孔新海，馬 新

（1.廣安職業(yè)技術(shù)學(xué)院 智能制造與能源工程學(xué)院，四川 廣安 638000；2.西南科技大學(xué) 理學(xué)院，四川 綿陽 621010）

0 引言

灰色系統(tǒng)理論自被提出以來，經(jīng)過幾十年的快速發(fā)展，已被廣泛地應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)社會(huì)管理、工業(yè)企業(yè)生產(chǎn)等各個(gè)領(lǐng)域。它能夠處理小樣本貧信息問題，是處理這類問題方法體系，特別GM（1,1）模型是灰色系統(tǒng)理論中非常簡潔且應(yīng)用廣泛的一類預(yù)測(cè)模型[1]。在應(yīng)用過程中，為了提高模型精度，很多學(xué)者提出了優(yōu)選初始值、優(yōu)化灰導(dǎo)數(shù)或背景值等一系列的改進(jìn)方法[2,3]；而針對(duì)建模序列的特點(diǎn)，提出了適合單調(diào)遞增序列、單調(diào)遞減序列或非等間距序列的GM（1,1）建模方法及其優(yōu)化措施[4-9]。對(duì)于具有凹凸性的序列，文獻(xiàn)[10]提出了用軸對(duì)稱手段來改變?cè)夹蛄邪纪剐赃M(jìn)行GM（1,1）建模的一種方法。本文針對(duì)原始序列是凸的情況，首先分析了GM（1,1）模型預(yù)測(cè)序列的特點(diǎn)，其次提出了改變序列凹凸性的一種新方法，即以原始序列首尾兩點(diǎn)連線為對(duì)稱軸，把凸序列轉(zhuǎn)化為對(duì)稱序列（凹序列），再基于對(duì)稱序列建立非等間距GM（1,1）模型，從而對(duì)原序列進(jìn)行預(yù)測(cè)。

1 凹（凸）序列的定義

定義1：設(shè)x（0）={x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）}為任意一組正序列，對(duì)任意k（2≤k≤n-1），若滿足 Δ（0）（k）≤ Δ（0）（k-1），則稱x（0）為凸序列；若滿足 Δ（0）（k）≥ Δ（0）（k-1），則稱x（0）為凹序 列 ，其中 Δ（0）（k）=x（0）（k）-x（0）（k-1）。 特別地 ，當(dāng)Δ（0）（k）＜ Δ（0）（k-1）時(shí) ，稱x（0）為嚴(yán)格凸序列 ；當(dāng)Δ（0）（k）＞ Δ（0）（k-1），稱x（0）為嚴(yán)格凹序列。

定理 1：若序列x（0）={x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）} 是凸序列，則滿足不等式：

2x（0）（k）≥x（0）（k+1）+x（0）（k-1）

若x（0）為凹序列，則滿足不等式：

2x（0）（k）≤x（0）（k+1）+x（0）（k-1）

證 明 ：若x（0）是凸序列，則由定義 1 可知 Δ（0）（k）≤Δ（0）（k-1），即：

x（0）（k+1）-x（0）（k）≤x（0）（k）-x（0）（k-1）

從而 2x（0）（k）≥x（0）（k+1）+x（0）（k-1）。同理，可證x（0）為凹序列時(shí)，有 2x（0）（k）≤x（0）（k+1）+x（0）（k-1）。

2 原始GM（1,1）模型及其特性

定義 2[1]：設(shè)x（0）={x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）} 為一非負(fù)的原始序列 ，其一次累加序列為x（1）={x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（n）} ，均值序列為Z（1）={z（1）（2），z（1）（3），…，z（1）（n）} ，其中Z（1）（k）=0.5（x（1）（k）+x（1）（k-1））,則稱下列離散等式：

式（1）為灰色GM（1,1）模型的均值形式，稱微分方程。

式（2）為灰色GM（1,1）模型均值形式的白化微分方程。對(duì)式（1）由最小二乘法得參數(shù)a，b估計(jì)值。

式中：

把參數(shù)a，b估計(jì)值代入式（2）,求得白化方程的解為：

然后離散化,可得時(shí)間響應(yīng)序列：

一般來說，GM（1,1）建模序列都是正數(shù)序列，如果是負(fù)數(shù)序列或正負(fù)混合序列，則可以通過平移變換轉(zhuǎn)化為正數(shù)序列。因此，在應(yīng)用GM（1,1）模型進(jìn)行建模時(shí)，其擬合或預(yù)測(cè)序列也應(yīng)該是正數(shù)序列。下面將論證GM（1,1）模型預(yù)測(cè)序列的一個(gè)顯著特征。

定理2：GM（1,1）模型的擬合預(yù)測(cè)序列是凹的。

證明：對(duì)一切k=1，2，…，不妨假設(shè)式（5）都是正數(shù)，則有：

將式（7）與式（8）相比，有：

（1）當(dāng)a＞0時(shí)，顯然有e-a＜1，即:

由于 （1-ea）＜ 0 ，于是 Δ（0）（k）=C（1-ea）e-a（k-1）＜ 0 ，代入式（10）則有：

（2）當(dāng)a＜0時(shí)，有e-a＞1，即:

由于 （1-ea）＞ 0 ，于是 Δ（0）（k）=C（1-ea）e-a（k-1）＞ 0 ，代入式（12）則有：

因此，無論原始序列具有什么特征，根據(jù)定義1可知GM（1,1）模型的模擬預(yù)測(cè)序列是凹的。

定理2實(shí)際上說明了GM（1,1）模型的擬合預(yù)測(cè)值是一個(gè)凹序列，當(dāng)原始序列是凸序列時(shí)，用式（5）計(jì)算得到的GM（1,1）模型擬合序列與原始凸序列的幾何形狀完全相反。因此對(duì)原始凸序列直接進(jìn)行GM（1,1）建模將會(huì)產(chǎn)生很大的誤差，預(yù)測(cè)結(jié)果將與原始序列發(fā)展態(tài)勢(shì)不一致。

3 原始凸序列的對(duì)稱變換

根據(jù)前面對(duì)GM（1,1）模型特性分析可知，對(duì)原始凸序列進(jìn)行GM（1,1）建模，會(huì)導(dǎo)致很大的模型誤差。如果把凸序列轉(zhuǎn)換成凹序列就可以避免這種模型誤差。這里選取以第1個(gè)點(diǎn)和第n個(gè)點(diǎn)的連線作為對(duì)稱軸（如圖2所示），進(jìn)行凹凸性對(duì)稱轉(zhuǎn)換。

圖1 原始凸序列的對(duì)稱變換

定理 3:若X（0）={x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）} 為一正的凸序列，其初值化序列為，對(duì)進(jìn)行對(duì)稱變換，則得到凹序列，其中:

證明：由兩點(diǎn)法，可得到對(duì)稱軸的直線方程為:

對(duì)于任意一點(diǎn) （k，（k）），其對(duì)稱點(diǎn)為 （tk，（tk）），則兩點(diǎn)中心滿足式（15），即:

根據(jù)兩條垂線斜率乘積為-1，有:

聯(lián)立式（16）和式（17），即可解得式（14）。顯然當(dāng)k=1時(shí)，有當(dāng)k=n時(shí)，有

4 基于凸序列對(duì)稱變換非等間距GM（1,1）模型

對(duì)于原始凸序列經(jīng)對(duì)稱變換之后，由于Δtk（Δtk=tk-tk-1）不為常數(shù)，所以對(duì)稱變換序列為非等間距序列。這就需要建立非等間距 GM（1,1）模型）+）=b，其與等間距GM（1,1）模型的不同之處在于：

（1）間距序列

Δt={Δt1，Δt2，…，Δtn}，Δt1=1，

Δtk=tk-tk-1，k=2，3，…，n

（2）一次累加序列

（3）緊鄰均值序列

（4）響應(yīng)函數(shù)序列

（5）還原值序列

因此，對(duì)于凸序列，應(yīng)用GM（1,1）模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，首先要對(duì)原始序列進(jìn)行初值化，然后對(duì)初值化序列進(jìn)行對(duì)稱變換，基于對(duì)稱序列建立GM（1,1）模型，進(jìn)而由GM（1,1）模型預(yù)測(cè)對(duì)稱序列，最后再逆變換可得原始序列的預(yù)測(cè)值。具體步驟如下：

第一步：對(duì)于一正凸數(shù)據(jù)序列x（0）={x（0）（1），x（0）（2），…，，先對(duì)原始序列初值化變換，得初值化序列；

第三步：基于對(duì)稱序列建立非等間距GM（1,1）模型，得擬合序列

第五步：計(jì)算還原值序列

5 實(shí)例分析

例1[11]:我國2009—2015年人均天然氣生活消費(fèi)量為X（0）={13.3，17.0，19.7，21.3，23.8，25.1，26.2} ，單位：立方米。這是個(gè)單調(diào)遞增具有上凸特征的序列，這里用本文方法對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)稱變換再建立GM（1,1）模型，其模擬結(jié)果見表1所示。

表1 基于GM（1,1）模型2009—2015年我國人均天然氣生活消費(fèi)量模擬結(jié)果

從表1可以看出，本文方法擬合平均相對(duì)誤差明顯小于直接GM（1,1）建模的平均相對(duì)誤差。因此，對(duì)于單調(diào)遞增的凸數(shù)據(jù)序列，需要把凸數(shù)據(jù)序列轉(zhuǎn)化為凹數(shù)據(jù)序列進(jìn)行GM（1,1）建模，其建模精度更高。

例2：薩莫特洛爾油田是俄羅斯的第一大油田，1969年投產(chǎn)，1980年的產(chǎn)量達(dá)到峰值，在1980—1988年遞減階段的年產(chǎn)量分別為：X（0）={15.48，15.03，14.38，14，13.06，12.09，10.98，9.88，8.27}，其單位：107t/年。這顯然是個(gè)單調(diào)遞減的凸數(shù)據(jù)序列，如果也用本文中給出方法進(jìn)行數(shù)據(jù)對(duì)稱變換再建立GM（1,1）模型，模擬結(jié)果見表2所示。

表2 基于GM（1,1）模型薩莫特洛爾油田遞減階段的年產(chǎn)量模擬結(jié)果

表2比較結(jié)果也顯示：本文方法擬合誤差比直接GM（1,1）建模誤差要小很多。因此，對(duì)于單調(diào)遞減的凸數(shù)據(jù)序列，同樣需要對(duì)凸數(shù)據(jù)序列進(jìn)行凹凸性轉(zhuǎn)換，才能取得更好的GM（1,1）建模效果。

6 結(jié)束語

根據(jù)本文證明可知，GM（1,1）模型的模擬預(yù)測(cè)序列具有凹向性，因此GM（1,1）模型適合凹數(shù)據(jù)序列建模。對(duì)于凸數(shù)據(jù)序列，要使得預(yù)測(cè)結(jié)果符合原始序列的發(fā)展趨勢(shì)，需要對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)稱變換，否則預(yù)測(cè)結(jié)果失真。經(jīng)過進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)于凸數(shù)據(jù)序列采用GM（1,1）模型預(yù)測(cè)時(shí)，僅對(duì)GM（1,1）模型參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，GM（1,1）模型擬合精度并不能有效提高，其預(yù)測(cè)結(jié)果更偏離原始序列發(fā)展趨勢(shì)。要想從根本上解決模型誤差，可以借助對(duì)稱變換，把原始序列是凸的轉(zhuǎn)換成凹的，然后再進(jìn)行GM（1,1）建模。