鄧宇菁，胡列格，馮頁新

（1.湖南警察學(xué)院交通管理系，長沙 410138；2.長沙理工大學(xué)交通運(yùn)輸工程學(xué)院，長沙 410138；3.湖南大學(xué)物理與微電子科學(xué)學(xué)院，長沙 410138）

0 引言

在社會動力學(xué)（Social Dynamics）研究中，對人群集體運(yùn)動行為進(jìn)行理論研究及計(jì)算模擬是近年來的研究熱點(diǎn)之一[1]，該類研究在應(yīng)用和理論領(lǐng)域都有著重要意義[2-4]。隨著人類社會的高速發(fā)展、城市化過程的不斷增速，對人群集體運(yùn)動的規(guī)律進(jìn)行研究在市政和交通設(shè)施的建設(shè)、危機(jī)情況處理、城市交通規(guī)劃等領(lǐng)域發(fā)揮著更加重要的作用[1-8]。另外，對人群集體運(yùn)動行為進(jìn)行理論研究和計(jì)算模擬也一直是基礎(chǔ)研究中的難點(diǎn)課題之一。

近年來，理論研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)人群大量聚集，密度達(dá)到臨界值后，行人之間的相互作用發(fā)揮了重要影響，而這種作用力往往會引發(fā)很多自組織現(xiàn)象發(fā)生。同時，研究表明類似行為并不是人群運(yùn)動中的獨(dú)有現(xiàn)象。在眾多的自驅(qū)動顆粒的集體運(yùn)動中都會出現(xiàn)類似自組織現(xiàn)象。研究者們對人群運(yùn)動中的自組織行為進(jìn)行研究已有近半世紀(jì)的歷史。早期的此類研究主要以實(shí)驗(yàn)觀測為主；而隨著研究的不斷深入和高性能計(jì)算機(jī)的高速發(fā)展，理論研究特別是計(jì)算模擬起到愈來愈重要的作用。而近期，由于各種新方法的發(fā)展和計(jì)算能力的快速提高，這類自組織現(xiàn)象吸引了人們更多的研究興趣。在這些新方法中，Helbing等人發(fā)展的社會力模型[9,10]，正是最流行的一種人群運(yùn)動模型。社會力模型已經(jīng)成功預(yù)測出很多人群集體運(yùn)動中出現(xiàn)的獨(dú)特模式和行為（例如人群疏散中的阻塞效應(yīng)，快即是慢現(xiàn)象）[9-14]。而自從社會力模型被人們廣泛應(yīng)用，就不斷有研究者們對它進(jìn)行改進(jìn)、修正和進(jìn)一步發(fā)展[15-22]。其中，筆者和合作者們在近些年發(fā)現(xiàn)行人的心理因素和行人運(yùn)動的隨機(jī)性對人群的運(yùn)動發(fā)揮著重要的影響[21]。因此，我們基于傳統(tǒng)的社會力模型，在其基礎(chǔ)上引入兩個變量：焦慮因子和隨機(jī)因子，并構(gòu)建了改進(jìn)的社會力模型。我們發(fā)現(xiàn)該模型可以準(zhǔn)確地描述人們的心理因素和隨機(jī)行為對人群集體運(yùn)動的影響，從而能夠更加準(zhǔn)確地模擬人群的疏散行為。

在本文中，我們基于上述改進(jìn)的社會力模型，對人群相向運(yùn)動時的自組織行為開展了計(jì)算模擬研究，重點(diǎn)關(guān)注該過程中的行道形成現(xiàn)象（Lane Formation）。我們成功地在計(jì)算模擬中再現(xiàn)了現(xiàn)實(shí)生活中觀察到的人群分流現(xiàn)象，并對該現(xiàn)象的實(shí)時過程進(jìn)行了細(xì)致的模擬。我們的模擬結(jié)果表明，在特定情況下，人群相向而行30秒后會出現(xiàn)人群分流的跡象，而在200秒后可以達(dá)到穩(wěn)定的集體運(yùn)動模式。同時，我們對人行道的寬度、人群密度對該自組織現(xiàn)象的影響進(jìn)行了分析。計(jì)算結(jié)果表明當(dāng)人行道寬度增加時，會出現(xiàn)多組相對運(yùn)動的人流，而人群密度增加時，則需要經(jīng)過更長的時間人群才能達(dá)到穩(wěn)定的集體運(yùn)動模式。我們的研究可以幫助研究者們更好地理解人群集體運(yùn)動中的自組織現(xiàn)象和集體行為，對道路交通設(shè)置的設(shè)計(jì)、建設(shè)有積極的作用。

1 計(jì)算方法：改進(jìn)的社會力模型

傳統(tǒng)的社會力模型的主要思想是采用類似于牛頓方程的動力學(xué)方程描述人群的集體運(yùn)動行為[9,0]：

該公式中，mi代表行人質(zhì)量，vi代表行人的速度矢量，行人沿著單位矢量的方向具有大小為的期望速度（Desired Velocity），該期望速度的數(shù)值存在上限vmax，τi表示行人速度變化的響應(yīng)時間，我們用描述行人在運(yùn)動過程中受到的作用力。

這里，fij描述不同行人之間的作用力，具有下列形式:

其中，Aiexp[rij-dij]/Bi代表行人間的排斥相互作用（由行人的社會性決定），Ai和Bi是常數(shù)，我們在這里用kg(rij-dij)來描述行人間的排斥相互作用，而用來表示行人間的摩擦作用力。

另外，fiW表示行人與邊界間的相互作用,形式和fij相似：

在本文中，我們在改進(jìn)的社會力模型中額外引入了行人運(yùn)動的隨機(jī)性。因此，我們在標(biāo)準(zhǔn)的社會力模型中引入一個新的參數(shù)：隨機(jī)因子。

具體來說，行人的運(yùn)動有別于普通的物質(zhì)顆粒。無生命顆粒的運(yùn)動是機(jī)械式和決定性的；而行人的運(yùn)動具有一定的隨機(jī)性和不確定性。因此，我們在社會力模型中考慮隨機(jī)因子trandom對行人運(yùn)動的影響。行人下一步的速度并非由動力學(xué)方程完全決定，具體來說，我們在決定期望運(yùn)動方向的單位矢量e0i(t)上引入隨機(jī)性的影響。因此，修正后的單位矢量表示成下列形式：

其中，erandom是單位矢量，它的方向是隨機(jī)決定的；trandom是隨機(jī)因子，無量綱，它決定隨機(jī)行為所占的比重。在本文中，我們采用的隨機(jī)因子范圍是[0,1]；e0i(t)'是修正后的單位矢量，它表示經(jīng)過修正后的期望運(yùn)動的方向。

2 模擬結(jié)果分析

隨著人類社會的發(fā)展和城市化進(jìn)程的推進(jìn)，在大城市中常常會出現(xiàn)人群聚集的現(xiàn)象。如果我們稍加留意，就會發(fā)現(xiàn)很多人群集體運(yùn)動的自組織現(xiàn)象。如圖1所示，相向運(yùn)動的人流會自發(fā)形成“Lane Formation”，這就是人群集體運(yùn)動中自組織現(xiàn)象的典型代表。為了研究人群中的這類自發(fā)行為，研究者們借助不同的計(jì)算模擬（包括社會力模型、元胞自動機(jī)模型、流體動力學(xué)模型，等等）進(jìn)行了大量的研究。

圖1 對向運(yùn)動的人群中的行道形成（Lane Formation）現(xiàn)象（a）低人群密度情況；（b）高人群密度情況

最近，我們采用改進(jìn)的社會力模型成功研究了人群的集體疏散行為。我們的計(jì)算結(jié)果總結(jié)在圖2（a）中，如圖所示，我們考慮一個尺寸為15m×15m的房間，房門寬度是1.2m。行人的質(zhì)量分布于[70kg,90kg]的范圍內(nèi)，行人半徑ri則在[0.35m,0.45m]范圍內(nèi)平均分布。計(jì)算中的其他參數(shù)總結(jié)如下：τi=0.5s，vmax=7m/s，κ=2.4×105kg s-1，k=1.2×105kg s-1，Ai=2×103N，Bi=0.08m，行人的最大速度被限制在10m/s以內(nèi)。人群疏散是一個典型的人群集體運(yùn)動問題。我們基于改進(jìn)的社會力模型對人群疏散行為進(jìn)行了計(jì)算模擬。模擬結(jié)果顯示，在行人密度較大、行人間距離較小的恐慌性、競爭性疏散模式下，心理因素和隨機(jī)因素對人群的運(yùn)動行為有明顯的影響。在疏散過程中，行人一定程度的心理焦慮會提高人群的疏散效率；但過高的焦慮程度則不利于人群的快速疏散。另外，行人運(yùn)動的隨機(jī)性也會明顯縮短人群疏散時間；但是隨機(jī)因子的具體數(shù)值在一定范圍內(nèi)并不會明顯影響行人的疏散效率。

圖2 （a）人群在尺寸為15m×15m的房間內(nèi)疏散的模擬結(jié)果呈現(xiàn)出典型的阻塞現(xiàn)象;（b）相向運(yùn)動的人群表現(xiàn)出典型的行道形成現(xiàn)象

在本文中，我們采用同樣的模型，對相向運(yùn)動人群中的行道形成現(xiàn)象進(jìn)行系統(tǒng)研究。如圖2（b）所示，我們首先考慮人行道總寬度為5m，人群密度為1人/m2，行人運(yùn)動平均速度為1m/s，分別向左右運(yùn)動的行人數(shù)目相等（分別用五星和圓球表示）。模型的左右邊界我們采用周期性邊界條件進(jìn)行模擬，以保持人流的穩(wěn)定運(yùn)動。由模擬結(jié)果我們可以看到，在模擬時間達(dá)到200s后，相向運(yùn)動的人群自發(fā)形成了各自的行道，成功再現(xiàn)了現(xiàn)實(shí)中觀察到的Lane Formation現(xiàn)象。

圖3中展示了行道形成現(xiàn)象的實(shí)時分析。從圖3（a）到圖2（d），模擬時間分別從 10s增加到 200s?；谟?jì)算機(jī)模擬結(jié)果，我們發(fā)現(xiàn)模擬時間為10s時，人群的分布呈現(xiàn)隨機(jī)特性，并沒有人群分流跡象的出現(xiàn)。而隨著時間的推移，當(dāng)模擬時間達(dá)到30s至80s時，出現(xiàn)了自發(fā)行道形成的初步形態(tài)。而當(dāng)模擬時間達(dá)到200s時，人群運(yùn)動形成了穩(wěn)定的相互分開的行道。更長時間的模擬結(jié)果和圖3（d）中顯示的模式保持一致。

圖3 行道形成現(xiàn)象的實(shí)時分析

圖4 更寬的人行道中行道形成現(xiàn)象的實(shí)時分析

為了更好地理解人群集體運(yùn)動中的行道形成現(xiàn)象，我們繼續(xù)研究了人行道寬度和人群密度對該自組織行為的影響。如圖4所示，當(dāng)人行道寬度增加到20m，而人群密度保持不變時，人群自發(fā)形成行道分離的行為與上文的結(jié)果類似。當(dāng)模擬時間達(dá)到80s時，出現(xiàn)行道形成的初步跡象。而當(dāng)時間達(dá)到200s時，人群形成了穩(wěn)定的分離行道。

另外，人群的密度會對人群運(yùn)動產(chǎn)生更重要的影響。如圖5所示，人群密度達(dá)到2人/m2時，計(jì)算模擬中需要更長的時間，人群中才會形成穩(wěn)定的分離行道。計(jì)算結(jié)果表明當(dāng)模擬時間到達(dá)200s時，初步的行道分離跡象出現(xiàn)（圖5（a））。而時間達(dá)到1000s以上時，穩(wěn)定的運(yùn)動模式才會出現(xiàn)（圖5（b））。因此，我們發(fā)現(xiàn)與人行道寬度相比，人流的密度是影響相向人群自組織行為更加重要的因素。

圖5 更密集人群中行道形成現(xiàn)象的實(shí)時分析

3 結(jié)語

綜上所述，本文在社會力模型的基礎(chǔ)上，考慮了行人運(yùn)動時的隨機(jī)特性對人群運(yùn)動的影響，并對社會力模型進(jìn)行了修正。采用改進(jìn)后的社會力模型，我們對人群集體運(yùn)動中的自組織現(xiàn)象進(jìn)行研究，重點(diǎn)關(guān)注相向運(yùn)動的人群中的行道形成現(xiàn)象。通過模擬，我們再現(xiàn)了現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)現(xiàn)的人群疏散過程中的阻塞效應(yīng)，以及人群對向運(yùn)動時的行道形成現(xiàn)象。通過研究不同時間節(jié)點(diǎn)下的人群分別情況，我們對行道形成的實(shí)時行為進(jìn)行了研究分析。此外，我們詳細(xì)研究了人行道的寬度和人群密度對人群自組織行為的影響。計(jì)算模擬表面，人行道寬度不會顯著影響行道形成的過程，說明該過程表現(xiàn)出一定的局域特性。而人群密度的增加會減慢行道形成過程的完成。綜上，我們的計(jì)算模擬結(jié)果可以幫助研究者們更深入地理解人群運(yùn)動中的自組織現(xiàn)象，為交通設(shè)施的設(shè)計(jì)和建設(shè)提供理論依據(jù)。