jié)點進行聚類分析,找出代表性的節(jié)點.

表1 基準(zhǔn)工況下節(jié)點流量Table 1 Node traffic under baseline conditions (L·s-1)

具體計算為:首先計算基準(zhǔn)工況下節(jié)點壓力,然后依次在各個節(jié)點增加節(jié)點流量ΔQj=10%×Qj,然后調(diào)用Epanet進行水力計算,根據(jù)公式(8)進行計算求出影響系數(shù)矩陣.求出的影響系數(shù)矩陣為[X]56×56,對角線上元素X(i,k)=1,其余元素0

表2是由公式(4)求得的模糊劃分矩陣U=[μik]6×56,表3為公式(5)求解出的聚類中心矩陣P,表4為將節(jié)點聚類劃分c=6類的情況下得到節(jié)點分類.

表2 模糊劃分矩陣UTable 2 Fuzzy partition matrix U

表3 聚類中心矩陣PTable 3 Cluster center matrix P

表4 c=6時的節(jié)點分類Table 4 Node classification at c=6

在c=6時,每個分類中的節(jié)點中隸屬度最大的最具代表性的節(jié)點且隸屬度見表5.

表5 c=6時代表性節(jié)點及隸屬度Table 5 Representative node and membership degree at c=6

用上述計算歐式距離公式計算當(dāng)c=6時,各個節(jié)點到6個聚類中心的距離,表6為到各類聚類中心的最小歐式距離的節(jié)點.

表6 c=6時代表性節(jié)點及歐式距離Table 6 Representative node and euclidean distance at c=6

當(dāng)c=6時,經(jīng)過模糊分類矩陣,由隸屬度最大而劃分的代表節(jié)點:43,49,17,19,29,11,而由聚類中心的最小歐式距離求得的代表節(jié)點:43,49,21,19,29,11,可以看出得到的代表節(jié)點大致一致,17節(jié)點和21節(jié)點的歐式距離分別為0.229 4和0.225 2相差幾乎為零.由上述結(jié)果推出,當(dāng)聚類分類c=6時,由FCM聚類算法求得的監(jiān)測點效果較為理想且分布比較均勻.某市管網(wǎng)壓力監(jiān)測點布置示意圖見圖1.

圖1 J市管網(wǎng)壓力監(jiān)測點布置示意圖Fig.1 Schematic diagram of J city pipe network pressure monitoring point layout

4 結(jié)語

本文通過FCM聚類算法,以影響系數(shù)矩陣為基礎(chǔ),進行J市給水管網(wǎng)壓力監(jiān)測點的優(yōu)化布置,經(jīng)過FCM聚類法最優(yōu)求解得出的壓力監(jiān)測點在城市管網(wǎng)分布中比較有代表性且較均勻,能夠較好地反映節(jié)點流量變化情況,據(jù)此實時監(jiān)測某市給水管網(wǎng)爆管、漏水等事故的發(fā)生.在實際操作中,還應(yīng)該結(jié)合人工經(jīng)驗及現(xiàn)場條件等進行布置,使壓力監(jiān)測點更具代表性和實際性.