【編者的話】折紙是一門藝術(shù)，但并非僅此而已.有了數(shù)學(xué)方面的幫助，很多中國(guó)的傳統(tǒng)文化方面的素材也可以被惟妙惟肖地還原出來，今天，就請(qǐng)常老師給大家介紹一些有趣好玩的素材，千萬不要錯(cuò)過！

1 妙折七巧板，拼擺多邊形

（一）作品簡(jiǎn)介

七巧板，早在宋朝就有了.對(duì)正方形作如圖1的分割得到七巧板卻是清朝的事了.18世紀(jì)七巧板傳到歐洲后，連法國(guó)皇帝拿破侖都喜愛把玩.

如圖2，用一張A4紙裁剪成7塊等比例長(zhǎng)方形，再折出一套完整的七巧板令人嘆為觀止，據(jù)說該設(shè)計(jì)來自日本.此外中國(guó)人對(duì)于七巧板拼凸多邊形問題有重大貢獻(xiàn).

（二）制作過程

1.三角形折法

a）裁下一塊用來折三角形的模板，按照印刷好的折痕位置和方向預(yù)先折好所有折痕，如圖3所示.

b）折出雙三角.

c）將下邊的梯形塞人雙三角的上面三角形口袋中.

d）整理壓平.

e）重復(fù)a～d的過程，再做4個(gè)大小不一的三角形.

2.正方形折法

a）裁剪下用于折疊正方形的一塊長(zhǎng)方形模板紙.

b）按照印刷好的折痕位置和方向預(yù)先折出所有的折痕，如圖4所示.

c）折出一個(gè)雙正方形的結(jié)構(gòu).

d）將多余的長(zhǎng)方形分別塞人到口袋中.

3.平行四邊形的折法

a）裁剪下用于折疊平行四邊形的一塊長(zhǎng)方形模板紙，照印刷好的折痕位置和方向預(yù)先折出所有的折痕，如圖5所示.

b）折出一個(gè)直角梯形.將圖中右下的三角形內(nèi)陷形成一個(gè)“鳥嘴”，同時(shí)將左下的角折好塞人到“鳥嘴”的后面一層壓平.

c）做第二個(gè)“鳥嘴”，將剩下的一個(gè)鳥嘴結(jié)構(gòu)完成，隨后將剩下的角塞人“鳥嘴”中.整理壓平.

（三）怎么玩

用紙來折疊出七巧板比買一副現(xiàn)成的七巧板多了些“DIY”的樂趣.藏些柔性的薄塑料磁鐵在里面，就能把七巧板掛在冰箱上玩了.如圖6，還可以用蠟筆或水彩筆給七巧板上色，探究一下中國(guó)人發(fā)明的定理吧：拼出盡可能多的七巧板凸多邊形.

2 編織鏤空紙足球

編織是人類最古老的手工藝之一.最早可以追溯到石器時(shí)代，編織花樣繁多，所用原材料也是隨手可得，如藤編、柳編、竹編、棕編、草編、麥稈編等都是著名的手工藝品.

今天的編織鏤空紙足球，也是受圖1編織竹足球的啟發(fā)，由常博士來為大家講解其中的編織原理.

（一）作品簡(jiǎn)介

可以通過編織的方法用6條紙帶制作出一個(gè)鏤空足球.這種足球有12個(gè)正五邊形的洞和20個(gè)交匯點(diǎn)，在制作時(shí)每條紙帶的接口處需要用膠帶粘合連接.

這個(gè)作品花邊圖案采用三色正三角形密鋪而成，編織完成后可以通過調(diào)整紙帶的相對(duì)位置產(chǎn)生對(duì)稱的球面圖案，作品數(shù)學(xué)內(nèi)涵在于平面材料上三角形轉(zhuǎn)換到立體球面結(jié)構(gòu)后產(chǎn)生了對(duì)稱的花紋.編織過程體現(xiàn)了簡(jiǎn)單的扭結(jié)理論：環(huán)環(huán)相扣的六環(huán)沒有一個(gè)是特殊的，它們完全對(duì)稱地交叉編織出立體球面結(jié)構(gòu).

（二）制作過程

1.裁剪，從材料模板（出自學(xué)具《動(dòng)手動(dòng)腦 玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)》）上剪下6條紙條備用，如圖3所示，該紙條也可以自己制作，注意長(zhǎng)寬比為10√3：1即可.

2.編織.如圖4，將6條紙帶中任意5條編織成一個(gè)五角星.注意重疊地方一律要順著個(gè)方向覆蓋.

3.如圖5，加入第六條紙帶，步驟2結(jié)束后應(yīng)該已經(jīng)是立體結(jié)構(gòu).將第六條紙帶先粘合成一個(gè)圈，然后將它編織進(jìn)入五角星的10個(gè)開放端中.注意重疊規(guī)律同步驟2.

4.收口.整理好上下重疊關(guān)系后依次將五條紙帶的兩端粘合成圈.成品結(jié)果如圖2.

（三）怎樣玩

作品可以當(dāng)擺設(shè)陳列于房間中，也可作為玩具球拋擲，如果掌握了編織過程和材料的長(zhǎng)寬比，改用塑料或竹篾來制作此足球效果會(huì)更佳，

當(dāng)然，如果你掌握了其中的原理，不妨再想一想，下面的“蟈蟈籠”（如圖6）又是如何制成的呢？

3 榫卯結(jié)構(gòu)與組合折紙

榫卯（sun mao），是古代中國(guó)建筑、家具及其他器械的主要結(jié)構(gòu)方式，是在兩個(gè)構(gòu)件上采用凹凸部位相結(jié)合的一種連接方式.凸出部分叫榫（或叫榫頭）；凹進(jìn)部分叫卯（或叫榫眼、榫槽）.榫卯結(jié)構(gòu)十分精巧，現(xiàn)在我們雖然用得少了，但它還是有值得我們借鑒的地方.

（一）

中國(guó)古代的能工巧匠可以不用一根釘子就建起一幢屋子甚至宮殿，奧妙就在于榫卯結(jié)構(gòu)的應(yīng)用，其實(shí)，折紙中也可以體現(xiàn)出這種結(jié)構(gòu)的奇妙作用，

我們就來通過折紙制作一個(gè)正四面體的框架結(jié)構(gòu)，用榫卯插接方法建成而不靠任何其他連接手段，

準(zhǔn)備

為了做基本構(gòu)件，先取一張A4紙縱橫裁成如下的8條紙條（如圖1）.取其中一條來作如下折疊：

1.如圖2，對(duì)折長(zhǎng)邊，再“門”折.

2.如圖3，將單頭的直角整體向上折，與長(zhǎng)邊成一個(gè)30°角.

3.打開此結(jié)構(gòu)，沉折一個(gè)角（如圖4）.

4.蓋上左翼，整體折30°角平分線（如圖5）.

5.另一端同上步驟1，2，3.完成圖如圖6所示.

插合

開頭提到榫卯結(jié)構(gòu)，其實(shí)這個(gè)基本型中就既有榫也有卯了.榫頭就是那兩個(gè)直角，卯孔就是沉下去的口袋.

所以插合的時(shí)候自然就是榫頭人卯孔，但是如何保證不掉開呢？那就是靠插合后的“脊線”拱起來而實(shí)現(xiàn).

所謂的“脊線”就是基本型折疊過程中產(chǎn)生的第一道折痕.圖7示意了插合的過程.

拱起的脊線能夠有效增加摩擦力，使得插合變得結(jié)實(shí).當(dāng)三個(gè)基本構(gòu)件兩兩互插之后就形成一個(gè)穩(wěn)定的三腳架結(jié)構(gòu)，如圖8所示.

紙榫卯還可以以其他各種角度銜接.例如圖9實(shí)現(xiàn)了正交銜接，每個(gè)角都是90°.折這個(gè)結(jié)構(gòu)就需稍加改進(jìn)一下折法.我們將在（二）中繼續(xù)探索.

（二）

前面，我們介紹了折紙圈里的一種組合折法，用到了榫卯的連接思想，使得原本獨(dú)立的兩個(gè)零件在拐彎的地方連接起來，比如許多多面體的組合折法.本文將繼續(xù)介紹還不多見的90°三向插合技術(shù)，

先介紹一個(gè)零件的制作流程：

1.取A4紙1張如圖10裁開成12條.

2.其中每條按圖11所示來折成零件（注意箭頭的指示）.

3.安裝，按照?qǐng)D12的示意將12個(gè)零件插接成一個(gè)正方體.

小貼士：通過先壓平零件背后的筋可使插合更容易，待三零件的頭部都到位后再使棱突起復(fù)位.

榫卯紙結(jié)構(gòu)體現(xiàn)了中華古老的技藝在新的領(lǐng)域——折紙上煥發(fā)了新的青春，