董裕華

【編者的話】不少同學(xué)一開始也是雄心勃勃，希望通過(guò)自己的努力，在數(shù)學(xué)上有個(gè)大的飛躍，但大部分人過(guò)不了多久就放棄了，每到放假或者補(bǔ)課的時(shí)候都會(huì)抱著從頭再來(lái)的心態(tài)，都是從“集合”開始，一個(gè)章節(jié)一個(gè)章節(jié)地過(guò)關(guān).即便是學(xué)習(xí)不好的學(xué)生，對(duì)于集合這一部分都充滿自信，其原因就在于此，這樣的學(xué)習(xí)，與其說(shuō)是在積聚實(shí)力，倒不如說(shuō)是在積累挫折感.

那么，有沒(méi)有捷徑可走？就從骨架內(nèi)容開始突破吧.

什么是數(shù)學(xué)的骨架內(nèi)容？

所謂骨架內(nèi)容是指數(shù)學(xué)的基本概念和重要公式.概念是數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，學(xué)習(xí)一個(gè)新符號(hào)，概念就是指那個(gè)符號(hào)的定義、性質(zhì)、特征等；學(xué)習(xí)一個(gè)圖形，概念則是指圖形的定義、定理、性質(zhì)一類的東西.公式可以讓我們省略很多解題步驟，很容易直接得出結(jié)果，如三角誘導(dǎo)公式、正弦定理、余弦定理等.重要的數(shù)學(xué)用語(yǔ)或公式要在理解的基礎(chǔ)上熟練背誦，并能準(zhǔn)確默寫.需要注意的是，在作為骨架的概念或者公式里沒(méi)有必要包含過(guò)難的內(nèi)容，認(rèn)真學(xué)習(xí)以后就應(yīng)該能夠記得住.骨架學(xué)習(xí)，旨在把握知識(shí)整體的骨架.

怎么學(xué)習(xí)骨架內(nèi)容？

數(shù)學(xué)的骨架內(nèi)容，大部分的輔導(dǎo)書都已經(jīng)列出了.教科書和輔導(dǎo)書在學(xué)習(xí)上的作用各有千秋，教科書的長(zhǎng)處在于它有較為詳盡的說(shuō)明.重點(diǎn)是把既簡(jiǎn)單義重要的內(nèi)容整理出來(lái)；輔導(dǎo)書的長(zhǎng)處則在于它收錄了考試中常常出現(xiàn)的題目類型，而且把概念整理得條理清晰、一目了然.在學(xué)習(xí)的時(shí)候，要以教科書為主，并依靠輔導(dǎo)書的幫助來(lái)整理一些需要背誦的東西.如果喜歡自己整理，還可以用熒光筆或彩色筆把必須要記住的東西標(biāo)注好，或把它們抄寫在筆記本上去記憶，這樣可能會(huì)更有成效，

為了提高骨架內(nèi)容的學(xué)習(xí)效果，還要輔之以相應(yīng)的骨架題.骨架題就是那些與重要的概念、公式直接相關(guān)的題目，這些題目是考試中的必考題，是檢驗(yàn)各個(gè)單元的重要概念是否掌握的尺子.大致來(lái)說(shuō)，圍繞每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的骨架題有4個(gè)左右，有時(shí)候也會(huì)只有一兩個(gè)，學(xué)習(xí)骨架題最好以教科書為藍(lán)本，一般都是在重要概念或公式的說(shuō)明之后出現(xiàn)的題目，課本的例題和習(xí)題大多是骨架題.前面舉的好多例子都是在課本骨架題的基礎(chǔ)上拓展開來(lái)的.

為什么學(xué)習(xí)骨架題可以迅速提高成績(jī)？

第一，骨架內(nèi)容和骨架題代表的是所在單元的基本學(xué)習(xí)目標(biāo).要想獲得基礎(chǔ)分，掌握它們就已經(jīng)足夠了.如果說(shuō)骨架內(nèi)容是構(gòu)筑數(shù)學(xué)大廈的鋼筋，骨架題就是構(gòu)筑大廈的混凝土，其他數(shù)學(xué)題目只是建筑需要的磚瓦.磚瓦也不是多多益善，但沒(méi)有鋼筋、混凝土，高樓大廈就無(wú)法構(gòu)筑.

第二，骨架題是學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的重要載體，讓整個(gè)知識(shí)血肉相連，促進(jìn)了骨架內(nèi)容的理解和消化，就像鋼筋、混凝土融合在一起的時(shí)候才牢不可破，如果連骨架題都不會(huì)，其他題目做得再多也不會(huì)有什么幫助.

第三，骨架題在考試中一定會(huì)出現(xiàn).如果把略微應(yīng)用了骨架題的題目都算在內(nèi)的話，很多的考試題目實(shí)際上都在此列.即使是高考，只要把這些內(nèi)容切實(shí)掌握好，考個(gè)100分以上（滿分按150分或160分計(jì)）也不是一件很難的事.而且對(duì)骨架題集中學(xué)習(xí)，量并不大，時(shí)間也可以大幅減少.只要把骨架題實(shí)實(shí)在在掌握好了，至少能使你保持中游水平.

第四，如果在平時(shí)學(xué)習(xí)時(shí)，已經(jīng)預(yù)習(xí)過(guò)課本的骨架內(nèi)容和骨架題，你就能更加積極地參與課堂上的互動(dòng)，理解也會(huì)更清楚，自然也就會(huì)覺(jué)得更為有趣.

骨架題要練習(xí)到什么程度？

骨架題要練習(xí)到在沒(méi)有任何外界幫助的情況下，能夠自己把它們解答出來(lái)的程度.這與背誦公式和概念差不多，特別是對(duì)于教科書中的解題步驟，盡可能原封不動(dòng)地把它們寫出來(lái)是很重要的.有些同學(xué)總是自己隨心所欲地杜撰一些解題步驟，這是一個(gè)必須改正的不良學(xué)習(xí)習(xí)慣.

以《平面向量》為例，我們編制了如下資料（注：受篇幅限制，本文僅摘錄部分）：

1.向量的基本概念

【骨架知識(shí)】

①向量的定義：既有大小又有方向的量.向量具有數(shù)量和方向兩重性.向量可以用有向線段來(lái)表示，有向線段是固定不變的，但向量可以平移.向量平移后，其起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)都變了，但向量的坐標(biāo)不變.

②零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記作：0.零向量的方向是任意的.

③單位向量：長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫作單位向量與非零向量AB共線的單位向量是.

④相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量.

⑤平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量a，b叫作平行向量，記作：a∥b.規(guī)定零向量和任何向量平行.兩向量平行包含兩向量在同一條直線上的情形，但兩直線平行卻不包含兩直線重合的情形.

相等向量與共線向量的關(guān)系：（i）相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；（ii）相等向量具有傳遞性，而平行向量不具有傳遞性.非零向量a，b滿足a∥0，b∥0，但不一定有a∥b.

⑥相反向量：長(zhǎng)度相等方向相反的向量叫作相反向量.a的相反向量是-a.

【骨架題】

（1）已知A（l，2），B（4，2），則把向量AB按向量a=（-1，3）平移后得到的向量是

________________.

（2）下列六個(gè)命題：（i）若|a |=|b |，則a=b.（ii）兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同.（iii）若AB=DC，則ABCD是平行四邊形.（iv）若ABCD是平行四邊形，則.（v）若a∥b，b∥c，則a∥c.（vi）A，B，C三點(diǎn)共線 AB，AC共線.其中正確的是____.

2.向量的表示方法

【骨架知識(shí)】

①幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后.如AB.

②符號(hào)表示法：用一個(gè)小寫的英文字母來(lái)表示，如a，6，c.

③坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j為基底，則平面內(nèi)的任一向量a可表示為a =xi+ yj=（x，y），稱（x，y）為向量a的坐標(biāo)，a=（x，y）叫作向量a的坐標(biāo)表示.如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同.

3.平面向量基本定理

【骨架知識(shí)】

如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a=λ1el+λ2e2.

【骨架題】

（3）向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖1所示.若c =λa十μb（λ，μ∈R），則λ/μ _____________.

（4）已知D，E分別是△ABC的邊BC，AC的中點(diǎn)，且AD=a，BE =b，則BC可用向量a，b表示為

.

（5）在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)，若AC=λAE+μAF，其中λ，μ∈R，則λ+μ=__________________.

4.實(shí)數(shù)與向量的積

【骨架知識(shí)】

實(shí)數(shù)λ與向量a的積仍是一個(gè)向量，記作λa.它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：①|(zhì)λa|=|λ||a |；②當(dāng)λ>O時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ

5.平面向量的數(shù)量積

【骨架知識(shí)】

①兩個(gè)向量的夾角：對(duì)于非零向量a，b，作OA=a，OB =b，∠AOB=？（0≤？≤π）稱為向量a，b的夾角.當(dāng)？=0時(shí)，a，6同向；當(dāng)？=π時(shí)，a，6反向；當(dāng)？=π/2時(shí)，a，b垂直.

②平面向量的數(shù)量積：如果兩個(gè)非零向量a，b，它們的夾角為？，我們把數(shù)量| a|.|b|cos？叫作a與b的數(shù)量積，記作：a·b，即a.b=|a||b|cos？.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0.

【提醒】 數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，而不再是一個(gè)向量.零向量與任一向量的數(shù)量積是數(shù)0，而數(shù)0與任一向量的積是零向量.

③向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個(gè)非零向量a，b，其夾角為？，則：

（1）a⊥b a·b=O；（ii）當(dāng)a，b同向時(shí)，a.b=|a||b |，特別地，a2=a'a=|a|2，|a |=√a2；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b=-|a||b|；當(dāng)？為銳角時(shí)，a'b>0；但a·b >O時(shí)有可能a，b同向.因此，a-b>0是？為銳角的必要非充分條件.同樣，當(dāng)？為鈍角時(shí)，a·b<0.a·b<0是？為鈍角的必要非充分條件；（iii）非零向量a，b夾角？的計(jì)算公式

【骨架題】

（6）△ABC中，∣AB∣=3，∣AC∣=4，∣BC∣=5，則AB，BC_____________.

（7）已知a=（1，1/2），b=（o，=1/2），c=a+kb，d=a-b，c與d的夾角為π/4，則k等于____.

（8）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則DE·CB的值為

，DE·DC的最大值為____.

（9）已知a，B是兩個(gè)非零向量，且∣a∣=∣b∣=∣a-b|，則a與a+b的夾角為______.

（10）如果向量a=（λ，2λ），b=（3λ，2）的夾角為銳角，則λ的取值范圍是

6.向量的運(yùn)算

【骨架知識(shí)】

①幾何運(yùn)算

（i）向量加法：有兩個(gè)法則.一是“平行四邊形法則”，只適用于不共線的向量，強(qiáng)調(diào)共起點(diǎn).二是“三角形法則”，強(qiáng)調(diào)首尾相接.設(shè)AB =a，BC=b，則向量AC叫作a與6的和，即a+b=AB +BC=AC.

（ii）向量的減法：用“三角形法則”.設(shè)AB =a，AC=b，那么a-b=AB-ACCB強(qiáng)調(diào)共起點(diǎn)，由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)，

②坐標(biāo)運(yùn)算

設(shè)a=（x1，y1），b=（x2，y2），則：

（i）向量的加減運(yùn)算：a±b=（x1±x2，y1±y2）.

（ii）實(shí)數(shù)與向量的積：λa=λ（x1，yl）=（λx1，λy1）.

（ iii）若A（xl，yl），B（x2，y2），則AB=（X2-X1，Y2-Y1），即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo).

（iv）平面向量數(shù)量積：a.b=x1x2+y1y2.

（V）向量的模：|a∣=√（x2+y2），a2=|a|2=x2+ y2.

（ vi）兩點(diǎn)間的距離：若點(diǎn)A（x1，y1），點(diǎn)B（x2，y2），則

|AB|=√（（X2-X1）2+（y2-y1）2）.

【骨架題】

（11）化簡(jiǎn)：（i）AB+BC+CD=____；（ii） AB -AD - DC=____；（iii） （AB -CD）（AC - BD）_____.

（12）已知向量A，B的夾角為45。，且∣a∣=1，|2a-b |=√10而，則∣b∣= _____

.

（13）若o是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足|OB-OC|=|OB+OC-2OA|·，則△ABC的形狀為________.

（14）已知a，b是單位向量，a·b=0，若向量c滿足 |c-a-b| =1，則|c |的取值范圍是____.

7.向量的運(yùn)算律

【骨架知識(shí)】

（i）交換律：a+b=b+a，λ（μa）=（λμ）a·a·b=b·a

（ii）結(jié)合律：（a+b）+c=a+（b+c），（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）.

（ iii）分配律：（λ+μ）a=λa+μa，λ（a+b）=λa+λ6，（a+b）c=a·c+b·c.

【骨架題】

（15）下列十個(gè)命題：①a·（b-c）=a.b-a=c；②a·（b·c）=（a·b）·c；③若a·b=O，則a=0或b=0；④|a-b|2=|a|2-2|a|.|b|+|b|2；⑤若a·b=c·.b，則a=c；⑥|a|2=a2；⑦a·b/a2=b/a ；⑧（a·b）2=a2. b2；⑨（a-b）2=a2-2a·b+ b2；⑩若|a+b|=|a-b|，則a·b=0.

其中正確命題的序號(hào)是____.

8.向量平行（共線）或垂直的充要條件

【骨架知識(shí)】

①設(shè)a=（x1，y1），b=（x2，y2），且b為非零向量，則a∥b 存在實(shí)數(shù)A，使a=λb （a·b）2=（|a||b|）2 x1y2-y1x2=0.注意：x1/x2=y1/y2與x1y2-y1x2=0不等價(jià)，a∥b時(shí)x2或Y2可以為零，

②設(shè)a = （x1，y1），b=（x2，y2），且a，b均為非零向量，則a|b a·b=0|a+b|= |a-b| x1x2+y1y2=0.

特別地，若AB≠0，AC≠0，則（AB/|AB|+AC/|AC|）⊥（AB/|AB|-AC/|AC|）

【骨架題】

（16）若向量a=（X1，1），b=（4，X），當(dāng)X=____時(shí)，a與b共線且方向相同；當(dāng)x=____時(shí)，a⊥b.

（17）已知a=（1，1），b=（4，x），u=a+2b，v=2a+b，且a∥v，則x=____.

（18）設(shè)PA=（K，12），PB=（4，5），PC=（10，K），則k=_____時(shí)，A，B，C共線.

9.向量的一些常用結(jié)論

【骨架知識(shí)】

①首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量.封閉圖形順次首尾連接而成的向量和為零向量.

②|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|（可利用三角形解釋）.特別地，|a+b |=|a|+|b|≥|a|-|b|=|a-b| a，b同向或至少有一個(gè)為0.|a-b|=|a|+|b|≥||a|-|b||=|a+b |a，b反向或至少有一個(gè)為0.a，b不共線 ||a||b||< |a±b|<|a|+|b|（和實(shí)數(shù)類似）.

③設(shè)P1（x1，y1），P2（x2，y2），則線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)為（（x1+x2）/2，（y1+y2）/2P為P1P2的中點(diǎn) MP=（MP1+MP2）/2（M為任意一點(diǎn)）

在△ABC中，若A（X1，y1），B（X2，y2），C（X3，y3）， 則其重心的坐標(biāo)為G（（X1+X2+X3）/3，（y1+y2+y3）/3）.

④向量PA，PB，PC的三個(gè)終點(diǎn)A，B，C共線 存在實(shí)數(shù)α，β使得PA=αPB+βPC，且α+β=1.

⑤三角形“心”的特征

（i） AD是△ABC中BC邊的中線 AD=1/2（AB+AC）；G為△ABC的重心（三角形三條中線的交點(diǎn)） PG=1/3（PA+PB+PC）.特別地，PA+PB+PC=0 P為△ABC的重心.

（ii）HA·HB=HB·HC=HC·HA H為△ABC的垂心（三角形三條高的交點(diǎn)）. （III）向量λ（AB/|AB|+AC/|AC|）（λ≠0）所在直線是∠BAC的角平分線所在直線，經(jīng)過(guò)△ABC的內(nèi)心（三角形三條角平分線的交點(diǎn)）.

（iv） OA2=OB2=OC2 O是△ABC的外心（三角形外接網(wǎng)的圓心，三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)）

【骨架題】

（19）若點(diǎn)0是△ABC的外心，且OA+OB+OC=0，則△ABC的內(nèi)角C為____________________.

（20）平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A（3，1），B（-1，3），若點(diǎn)C滿足OC=λOA+λOB，其中λ1，λ2∈R且λ1+λ2=1，則點(diǎn)C的軌跡是____.

數(shù)學(xué)并不是一門一學(xué)習(xí)就立竿見影的學(xué)科.實(shí)實(shí)在在地突破重要知識(shí)點(diǎn)的骨架內(nèi)容，比起漫無(wú)目的地做大量的題目、一個(gè)單元一個(gè)單元往下趕進(jìn)度來(lái)說(shuō)，效果會(huì)更為明顯.

不要指望一下子把那么多的東西都學(xué)好，只需把重要的題目集中起來(lái)實(shí)實(shí)在在地掌握好即可！

——節(jié)選自《減負(fù)增效學(xué)數(shù)學(xué)》