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        巧借花容添月色
        ——極化恒等式在數(shù)量積問題中的應(yīng)用賞析

        2018-11-17 06:08:54章文昊
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2018年21期
        關(guān)鍵詞:解題數(shù)學(xué)

        ☉江 蘇 省 常 熟 中 學(xué) 章文昊

        ☉江蘇省常熟市滸浦高級中學(xué) 殷偉康

        一、極化恒等式概念的解讀

        上式表明向量的數(shù)量積可以由向量和、差運算的模來表示,該式溝通了向量的數(shù)量積與向量線性運算的關(guān)系,將不可度量的向量的數(shù)量積關(guān)系轉(zhuǎn)化為可度量、可計算的數(shù)量關(guān)系.

        圖1

        極化恒等式的幾何意義:如圖1,在△ABC中,D是BC的中點,則向量的數(shù)量積可轉(zhuǎn)化為中線長與半底邊長的平方差,揭示了三角形中線與邊的關(guān)系,也可以理解為向量的數(shù)量積可表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的.形象地通過幾何圖形將向量的數(shù)量積進(jìn)行合理展示,促進(jìn)學(xué)生對數(shù)量積概念的理解.極化恒等式最明顯的特征是兩個向量必須共起點,點D是兩個向量夾角所對第三向量(這兩個向量之差)上的中點.極化恒等式將向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為兩個向量模的關(guān)系,從而建立起了向量與幾何長度(數(shù)量)之間的關(guān)聯(lián),實現(xiàn)了向量與幾何、代數(shù)三者的有機(jī)結(jié)合,有利于培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

        二、極化恒等式的應(yīng)用賞析

        在求解向量的數(shù)量積問題時,常用方法是基底法、坐標(biāo)法和圖形法(幾何意義法),但有時其解題過程由于運算復(fù)雜、過程繁冗而導(dǎo)致錯誤.若能巧用極化恒等式,往往化繁為簡,快速找到解題突破口.本文以近幾年高考、江蘇省大市級統(tǒng)考試題為例,對極化恒等式在數(shù)量積問題中的應(yīng)用進(jìn)行歸類剖析,探索其解題規(guī)律,并賞析其獨特的解題魅力.

        (一)用極化恒等式巧求數(shù)量積的值

        例1(2016年江蘇卷)如圖2,在△ABC中,D是BC的中點,E,F(xiàn)是AD上的兩個三等分點,的值是______.

        圖2

        評注:解決平面向量問題的通性通法是選好一組不共線的基底向量,并運用它們表示其他向量.本題的解題關(guān)鍵是把已知條件與所求目標(biāo)轉(zhuǎn)化為運用來表示.平面向量數(shù)量積問題的另一種解法就是建立平面直角坐標(biāo)系,把數(shù)量積轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的運算.運用向量的性質(zhì)可以將分別轉(zhuǎn)化為共起點的向量數(shù)量積,利用極化恒等式構(gòu)造方程組,從而求出的值. 對于從中線與底邊這兩個方向?qū)ふ一紫蛄康臄?shù)量積問題,可以運用極化恒等式,把數(shù)量積轉(zhuǎn)化為數(shù)量的運算,這樣能更快地尋找到解題思路.

        例2 (2018年蘇北四市高三第一學(xué)期期末試題)如圖3,在△ABC中,已知AB=3,AC=2,∠BAC=120°,D為邊BC的中點.若CE⊥AD,垂足為E,則的值為______.

        圖3

        圖4

        解法1(坐標(biāo)法):如圖4,以A為原點,AB所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則

        評注:不少同學(xué)試圖從基底法角度進(jìn)行探求,結(jié)果無功而返.嘗試坐標(biāo)法,卻又不知如何合理建立坐標(biāo)系.解法1是根據(jù)圖形的特征,變換角度,重新設(shè)置圖形(便于三角形的頂點用坐標(biāo)表示),如圖4,以A為原點,AB所在直線為x軸,建立坐標(biāo)系,將向量數(shù)量積問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來求解.代數(shù)與幾何二者的有效結(jié)合,可以最大程度上優(yōu)化解題過程,提高解題效率.解法2是利用余弦定理先計算出BC長度,運用極化恒等式求出|,再利用面積關(guān)系求得||, 然后利用向量知識將轉(zhuǎn)化為僅含|的關(guān)系式即可.解法3是在解法2基礎(chǔ)上的改進(jìn),利用△ACD的三條邊及余弦定理計算出cos∠ADC值,利用Rt△DCE的邊角關(guān)系求出||,再運用極化恒等式將即可.

        (二)用極化恒等式探求數(shù)量積的最值

        例3(2012年南京市二模)在面積為2的△ABC中,E,F(xiàn)分別是AB,AC的中點,點P在直線EF上,則—的最小值是______.

        解法1(坐標(biāo)法):由題設(shè)知,△PBC的面積為1,以B為原點,BC所在直線為x軸,過點B與直線BC垂直的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)

        圖5

        變式 在面積為2的△ABC中,E,F(xiàn)分別是AB,AC的中點,點P是直線EF上的任意一點,則的最小值是______.

        解析:如圖5,取BC中點D,

        評注:對例3及其變式的解題方法進(jìn)行反思:能否找到這類問題的本質(zhì)?這類問題隱含的數(shù)學(xué)背景是什么?這類問題能否進(jìn)行推廣?目標(biāo)問題—實質(zhì)上是外森比克不等式的另一種表示形式.外森比克不等式是經(jīng)典數(shù)學(xué)模型,已知a,b,c是△ABC的三條邊長,△ABC的面積為S,則a2+b2+c2≥4S.運用極化恒等式對例3變式進(jìn)行如下推廣.

        推廣1:在面積為2S的△ABC中,E,F(xiàn)分別是AB,AC的中點,點P是直線EF上的任意一點,則—的最小值是

        推廣2:在面積為2S的△ABC中,E,F(xiàn)分別是AB,AC的中點,點P是直線EF上的任意一點,則的最小值是

        推廣3:在面積為2S的△ABC中,E,F(xiàn)分別是AB,AC的中點,點P是直線EF上的任意一點,當(dāng)-2≤λ≤2,則

        通過問題的系列變式和推廣,層層遞進(jìn),探究數(shù)學(xué)規(guī)律,體驗數(shù)學(xué)研究過程,領(lǐng)悟問題本質(zhì),把握方法要領(lǐng),促進(jìn)思維能力提升,并能從中領(lǐng)略與欣賞極化恒等式之妙用,培育數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)模型等數(shù)學(xué)素養(yǎng).

        (三)用極化恒等式確定數(shù)量積的取值范圍

        例4(2015年南通市三模)如圖6,已知正方形ABCD的邊長為2,點E為AB的中點.以A為圓心,AE為半徑,作弧交AD于點F.若P為劣弧E(F上的動點,則P—的取值范圍是______.

        解析:如圖6,取CD中點M,

        由極化恒等式得

        圖6

        向量數(shù)量積問題具有綜合性強(qiáng)、靈活性大等特點,其難點是解題方向不明確,因而解題方法和解題工具的合理選擇顯得尤為重要.極化恒等式不僅是一種基向量思想的公式化表達(dá)式,而且在解決向量數(shù)量積問題中有著不可估量的作用.在欣賞極化恒等式妙用過程中,體會到極化恒等式也是破解向量數(shù)量積問題的利器之一.因而在解決掌握向量數(shù)量積最值、取值范圍問題通性通法(基底法、坐標(biāo)法、幾何意義法)的基礎(chǔ)上,若能根據(jù)圖形特征,巧妙地運用極化恒等式進(jìn)行思考與探求,實現(xiàn)數(shù)形思維的轉(zhuǎn)換,有利于拓寬解題思路和方法,提升直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

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