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        易漏解的求長(zhǎng)度問(wèn)題

        2018-11-24 02:37:42錢(qián)
        初中生世界 2018年42期

        錢(qián) 霞

        (作者單位:江蘇省淮安外國(guó)語(yǔ)學(xué)校)

        我們?cè)趹?yīng)用勾股定理解題時(shí),常常會(huì)因考慮不全造成漏解,現(xiàn)將幾種常見(jiàn)的錯(cuò)誤歸納如下,希望引起同學(xué)們的重視.

        【例1】如果一直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4,求這個(gè)三角形的周長(zhǎng).

        【錯(cuò)解】設(shè)斜邊的長(zhǎng)度為x.

        ∴x2=32+42,∴x=5.

        ∴這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為3+4+5=12.

        【分析】造成上面錯(cuò)解的原因是審題不清或思維定式,看到3和4就想到5.想得到正確答案須對(duì)本題進(jìn)行分類.

        【正解】設(shè)這個(gè)直角三角形第三邊的長(zhǎng)度為x.則分為以下兩類情況:

        ①x是斜邊,則x2=32+42,∴x=5,此時(shí)周長(zhǎng)為3+4+5=12;

        ②4是斜邊,則42=32+x2.

        【例2】在△ABC中,AB=17,AC=10,BC邊上的高AD=8,求BC的長(zhǎng)度.

        【錯(cuò)解】如圖1所示,由勾股定理得:BD2=AB2-AD2,CD2=AC2-AD2,∴BD=15,CD=6,

        ∴BC=BD+CD=15+6=21.

        【分析】造成上面錯(cuò)解的原因是我們?cè)诋?huà)圖的時(shí)候只考慮高AD在三角形的內(nèi)部,忽略了高AD在三角形外部的情形.

        【正解】由勾股定理知:

        下面分成兩種情況討論:①∠C是銳角,則高AD在三角形內(nèi)部,如圖1所示,BC=BD+CD=21;②∠C是鈍角,則高AD在三角形外部,如圖2所示,BC=BD-CD=9.∴BC的長(zhǎng)度為21或9.

        圖1

        圖2

        【例3】有一塊直角三角形的綠地,量得兩直角邊長(zhǎng)分別為BC=6m,AC=8m.現(xiàn)將綠地?cái)U(kuò)充成等腰三角形,且擴(kuò)充部分是以AC為直角邊的直角三角形,求擴(kuò)充后等腰三角形綠地的周長(zhǎng).

        【錯(cuò)解】分類不全,得一或兩個(gè)答案.

        【分析】由于兩直角邊長(zhǎng)分別為6m、8m,于是,可利用勾股定理求出其斜邊的長(zhǎng).而題目只說(shuō)明擴(kuò)充成等腰三角形,并沒(méi)有指明等腰三角形的底邊和腰,所以應(yīng)分情況求解.

        【正解】在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,由勾股定理,得AB=10,擴(kuò)充部分為Rt△ACD,擴(kuò)充成等腰△ABD應(yīng)分以下三種情況:①如圖3,當(dāng)AB=AD=10時(shí),可求CD=CB=6,△ABD的周長(zhǎng)為32m;②如圖4,當(dāng)AB=BD=10時(shí),可求CD=4,由勾股定理得AD=45,△ABD的周長(zhǎng)為(20+45)m;③如圖5,當(dāng)BD=AD時(shí),設(shè)AD=BD=x,則CD=x-6,在Rt△ACD中由勾股定理得x=△ABD的周長(zhǎng)為

        圖3

        圖4

        圖5

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