張丙印

（上海現(xiàn)代電梯制造有限公司，上海201716）

0 引言

當電梯轎廂下行至壓縮轎廂緩沖器時，對重會經(jīng)歷上拋與回落的過程。而回落過程中由于沖擊的原因，作用在曳引輪兩側(cè)鋼絲繩的張力與正常運行運動工況有較大的差別。本文主要在力學建模的基礎(chǔ)上對對重回落過程中作用在曳引輪兩側(cè)鋼絲繩的最大張力進行探析，以便為設計曳引機、承重機架等提供技術(shù)依據(jù)。

以下為解決上述問題而進行的理論建模及求解過程，旨在求出由于此過程產(chǎn)生的曳引輪兩側(cè)的最大張力。

1 求解鋼絲繩的等效質(zhì)量

將鋼絲繩看做一彈簧，如圖1所示，使彈簧一端固定，另一端以速度V運動，假設彈簧總質(zhì)量為m，原始長度為l0，勁度系數(shù)為k，在距離固定端r處取微段dr，微段質(zhì)量dm=mdr/l0，當彈簧向下產(chǎn)生位移x時，該質(zhì)元dm相應的位移設為u，則有x/l0=u/r，即u=rx/l0。

對時間t求導，可得到質(zhì)元dm的速度：

所以質(zhì)元的動能dEK為：

因此，該結(jié)構(gòu)的等效質(zhì)量為m/3。

2 轎廂壓縮緩沖器后對重的運動過程分析

現(xiàn)以曳引比為1:1，帶補償繩張緊裝置的電梯為模型進行分析。轎廂壓縮緩沖器后對重的運動過程如圖2所示，此過程可分為3個運動工況。

圖中，P+L為轎廂自重加載重的重力；TC為隨行電纜內(nèi)部張力；Rh為轎廂側(cè)主鋼絲繩重力；VS為轎廂撞擊緩沖器時的速度；T2為轎廂側(cè)作用在曳引輪上的主鋼絲繩內(nèi)張力；T1為對重側(cè)作用在曳引輪上的主鋼絲繩內(nèi)張力；W為對重自重的重力；aW為運動工況1時，對重上行減速時的減速度；Sa為運動工況1時，對重向上的減速距離；VF為運動工況1時，對重回落后，在拉直（或沖擊）鋼絲繩時的臨界速度；V0為運動工況2時，對重回落后，在拉動轎廂運動前，此時對重的運行速度；δ為運動工況2時，對重回落后，在拉動轎廂運動前鋼絲繩的延伸量；x1為運動工況3時，對重的下行移動距離；x2為運動工況3時，轎廂的上行移動距離；RC為對重側(cè)補償繩的重力；w為補償繩張緊裝置的重力。

圖1 將鋼絲繩簡化為彈簧

圖2 轎廂壓縮緩沖器后對重的運動過程

運動工況1：轎廂壓縮緩沖器后對重向上減速運行，直至速度降低為0 m/s，然后對重回落至拉直（或沖擊）鋼絲繩時的狀態(tài)。

運動工況2：對重繼續(xù)下行，主鋼絲繩延伸，在拉動轎廂運動前，此時對重運行速度為V0。

運動工況3：對重繼續(xù)下行距離x1，拉動轎廂上行的距離為x2。

3 力學建模分析

3.1 運動工況1分析

使用整體法求解，因∑F=a∑M，所以對重側(cè)的減速度為：

式中，a為曳引系數(shù)。

從對重減速度的表達式來看，鋼絲繩越重，該減速度就越小，換言之對重的沖程就越大。因此，對重向上的減速距離為：

最終主鋼絲繩松弛部分的長度為：

式中，SL為主鋼絲繩松弛部分的長度；h為轎廂緩沖器的壓縮行程。

所以對重回落后，在拉直（或沖擊）鋼絲繩時的臨界速度為：

3.2 運動工況2分析

直到拉動轎廂為止，鋼絲繩將持續(xù)被拉伸，此時拉動轎廂的力為：

此時，鋼絲繩的延伸量為：

式中，k為主鋼絲繩的彈性系數(shù)。

當鋼絲繩延伸結(jié)束時，墜落的對重的速度將從VF減小至V0，當速度達到V0后鋼絲繩張力進一步增加將會拉動轎廂向上運動。且該過程中由于彈性產(chǎn)生的勢能是不能被忽略的，假設上梁與轎廂繩頭是剛性連接，則對重的動能變化為：

重力勢能：

彈性勢能：

由于鋼絲繩在曳引輪上被拖拽產(chǎn)生位移，因此會有能量損失，摩擦能為：

將彈性勢能與摩擦能合計為U′：

將式（2）與式（3）代入式（6）得：

化簡得：

因在測試鋼絲繩最大張力過程中發(fā)現(xiàn)，鋼絲繩的質(zhì)量相對最大張力不是同一數(shù)量級，影響很小，因此略去上式中鋼絲繩自重部分得摩擦能：

在運動工況2開始與結(jié)束的過程中，能量守恒，則可得：

將式（4）（5）（7）代入式（8）得：

化簡得：

3.3 運動工況3分析

對重繼續(xù)下行距離x1，拉動轎廂上行的距離為x2。

主鋼絲繩的張力為：

對重側(cè)的力學平衡方程為：

轎廂側(cè)的力學平衡方程為：

由式（10）得：

由式（10）～（13）可得微分方程：

得到T2的通解式為：

其中：

邊界條件求解：

取邊界條件t=0代入式（14）得：

所以：

根據(jù)式（10）得：

根據(jù)式（14）得：

令：

根據(jù)式（17）～（20），且取t=0，得：

所以：

根據(jù)式（14）得：

其中：

所以：

根據(jù)式（15）（16）（21）（22）（23），即可求得在對重回落過程中作用在曳引輪兩側(cè)鋼絲繩的最大張力。

在設計曳引機、承重機架、鋼絲繩等的過程中進行選型和計算時，將上述求得的最大張力作為計算的條件之一，即可得出所需合適的部件。

4 結(jié)語

本文嘗試利用理論力學知識將由復雜的轎廂壓縮緩沖器而產(chǎn)生的對重上拋、停止及回落的過程簡化為簡單的力學模型，旨在求出由此產(chǎn)生的鋼絲繩的最大張力，從而為相關(guān)部件的設計提供理論計算依據(jù)，保證設計的合理性。