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        你繞路了嗎?

        2018-11-16 09:09:00季黎明
        初中生世界·八年級(jí) 2018年10期
        關(guān)鍵詞:對(duì)稱(chēng)點(diǎn)共線(xiàn)油庫(kù)

        季黎明

        伴隨著“軸對(duì)稱(chēng)圖形”這一章節(jié)學(xué)習(xí)的結(jié)束,我們遇到了越來(lái)越多的路徑最值問(wèn)題,下面就其中常見(jiàn)的兩種錯(cuò)誤題型進(jìn)行剖析.

        【例1】如圖1,A、B是兩個(gè)蓄水池,都在河岸l的同側(cè).為了灌溉作物要在河岸建一個(gè)抽水站P,將河水送到A、B兩地.問(wèn)該站P建在河岸什么地方,可使所修的渠道最短,試在圖中確定該點(diǎn)P.

        【錯(cuò)解】如圖2,過(guò)點(diǎn)A作AP⊥l,垂足即為點(diǎn)P.

        【糾錯(cuò)】我們將該問(wèn)題轉(zhuǎn)為數(shù)學(xué)問(wèn)題,即在l上尋找一點(diǎn)P使得PA+PB取得最小值.上述解答中AP⊥l僅滿(mǎn)足了PA最短,而這并不能保證PA+PB的值最小,所以,解決該問(wèn)題我們需要將視線(xiàn)從局部最值轉(zhuǎn)移到整體最值來(lái)考慮.

        【正解】作點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1,在l上任取點(diǎn)P(如圖3),由對(duì)稱(chēng)性得:PA=PA1,則PA+PB=PA1+PB.根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短,當(dāng)P、A1、B三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí),PA1+PB最短且等于A1B.所以連接A1B交直線(xiàn)l于點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所求(如圖4).

        【例2】如圖5,兩條公路OA、OB相交,在兩條公路的中間有一個(gè)油庫(kù),設(shè)為點(diǎn)P.如果在兩條公路OA、OB上各設(shè)置一個(gè)加油站C、D,請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)方案,把兩個(gè)加油站設(shè)在何處,可使運(yùn)油車(chē)從油庫(kù)出發(fā),經(jīng)過(guò)一個(gè)加油站,再到另一個(gè)加油站,最后回到油庫(kù)所走的路程最短.

        【錯(cuò)解】如圖6,過(guò)點(diǎn)P作PC⊥OA于C,PD⊥OB于D,垂足分別為點(diǎn)C、D.

        【糾錯(cuò)】同樣地將該問(wèn)題轉(zhuǎn)為數(shù)學(xué)問(wèn)題,即要求在射線(xiàn)OA、OB上尋找合適的點(diǎn)C、D,使得PC+CD+PD三條線(xiàn)段之和作為整體取得最小值.在上述解答中PC⊥OA、PD⊥OB僅滿(mǎn)足PC和PD最小,忽略了線(xiàn)段CD的長(zhǎng)度對(duì)整體最值的影響.

        【正解】分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1、P2,在射線(xiàn)OA、OB上任取點(diǎn)C、D(如圖7),由對(duì)稱(chēng)性可知:CP=CP1,DP=DP2.則PC+CD+PD=CP1+CD+DP2.根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短,當(dāng)P1、C、D、P2四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí),CP1+CD+DP2最短且等于P1P2.所以,連接P1P2交OA、OB于點(diǎn)C、D,點(diǎn)C、D即為所求(如圖8).

        【總結(jié)】路徑最短問(wèn)題通常涉及多條線(xiàn)段的和,我們需要認(rèn)識(shí)到個(gè)別線(xiàn)段取得最小值并不能確保整體也取得最小值.針對(duì)此類(lèi)問(wèn)題,我們可以利用軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì),將線(xiàn)段和轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的線(xiàn)段長(zhǎng),這是解決問(wèn)題的常用策略.

        (作者單位:江蘇省無(wú)錫市河埒中學(xué))

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