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        善用基本模型,速求最小值

        2018-11-16 09:09:00錢玉玲
        初中生世界·八年級 2018年10期
        關鍵詞:模型

        錢玉玲

        求兩條或兩條以上線段和的最小值問題,是同學們的“老朋友”了.解決這類問題的策略很多,其中利用軸對稱變換轉(zhuǎn)化線段,是一種重要的方法.分析這類問題時,我們一般要先分析相關點是定點還是動點,往往動點個數(shù)越多,難度越大.下面就兩個定點兩個動點(簡稱“兩定兩動”)型線段和的最小值問題與同學們一起探討,期待給同學們一些啟發(fā).

        【基本模型】如圖1,點A、B是銳角MON外部任意兩個定點,在∠MON的兩邊OM、ON上分別確定點P、Q,使得AP+PQ+QB的值最小.

        【解析】A、B兩點確定,P、Q兩點分別是OM、ON上的動點,如圖2,根據(jù)“兩點之間線段最短”,連接AB與OM、ON分別交于點P、Q,點P、Q即為所作.接下來運用這一基本模型解決問題.

        【例1】如圖3,點A、B分別是銳角MON內(nèi)部、外部一點,在∠MON的兩邊OM、ON上各找一點P、Q,使得AP+PQ+QB的值最小.

        【解析】顯然,連接AB無法解決問題.類比基本模型,相同之處是A、B兩點是定點,P、Q兩點是動點;不同的是定點A在∠MON的內(nèi)部.那么能否轉(zhuǎn)化為基本模型呢?如圖4,作點A關于OM的對稱點A′,由軸對稱性質(zhì)可知PA′=PA,則AP+PQ+QB=A′P+PQ+QB,所以當A′P+PQ+QB的值取最小時,AP+PQ+QB的值最小.觀察圖4,點A′、B在∠MON的外部,與基本模型一致,連接A′、B即可(如圖5).

        【變式】如圖6,點A、B是銳角MON內(nèi)部任意兩點,在∠MON的兩邊OM、ON上各找一點P、Q,使得AP+PQ+QB的值最小.

        【解析】類比例1,只需為A、B兩個定點尋找“替身”,轉(zhuǎn)化到∠MON的外部即可.顯然,軸對稱及軸對稱的性質(zhì)是尋找“替身”的“出路”(如圖7),結合基本模型,連接A′B′,即可解決問題(如圖8).

        【實際應用】某中學八(2)班舉行元旦晚會,桌子擺成如圖9所示的兩直排(圖中OA、OB).OA桌面上擺滿橘子,OB桌面上擺滿糖果.站在C處的小明同學先拿橘子,再拿糖果,然后到D處的座位上.請你幫他設計一條行走路線,使其所走路程最短.

        【解析】先將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題.兩排桌子構成了∠AOB,小明出發(fā)地C和座位D可看成∠AOB內(nèi)部兩個定點,根據(jù)前面的解題經(jīng)驗,只需分別作出點C關于OA的對稱點C′,點D關于OB的對稱點D′,連接C′D′與OA、OB分別交于點P、Q,點P、點Q即是小明拿橘子、糖果的位置(如圖10).

        同學們,“題海”茫茫,在學習的過程中,要善于總結歸納基本圖形;在其他具體問題情境中,學會利用“轉(zhuǎn)化”思想向基本模型“靠攏”,可以達到事半功倍的效果.

        (作者單位:江蘇省無錫市梅梁中學)

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