吉喆，高二慶，沈承金，宋慶雷，徐杰，郭濤

（1.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)，江蘇 徐州 221116；2.徐州巴特工程機(jī)械股份有限公司，江蘇 徐州 221004）

鈦合金具有高比剛度、高比強(qiáng)度等優(yōu)良的綜合力學(xué)性能，在航空、航天領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用[1—2]。壓痕技術(shù)測(cè)量材料性能具有制樣簡(jiǎn)單、操作方便、無(wú)損等優(yōu)點(diǎn)，從而廣泛應(yīng)用于鈦合金性能檢測(cè)[3—4]。壓痕測(cè)試技術(shù)是將壓頭壓入被測(cè)材料，通過(guò)連續(xù)記錄壓頭加載過(guò)程和卸載過(guò)程的載荷、位移數(shù)據(jù)，得到載荷-位移曲線的一種方法。通過(guò)分析載荷-位移曲線，不僅可以得到被測(cè)材料的彈性模量和硬度，而且通過(guò)量綱分析和壓痕變形過(guò)程有限元分析，可以由載荷-位移曲線反求應(yīng)力-應(yīng)變曲線[5]。這對(duì)求解微小體積試樣的應(yīng)力-應(yīng)變曲線，以及表征鈦合金部件不同位置由于變形不均勻等原因引起的性能不均勻提供了一條可行便捷的方法。

通過(guò)載荷-位移曲線反求被測(cè)材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線時(shí)，代表應(yīng)變（εr）是一個(gè)重要的參數(shù)。代表應(yīng)變?cè)诓牧蠎?yīng)力-應(yīng)變曲線上對(duì)應(yīng)的應(yīng)力稱為代表應(yīng)力（σr），代表應(yīng)力與材料的硬度（H）存在以下關(guān)系：

式中：C是一個(gè)常數(shù)，稱為約束因子。

通過(guò)使用代表應(yīng)變和約束因子可以簡(jiǎn)化應(yīng)力-應(yīng)變曲線的求解，因而大量工作對(duì)這兩個(gè)參數(shù)進(jìn)行了研究。Tabor等[6]研究了不同預(yù)應(yīng)變條件下低碳鋼和銅的維氏硬度與拉伸應(yīng)力的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)以不同預(yù)應(yīng)變條件下合金的硬度除以3.3為應(yīng)力值，然后以對(duì)應(yīng)的預(yù)應(yīng)變值加上 0.08為應(yīng)變值，這樣處理的應(yīng)力和應(yīng)變點(diǎn)與合金的應(yīng)力-應(yīng)變曲線正好重合，因此指出代表應(yīng)變?yōu)?0.08，約束因子為 3.3。Mata等[7]針對(duì) Tabor提出的硬度和代表應(yīng)力關(guān)系，采用彈塑性有限元分析了不同彈性模量、屈服強(qiáng)度和應(yīng)變硬化指數(shù)條件下硬度和代表應(yīng)力的關(guān)系，指出代表應(yīng)變?yōu)?0.1，此時(shí)對(duì)應(yīng)的約束因子為2.7。Keist等[8]通過(guò)最小二乘擬合分析，研究了Ti-6Al-4V合金維氏硬度與屈服強(qiáng)度（σy）和抗拉強(qiáng)度間（σUTS）的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)維氏硬度與屈服強(qiáng)度和抗拉強(qiáng)度之間存在線性關(guān)系，即存在關(guān)系σy（或者σUTS）=H/i+j，其中i為比例常數(shù)，j為修正項(xiàng)。Tiryakio?lu等[9]研究發(fā)現(xiàn)維氏硬度與屈服強(qiáng)度關(guān)系之間修正項(xiàng)通常為負(fù)值，而維氏硬度與抗拉強(qiáng)度關(guān)系之間修正項(xiàng)通常為正值，因此會(huì)有維氏硬度與存在于屈服強(qiáng)度與抗拉強(qiáng)度之間某一應(yīng)力之比修正項(xiàng)為0，此應(yīng)力對(duì)應(yīng)的應(yīng)變?yōu)榇響?yīng)變，采用此方法求出的代表應(yīng)變?yōu)?0.024。這些研究力求確定統(tǒng)一的代表應(yīng)變和約束因子值，然而不同研究結(jié)果得到的值不同。如果采用近似的代表應(yīng)變和約束因子來(lái)求解應(yīng)力-應(yīng)變曲線，會(huì)導(dǎo)致較大的誤差[10]，因此，為了確定適用于鈦合金的代表應(yīng)變和約束因子，還要進(jìn)行深入研究。Hernot等[11]通過(guò)彈塑性有限元，分析了不同屈服強(qiáng)度和應(yīng)變硬化指數(shù)條件下，壓痕塑性區(qū)對(duì)應(yīng)的代表應(yīng)變，發(fā)現(xiàn)壓痕代表應(yīng)變和約束因子是隨材料性能變化而變化的，并不存在一個(gè)統(tǒng)一的值。Branch等[12]和Prasad等[13]通過(guò)有限元模擬發(fā)現(xiàn)不同材料性能條件下，壓痕塑性區(qū)應(yīng)變分布不同，因此采用壓痕塑性區(qū)應(yīng)變的體積平均作為代表應(yīng)變。這樣定義的代表應(yīng)變隨材料性能變化而變化，沒(méi)有統(tǒng)一值。這些研究指出代表應(yīng)變和約束因子是隨材料性能變化而改變，但是并沒(méi)有給出代表應(yīng)變和約束因子隨材料性能變化的關(guān)系，不便于這兩個(gè)參數(shù)的使用。

文中以Ti-6.5Al-3.5Mo-1.5Zr-0.3Si(TC11)合金為研究對(duì)象，通過(guò)熱處理實(shí)驗(yàn)調(diào)控合金的性能，得到合金性能的變化范圍。在此基礎(chǔ)上，通過(guò)錐形壓痕變形過(guò)程彈塑性有限元分析和壓痕硬度分析，得到代表應(yīng)變和約束因子與TC11合金性能參數(shù)間的定量關(guān)系，為通過(guò)壓痕測(cè)試求解TC11合金的本構(gòu)曲線奠定基礎(chǔ)。

1 材料與方法

材料為TC11鈦合金，合金棒材直徑為100 mm。從合金棒材中線切割截取尺寸為 130 mm×26 mm×12 mm的熱處理矩形試樣，在其表面涂滿玻璃潤(rùn)滑劑，然后放入箱式電阻爐中進(jìn)行加熱，以防止實(shí)驗(yàn)過(guò)程中試樣表面發(fā)生氧化。熱處理實(shí)驗(yàn)分為一步熱處理和多步熱處理以調(diào)控合金的性能。一步熱處理是將試樣分別加熱到940,960,980,990,1020 ℃，保溫30 min，然后空冷或者水冷。多步熱處理是在一步熱處理水冷后進(jìn)行強(qiáng)韌化處理[14]。

熱處理后，在每個(gè)矩形坯料中線切割截取3個(gè)拉伸試樣。拉伸試樣標(biāo)距為35 mm，厚度為2 mm。采用 CMT-5305電子萬(wàn)能拉伸實(shí)驗(yàn)機(jī)測(cè)量試樣的拉伸性能，拉伸速度為2 mm/min，采用引伸計(jì)測(cè)量試樣的變形量。3個(gè)試樣的平均結(jié)果作為試樣的最后性能。

4種典型試樣的熱處理工藝和性能見(jiàn)表1，拉伸曲線見(jiàn)圖1。采用冪強(qiáng)化模型來(lái)描述合金的應(yīng)力-應(yīng)變曲線[4,15]，見(jiàn)式(2)。

表1 TC11合金的熱處理工藝參數(shù)和力學(xué)性能Tab.1 Technological parameters and mechanical properties for heat treatment of TC11 alloy

圖1 TC11鈦合金拉伸試樣的真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線Fig.1 True stress-strain curves of TC11 tensile samples

式中：E為彈性模量；K為硬化系數(shù)；σy為屈服強(qiáng)度；n為應(yīng)變硬化指數(shù)。

由應(yīng)力-應(yīng)變曲線彈塑性段連續(xù)可得：

通過(guò)拉伸曲線計(jì)算得合金的彈性模量為 110 GPa，σy,K和n值見(jiàn)表1，其中AC為空冷，WQ為水冷，這些性能參數(shù)涵蓋了實(shí)驗(yàn)中合金性能的范圍。

在熱處理后的試樣中線切割截取10 mm×10 mm×6 mm的壓痕試樣。對(duì)壓痕試樣進(jìn)行鑲嵌，然后用金相砂紙進(jìn)行打磨，最后進(jìn)行拋光處理。對(duì)拋光后的試樣用瑞士的 CSM 壓痕儀進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，壓頭為錐形的Berkovich壓頭。壓痕最大載荷為4.9 N，每個(gè)試樣壓痕試驗(yàn)重復(fù)5次。

2 壓痕變形過(guò)程有限元模型建立

壓痕變形過(guò)程采用Abaqus有限元分析軟件進(jìn)行模擬，采用三棱錐形Berkovich壓頭，已有大量文獻(xiàn)證明，在有限元建模時(shí)可以采用半錐角為70.3°的圓錐壓頭代替[5,16—17]。圓錐壓頭壓入材料過(guò)程是一個(gè)典型的軸對(duì)稱問(wèn)題，因此采用二維軸對(duì)稱模型進(jìn)行模擬。建立的 Abaqus幾何模型見(jiàn)圖2。由于模型的對(duì)稱性，金剛石壓頭用一條線表示，被壓TC11材料用一個(gè)平面表示。平面的左邊施加對(duì)稱邊界條件，底邊限制豎直方向的位移，載荷通過(guò)壓頭的參考點(diǎn)施加。由于四節(jié)點(diǎn)軸對(duì)稱線性減縮積分單元（CAX4R）適用于大變形分析，而且具有較高的計(jì)算精度，適合壓痕變形過(guò)程有限元分析，因此，采用CAX4R對(duì)被壓材料進(jìn)行網(wǎng)格劃分，共劃分7268個(gè)單元。此外，壓痕變形過(guò)程大變形區(qū)域集中在壓頭附近，因此采用網(wǎng)格尺寸漸變方式劃分網(wǎng)格，在壓頭附近采用尺寸較小的網(wǎng)格（0.5 μm×0.5 μm），而在遠(yuǎn)離壓頭的位置采用尺寸較大的網(wǎng)格。這樣劃分網(wǎng)格既可以獲得較高的計(jì)算精度，也可以節(jié)約計(jì)算時(shí)間。

模擬結(jié)束后，通過(guò)壓頭參考點(diǎn)處的載荷和位移，求出壓痕變形過(guò)程載荷-位移曲線。采用表 1所示材料性能參數(shù)進(jìn)行壓痕變形過(guò)程有限元模擬，得到的載荷-位移結(jié)果見(jiàn)圖3，其中也包含了實(shí)驗(yàn)的載荷-位移曲線。由圖3可見(jiàn)，模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合良好，表明建立的模型可以用于壓痕變形過(guò)程分析。

3 結(jié)果與討論

3.1 壓痕硬度計(jì)算

在進(jìn)行TC11合金壓痕變形有限元模擬時(shí)，彈性模量取110 GPa，屈服強(qiáng)度取13個(gè)值，分別為800,850,900,950,1000,1050,1100,1150,1200,1250,1300,1350,1400 MPa，應(yīng)變硬化指數(shù)取9個(gè)值，分別為0.04,0.05,0.06,0.07,0.08,0.09,0.1,0.11,0.12，共有117個(gè)組合，這些組合范圍完全覆蓋了表1中實(shí)驗(yàn)測(cè)量的TC11合金性能。采用這些性能參數(shù)，通過(guò)壓痕變形過(guò)程有限元模擬可以得到TC11合金載荷-位移曲線。壓痕硬度和彈性模量可以通過(guò)壓痕曲線分析得到?？紤]壓痕載荷-位移曲線卸載部分的彈性回復(fù)，Oliver和Pharr將卸載曲線壓痕表示為[18]：

式中：P為載荷；hf為卸載后的殘余壓痕深度；B和m為擬合參數(shù)。

由式(4)可以求得卸載曲線的接觸剛度S為：

式中：hmax為最大壓痕深度。

在最大壓痕深度處，壓頭和材料接觸深度hc為：

式中：γ為壓頭形狀參數(shù)，對(duì)于Berkovich壓頭，其值為0.75。

通過(guò)接觸深度可以得到壓頭與材料的接觸面積A為：

壓痕硬度為：

式中：Pmax為最大載荷。

圖3 實(shí)驗(yàn)和有限元模型計(jì)算的壓痕載荷-位移曲線Fig.3 Indentation load-penetration depth curves of experiment and FEM computation

通過(guò)卸載剛度S和接觸面積A，可以得到等效彈性模量為：

式中：ω是非對(duì)稱壓頭修正系數(shù)，對(duì)于Berkovich壓頭，其值為1.034。

由式(9)可以求得被壓材料的彈性模量為：

式中：ν為被壓材料泊松比；Ei和νi分別表示壓頭的彈性模量和泊松比，金剛石壓頭的值分別為1141 GPa和 0.07。

屈服強(qiáng)度隨壓痕硬度變化關(guān)系見(jiàn)圖4，可見(jiàn)硬度隨屈服強(qiáng)度的增加而增加。在模擬性能參數(shù)范圍內(nèi)，壓痕硬度從3000 MPa變化到5000 MPa，變化范圍較寬。對(duì)屈服強(qiáng)度和壓痕硬度進(jìn)行最小二乘回歸擬合，可得：

式中：i和j分別為2.97和271。

圖4中實(shí)線為最小二乘回歸分析結(jié)果，虛線為剩余標(biāo)準(zhǔn)差，擬合優(yōu)度為0.94，表明屈服強(qiáng)度和壓痕硬度之間符合線性關(guān)系。Keist等[8]分析了Ti-6Al-4V合金屈服強(qiáng)度和壓痕硬度，發(fā)現(xiàn)兩者之間也存在線性關(guān)系。這個(gè)結(jié)果表明相對(duì)于應(yīng)變硬化指數(shù)，屈服強(qiáng)度對(duì)合金硬度的影響更加顯著。這是因?yàn)閼?yīng)變硬化指數(shù)較小，而文獻(xiàn)[8]中應(yīng)變硬化指數(shù)值更?。?.032～0.052），應(yīng)變硬化指數(shù)值的變化引起的硬度變化較小。文獻(xiàn)[8]中i和j分別為3.6和90，和文中計(jì)算結(jié)果不同，這可能是由于材料性能不同引起的。Ti-6Al-4V的屈服強(qiáng)度（700～1000 MPa）和硬度（3000～3800 MPa）范圍都在本文性能值范圍的下限，可見(jiàn)對(duì)于不同的材料性能范圍，參數(shù)i和j需要重新計(jì)算。

圖4 屈服強(qiáng)度和硬度關(guān)系Fig.4 Relationship between yield stress and hardness

3.2 屈服強(qiáng)度對(duì)約束因子和代表應(yīng)變的影響

約束因子和代表應(yīng)變可由硬度與材料性能參數(shù)關(guān)系求出。由式(1)—(3)可得：

對(duì)式(12)兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)可得：

式(13)中以n為自變量，ln(H/σy)為因變量，對(duì)不同σy值進(jìn)行擬合。如果C和εr為常數(shù)，則擬合結(jié)果為直線。通過(guò)直線的斜率和截距可以分別計(jì)算出εr和C。

不同屈服強(qiáng)度條件下，式(13)的擬合結(jié)果見(jiàn)圖5。由圖5可見(jiàn)，不同屈服強(qiáng)度條件下，ln(H/σy)與n均呈現(xiàn)線性關(guān)系，擬合優(yōu)度均高于0.98，而且這些擬合直線大致保持平行，說(shuō)明不同屈服強(qiáng)度條件下，代表應(yīng)變變化很小。此外，擬合直線的截距隨著屈服強(qiáng)度的增加而減小，表明約束因子也隨屈服強(qiáng)度的增加而減小。這些結(jié)果說(shuō)明約束因子和代表應(yīng)變的確隨材料性能參數(shù)變化而變化，并不存在固定值。而且，這兩個(gè)參數(shù)對(duì)材料性能參數(shù)依賴關(guān)系是不同的。屈服強(qiáng)度會(huì)顯著影響約束因子，但是應(yīng)變硬化指數(shù)對(duì)約束因子影響較小，而屈服強(qiáng)度和應(yīng)變硬化指數(shù)對(duì)代表應(yīng)變影響都很小。

圖5 ln(H/σy)和應(yīng)變硬化指數(shù)(n)關(guān)系Fig.5 Relationship between ln(H/σy) and strain hardening exponent (n)

通過(guò)圖5擬合結(jié)果求出的約束因子和代表應(yīng)變見(jiàn)圖6。由圖6a可見(jiàn)，約束因子隨屈服強(qiáng)度增加而呈線性減小。通過(guò)最小二乘擬合得到約束因子與屈服強(qiáng)度間的關(guān)系為：

當(dāng)屈服強(qiáng)度為800 MPa時(shí)，約束因子為3.56；而當(dāng)屈服強(qiáng)度為1400 MPa時(shí)，約束因子為3.19，平均值與Tabor提出的3.3非常接近。DiCarlo等[19]基于有限元分析，研究了Tabor提出的通過(guò)約束因子和代表應(yīng)變求合金應(yīng)力-應(yīng)變曲線的方法，求解的低碳鋼和銅的應(yīng)力-應(yīng)變曲線與實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較吻合，因此Tabor提出的約束因子具有較高的精度。由圖6a可見(jiàn)，約束因子是隨材料性能變化而變化的。低碳鋼和銅硬化指數(shù)均為 0.2，但是低碳鋼彈性模量和屈服強(qiáng)度均高于銅，而屈服強(qiáng)度升高會(huì)導(dǎo)致約束因子會(huì)降低，可見(jiàn)低碳鋼和銅約束因子相當(dāng)，可能是由于兩者彈性模量不同造成的。文中計(jì)算得到的約束因子最大值（3.56）和最小值（3.19）差別大于10%，對(duì)壓痕硬度值下限3000 MPa計(jì)算代表應(yīng)力，其結(jié)果相差將近100 MPa，誤差非常大。

圖6 約束因子和代表應(yīng)變隨屈服強(qiáng)度變化曲線Fig.6 Curve for constraint factor and representative strain change as a function of yield stress

圖6b為代表應(yīng)變與屈服強(qiáng)度關(guān)系，可見(jiàn)代表應(yīng)變隨屈服強(qiáng)度變化并不大，在平均值0.025附近波動(dòng)。這個(gè)波動(dòng)可能是由于ln(H/σy)與n的擬合誤差引起的。代表應(yīng)變 0.025與 Dao[5]提出的 0.033，Tiryakio?lu[9]提出的 0.024，Branch[12]提出的 0.035非常接近，而與Tabor[6]提出的0.08相差較大。代表應(yīng)變的計(jì)算方法會(huì)影響代表應(yīng)變的值[11]。文中和文獻(xiàn)[5]中代表應(yīng)變是超過(guò)屈服強(qiáng)度以后的塑性累積應(yīng)變，文獻(xiàn)[9]中代表應(yīng)變定義為塑性應(yīng)變，文獻(xiàn)[12]中將代表應(yīng)變定義為壓痕塑性區(qū)塑性應(yīng)變的體積平均，而Tabor代表應(yīng)變是拉伸曲線上等效的應(yīng)變，可見(jiàn)壓痕代表應(yīng)變會(huì)隨計(jì)算方法而變化。

在求解約束因子和代表應(yīng)變時(shí)，進(jìn)行了數(shù)據(jù)擬合，因而存在一定的誤差，需要進(jìn)行誤差分析。使用代表應(yīng)變?cè)趹?yīng)力-應(yīng)變曲線上求解代表應(yīng)力的準(zhǔn)確值，然后通過(guò)式(11)和(14)用壓痕硬度求解約束因子，再通過(guò)式(1)求解代表應(yīng)力的計(jì)算值。代表應(yīng)力計(jì)算值和準(zhǔn)確值之間的誤差見(jiàn)圖7。由圖7可見(jiàn)，絕大部分誤差在±1.6%之間，說(shuō)明計(jì)算得到的代表應(yīng)力的準(zhǔn)確度較高。

圖7 代表應(yīng)力誤差分析Fig.7 Error of representative stress

3.3 彈性模量對(duì)代表應(yīng)變的影響

圖6中的約束因子和代表應(yīng)變是在固定彈性模量（110 GPa）條件下求出的，然而鈦合金的彈性模量也會(huì)隨合金種類變化而變化[20]，因此，有必要研究彈性模量對(duì)鈦合金約束因子和代表應(yīng)變的影響。取彈性模量為70,90,130,150 GPa，分別對(duì)屈服強(qiáng)度和應(yīng)變硬化指數(shù)的117個(gè)組合進(jìn)行仿真模擬，采用式(13)對(duì)壓痕硬度數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，求得的約束因子見(jiàn)圖8。由圖8a可見(jiàn)，約束因子在2.8到3.7之間，在Hernot得到的約束因子范圍內(nèi)[11]。此外，可見(jiàn)不同彈性模量條件下約束因子都隨屈服強(qiáng)度的增加而線性減小。此外，從圖8a可見(jiàn)，約束因子隨彈性模量的增加而增加，因此在Tabor的研究中[6]，低碳鋼和銅相同的約束因子，可能是低碳鋼高的屈服強(qiáng)度引起約束因子減少，高的彈性模量引起約束因子增加，是兩者的綜合效果引起的。

圖8中求出的約束因子是屈服強(qiáng)度的函數(shù)。為了方便約束因子的使用，需要求出不同彈性模量條件下屈服強(qiáng)度和壓痕硬度的關(guān)系。通過(guò)最小二乘回歸分析發(fā)現(xiàn)不同彈性模量條件下，屈服強(qiáng)度和壓痕硬度都滿足式(11)，只是式中常數(shù)不同，因此，綜合式(11)和(14)，約束因子可以表示為：

式中：p,q,i,j為常數(shù)，其值見(jiàn)圖8b。由圖8b可見(jiàn)，在式(15)的4個(gè)常數(shù)中，p和i隨彈性模量的增加而增加，q和j隨彈性模量的增加而減小。

圖8 彈性模量對(duì)約束因子的影響Fig.8 Effect of elastic modulus on constraint factor

圖9 彈性模量對(duì)代表應(yīng)變的影響Fig.9 Effect of elastic modulus on representative strain

不同彈性模量條件下，約束因子的計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖9。由圖9可見(jiàn)彈性模量從70 GPa增加到150 GPa，約束因子的值從 0.029降低到 0.023，而且降低的幅度越來(lái)越小。采用圖7中類似的方法，對(duì)不同彈性模量條件下的約束因子和代表應(yīng)變進(jìn)行誤差分析，誤差在±3%之間，這說(shuō)明文中提出的方法可以得到較為準(zhǔn)確的約束因子和代表應(yīng)變。

4 結(jié)論

1）鈦合金屈服強(qiáng)度與壓痕硬度之間存在線性關(guān)系：σy=H/i-j，其中常數(shù)i隨彈性模量增加而增加，j隨彈性模量增加而減小。

2）材料性能不同，計(jì)算方法不同，約束因子和代表應(yīng)變的值也會(huì)變化，這兩個(gè)參數(shù)并不存在固定的值。約束因子隨著彈性模量的增加而增加，代表應(yīng)變隨著彈性模量的增加而減小。當(dāng)彈性模量固定不變時(shí)，約束因子隨屈服強(qiáng)度線性減小，代表應(yīng)變固定不變。

3）材料性能范圍內(nèi)，使用代表應(yīng)變?cè)趹?yīng)力-應(yīng)變曲線上求解的代表應(yīng)力，與通過(guò)壓痕硬度和約束因子求解的代表應(yīng)力兩者誤差小于±3%。