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        軟I-代數(shù)

        2018-11-17 02:50:06孔祥智
        關(guān)鍵詞:偏序本原同構(gòu)

        董 麗,孔祥智,吳 聰

        江南大學(xué) 理學(xué)院,江蘇 無(wú)錫 214122

        1 引言

        近幾十年來,研究不確定性問題的新型工具主要是1965年Zadeh提出的模糊集理論以及隨后發(fā)展起來的粗糙集等數(shù)學(xué)理論[1]。1999年Mololdtsov指出這些理論在處理某些問題時(shí)都有各自的不足之處[2],由于他提出的軟集概念對(duì)事物的描述沒有限制,從而不僅能夠覆蓋上述概念,也能夠克服上述概念的缺陷。而后Maji等[3-6]深入研究了軟集理論與模糊軟集理論。Maji[7]、Kong[8]、Feng[9]等利用軟集的概念,研究了軟決策問題的理論及算法。軟集與已有的代數(shù)概念相結(jié)合,不但獲得代數(shù)研究的新思路,同時(shí)為軟集的深入研究提供了理論基礎(chǔ),如軟 BCK/BCI代數(shù)[10]、軟群[11]、軟半群[12]等。這些模糊數(shù)學(xué)概念為解決經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程學(xué)、社會(huì)科學(xué)、醫(yī)療科學(xué)等復(fù)雜的不確定問題的決策提供了有力的工具。I-代數(shù)(Incidence Algebra)的概念首先由Rota[13]提出,由于其在組合數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值,一直是代數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)之一[14-17]。本文首次將I-代數(shù)與軟集相結(jié)合,提出軟I-代數(shù)的概念,并研究其基本代數(shù)性質(zhì),為進(jìn)一步研究打下基礎(chǔ)。據(jù)文獻(xiàn)[14],I-代數(shù)的定義為:

        稱I(X,K)為X上的I-代數(shù)。

        無(wú)論是軟集還是I-代數(shù),它們都有很好的理論及應(yīng)用價(jià)值[18-20]。本文試圖將軟集和I-代數(shù)聯(lián)系在一起,這樣做不僅可以把二者的研究方法及理論應(yīng)用到對(duì)方的研究中去,還能為二者的研究提供新思路,并為以后的深入研究奠定基礎(chǔ)。

        2 預(yù)備知識(shí)

        定義1[1]設(shè)U為初始全集,E為參數(shù)集,P(U)為U的冪集,且A?E。 fA:E→P(U)滿足條件,對(duì)x?A,fA(x)=φ的映射,稱

        為U上的軟集,簡(jiǎn)而言之,軟集是指標(biāo)化的冪集。

        以下如無(wú)說明,總記B為一非空偏序集,B的冪集記為 P(B),μ:B×B→P(B)為 B2=B×B上的軟集,即該軟集的指標(biāo)集為B2,若軟集μ滿足:

        (1)μ(x,y)?[x,y]={u∈B,x≤u≤y},當(dāng) x<y時(shí);

        (2)μ(x,x)={x};

        (3)μ(x,y)為空集,其他。稱μ為B2上的有限軟集。

        定義2設(shè)B、C為非空偏序集,μ、ν分別為B2、C2上的有限軟集,稱一一映射 f:B→C為軟同構(gòu)映射。若對(duì)任意的 x,y∈B,有 f(μ(x,y))=ν(f(x),f(y)),也稱 μ 與ν同構(gòu)。

        設(shè)K為域,μ為B2上的有限軟集,I(B)為B2到K的映射的全體,如下定義I(B)上的加法與乘法:

        稱I(B)為B上的基于K的軟I-代數(shù),簡(jiǎn)稱軟I-代數(shù),而稱μ為I(B)的基礎(chǔ)軟集。

        例1若在局部有限偏序集X上定義基礎(chǔ)軟集:當(dāng)x≤y時(shí),μ(x,y)=[x,y],其余的 μ(x,y)均為空集,則該軟I-代數(shù)的一個(gè)子代數(shù)即為Rota定義的I-代數(shù)。

        3 主要定理及證明

        設(shè)K為域,μ、ν分別為偏序集B、C上的有限軟集,而I(B)、I(C)分別為B、C上的軟I-代數(shù),將證明如下主要結(jié)果:

        定理1 I(B)與I(C)同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)偏序集B、C同構(gòu)且μ與ν同構(gòu)。

        在軟I-代數(shù)I(B)中有乘法單位元σ,這里:

        在 {φα:α∈A}上定義一個(gè)偏序關(guān)系,即,若 φψ=0 ,稱 I(B)中

        記B={xα,α∈A},其中A為B中元素的下標(biāo)集,并如下定義φα∈I(B):的兩個(gè)元素φ、ψ正交。若I(B)中的元素φ不能表示成兩個(gè)非零正交冪等元素的和,稱φ是本原的。關(guān)于φα(α∈A),有如下五個(gè)引理。

        引理1(冪等性)

        證明對(duì) xβ,xγ∈B ,由 φα的定義及有:

        引理2(正交性)

        證明對(duì)xβ,xγ∈B,由定理知:

        即命題成立。

        引理3 φα(α∈A)是本原性的。

        證明設(shè)φα=f+g,這里 f、g是非0正交冪等元,故gφα=φαg=g ,再 ?xβ,xγ∈B ,g(xβ,xγ)=gφα(xβ,xγ),只有α=β=γ時(shí),才可能g(xα,xα)≠0又g≠0,故 g(xα,xα)≠0。同理 f(xα,xα)≠0。這樣 gf(xα,xα)≠0,這與 g、f正交相矛盾,故有g(shù)=0或 f=0,這又與假設(shè)矛盾,因此φα是本原的。

        引理4(極大性) {φα:α∈A}是極大正交本原冪等元集。

        證明設(shè)也是非0本原正交冪等元集。由冪等性知 f2(xα,xα)=f(xα,xα),從而有 f(xα,xα)=0或 f(xα,xα)=1 。 由 正 交 性 知 f(xα,xα)=fφα(xα,xα)=φαf(xα,xα)=0 ,故 f(xα,xα)=0 。同樣由正交性,對(duì)任意的 β,γ∈A,有:

        則g、φβ為正交冪等元集且 f=g+φβ。這與{f:f∈I(B)}是另一極大本原正交冪等元集矛盾,故至多存在一個(gè)α∈A 使得 f(xα,xα)=1 ,其余 f(xβ,xβ)=0 。若對(duì)任意的 α∈A有 f(xα,xα)=0 ,則當(dāng) μ(xα,xβ)={xα,xβ}時(shí),有:

        同樣由 f的冪等性及卷積的定義,可以利用歸納法證明對(duì)任意的 xα、xβ,f(xα,xβ)=0 ,這與 f 為非零元矛盾,從而存在唯一的α∈A,使得 f(xα,xα)=1,而對(duì)其余的 β∈A,f(xβ,xβ)=0,記此 f為 fα,這樣可記極大本原正交冪等元集 {f:f∈I(B)}為 {fα:α∈A},即 I(B)中極大正交本原冪等元集的勢(shì)相同。

        定理1的證明:

        首先,在 I(B)的極大正交本原冪等元集{φα:α∈A}

        故 f=0,這與假設(shè)矛盾。故{φα:α∈A}是極大非0正交本原冪等元集。

        引理5 I(B)中的任一極大正交本原冪等元集的勢(shì)相同。

        證明設(shè){f:f∈I(B)}是另一極大本原正交冪等元集。由冪等性 f2=f 可知 f(xα,xα)=0 或 f(xα,xα)=1 。若存在 α≠β ,使得 f(xα,xα)=1,f(xβ,xβ)=1,令:上定義偏序“當(dāng)且僅當(dāng),由,知偏序“”滿足自反性,若 xα≤xβ,令:

        (1)σ=φασ+σφα+σ2

        (2)υ=φβυ+υφβ+υ2

        令τ∈I(B),則有:

        由于 φατφβ=0。將(1)、(2)替換上述等式中的 σ、v,可得:

        再用式(1)、(2)替換上述等式中的 σ、v ,可得gατgβ∈J4。經(jīng)過一系列這種代入運(yùn)算,不難歸納得到gατgβ∈J2m。又因?yàn)?,所?gατgβ=0 。

        這樣證明了軟I-代數(shù)I(B)的極大正交本原冪等元集上的偏序在同構(gòu)意義下是唯一的,均與(B,≤)同構(gòu),從而由。在此結(jié)果下,軟集。故定理的必要性成立。由定義知,充分性是顯然的,證畢。

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