長春理工大學 電子信息工程學院，吉林長春 130022

一、引言

20世紀80年代，基于各種復雜系統(tǒng)研究基礎之上，分數(shù)階微積分在控制領域的應用受到研究者關注[1]。目前工業(yè)控制系統(tǒng)中大多采用傳統(tǒng)的PID控制器，分數(shù)階PIλDμ是傳統(tǒng)PID的一般性，因其多了兩個參數(shù)λ、μ，其過程更細膩、更具有靈活性，分數(shù)階PIλDμ控制器比整數(shù)階PID控制器有更好的控制品質(zhì)、動態(tài)特性和更強的魯棒性[2]。

在實際控制系統(tǒng)中，常常會伴有強干擾和噪聲的影響，1960年卡爾曼（Kalman）提出了卡爾曼濾波理論，把狀態(tài)空間概念引入估計理論中，采用時域上的遞推算法在數(shù)字計算機上進行數(shù)據(jù)濾波處理，卡爾曼濾波在控制領域得到廣泛應用[3]。

本文首先運用MatLab軟件中可視化系統(tǒng)辨識工具箱模塊對光電吊艙俯仰環(huán)進行數(shù)學模型參數(shù)辨識，在不考慮擾動條件下對系統(tǒng)模型設計分數(shù)階控制器進行仿真分析，通過改變系統(tǒng)增益大小分析對比得出，采用分數(shù)階控制器控制，系統(tǒng)具有較強的增益魯棒性。實際控制系統(tǒng)中常伴有擾動和噪聲，單純的分數(shù)階控制器無法抑制擾動的影響，在分數(shù)階控制器基礎上加入卡爾曼濾波器對噪聲進行濾除，仿真結(jié)果顯示，卡爾曼濾波器與分數(shù)階控制器結(jié)合對吊艙系統(tǒng)控制，可以有效濾除噪聲，增強系統(tǒng)魯棒性和抗干擾能力。因此，對分數(shù)階控制器和卡爾曼濾波器的理論與應用研究有重要意義。

二、分數(shù)階微積分及分數(shù)階控制器

1、分數(shù)階微積分理論

分數(shù)階微積分主要研究任意階次的微分、積分算子的特性及其應用。其一般分數(shù)階表達式為：

t1—微積分的上限；

t0—微積分的下限；

α—實數(shù)或復數(shù)；

Re(α)—復數(shù)α的實部。

對于分數(shù)階微積分的定義，不同的數(shù)學家給出不同定義，在實際控制系統(tǒng)應用中，Caputo分數(shù)階微積分定義更適合分數(shù)階微積分初始值問題的求解[4]。

2、分數(shù)階控制器

分數(shù)階控制系統(tǒng)采用分數(shù)階微分方程描述，對于單輸入單輸出的分數(shù)階系統(tǒng)模型，可描述為：

其中，αi(i=1, 2,…,n)、βj(j=1, 2,…,m) —任意實數(shù)；

滿足αn>αn-1>…>α0>0，βm>βm-1>…>β0>0，對上式進行拉普拉斯變換，可得到分數(shù)階控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

不同的控制系統(tǒng)和不同的控制器，可以將其分為以下幾類：

（1）整數(shù)階控制器控制的整數(shù)階控制系統(tǒng)；

（2）整數(shù)階控制器控制的分數(shù)階系統(tǒng)；

（3）分數(shù)階控制器控制的整數(shù)階系統(tǒng)；

（4）分數(shù)階控制器控制的分數(shù)階系統(tǒng)[5]。

對于分數(shù)階控制器，微分方程式為：

其中，Kp—比例系數(shù)；

Kd—微分系數(shù)；

Ki—積分系數(shù)；

μ—微分階數(shù)；

λ—積分階數(shù)。

經(jīng)拉式變換得到對應時域傳遞函數(shù)表達式：

控制器對應的結(jié)構框圖如圖1所示。

三、卡爾曼濾波器和分數(shù)階控制器實現(xiàn)

1、分數(shù)階控制器實現(xiàn)

分數(shù)階PIλDμ控制器設計是根據(jù)系統(tǒng)性能指標，得到滿足系統(tǒng)要求的分數(shù)階PIλDμ控制器優(yōu)化Kp、Ki、Kd、λ、μ參數(shù)的過程?？刂破鲄?shù)的選擇對控制系統(tǒng)起關鍵性作用，采用幅值裕量和相位裕度法對分數(shù)階PIλDμ控制器進行參數(shù)整定。對于給定的相位裕度φm和截止頻率ωc，根據(jù)參數(shù)整定規(guī)則，利用MatLab優(yōu)化工具箱中fmincon非線性優(yōu)化函數(shù)方法，可以求得分數(shù)階 PIλDμ控制器Kp、Ki、Kd、λ、μ參數(shù)值[6]?？刂破鞅磉_式為：

利用AL-Alaoui+CFE脈沖響應不變法對分數(shù)階控制器進行離散化數(shù)字實現(xiàn)[7]。

2、卡爾曼濾波器實現(xiàn)

卡爾曼濾波理論以最小均方誤差為估計的最佳準則，對于狀態(tài)空間模型為：

其中，A—狀態(tài)矩陣；

B—輸入矩陣；C—輸出矩陣；

D—前饋矩陣，一般為零。離散化后狀態(tài)空間模型為：

?！肼曭?qū)動；

H—觀測噪聲；

k—離散時間；

X(k) —表示系統(tǒng)在k時刻的狀態(tài)；

Y(k) —對應狀態(tài)的觀測信號；

w(k) —白噪聲；

v(k) —觀測噪聲。

卡爾曼濾波的遞推算法流程圖如圖2所示[8]。在一個濾波周期內(nèi)，由預測狀態(tài)變量可知，根據(jù)k時刻的狀態(tài)估計預測k+1時刻狀態(tài)，預測誤差協(xié)方差是對預測的質(zhì)量優(yōu)劣做定量描述，該預測描述了卡爾曼濾波時間更新過程，測量更新中各式是用來計算對時間更新值的修正量，該值由等信息所確定，最終結(jié)果可以合理利用觀測信號Y(k)。只要給定初值和P0，根據(jù)k時刻的量測Zk，就可以計算得到k時刻的狀態(tài)估計

四、算法仿真分析

1、光電吊艙俯仰環(huán)模型建立

光電吊艙是包含線性和非線性因素的負載系統(tǒng)，難以通過物理建模法得到準確的系統(tǒng)模型，因此采用系統(tǒng)辨識的方法建立數(shù)學模型，通過實測輸入輸出數(shù)據(jù)對模型進行參數(shù)辨識。將某光電吊艙航向掃頻信號作為系統(tǒng)輸入，求得吊艙俯仰環(huán)在不同頻率段的響應特性，最后通過系統(tǒng)辨識法求取系統(tǒng)的頻率特性[9]。

通過可視化系統(tǒng)辨識工具箱對系統(tǒng)進行參數(shù)辨識[10]，最后取部分實驗數(shù)據(jù)對辨識模型進行驗證，擬合得到俯仰環(huán)頻率特性曲線如圖3所示，不考慮延遲環(huán)節(jié)，近似得俯仰環(huán)的傳遞函數(shù)如下：

其中，K=1.449、T1=0.11、T2=0.0091。

2、仿真分析

基于卡爾曼濾波器的分數(shù)階PIλDμ控制器結(jié)構框圖如圖4所示。其中，被控對象采用零階保持器進行離散化，分數(shù)階控制器根據(jù)前文研究方法進行離散化實現(xiàn)，在系統(tǒng)運行和測量過程中產(chǎn)生的擾動經(jīng)過濾波器濾除后的值Y(s)反饋到輸入端與預定值進行比較后得E(s)，作為控制器的輸入值，U(s)為控制器的輸出，w為控制干擾（過程噪聲），v為測量噪聲。

采用分數(shù)階控制器與卡爾曼濾波器結(jié)合控制，假設系統(tǒng)開環(huán)截止頻率ωc=90rad/s，相位裕度φm=60°，采樣時間ts=0.001s，系統(tǒng)過程噪聲和測量噪聲均為協(xié)方差1，幅值0.02的白噪聲，即Q=1，R=1，初始值P0=B*Q*B′。

由已知條件，根據(jù)參數(shù)整定規(guī)則，得分數(shù)階控制器各參數(shù)為Kp=7.7212、Ki=35.6517、Kd=1.5847、λ=0.7404、μ=0.2558，傳遞函數(shù)表達式為：

加入噪聲前改變系統(tǒng)增益大小，Kp分別取原值的0.8倍、1.0倍、1.2倍，輸入階躍信號，仿真結(jié)果如圖5所示。根據(jù)仿真結(jié)果可以得出系統(tǒng)動態(tài)響應特性，如表1所示。

根據(jù)結(jié)果分析可以得出，改變系統(tǒng)增益大小，系統(tǒng)動態(tài)響應特性變化較小，證明系統(tǒng)具有較強的增益魯棒性，參數(shù)攝動不敏感，系統(tǒng)對控制輸入信號具有良好的跟蹤能力[11]。

加入濾波后，系統(tǒng)狀態(tài)描述如下

將連續(xù)時不變系統(tǒng)轉(zhuǎn)換線性離散時不變系統(tǒng)：初始誤差協(xié)方差P0為：

表1 系統(tǒng)動態(tài)響應特性

實驗噪聲大小情況如圖6所示。加入濾波器后仿真結(jié)果如圖7所示。由圖7可以得出，系統(tǒng)在加入噪聲和擾動后，未加入濾波器的動態(tài)響應特性，上升時間tr=0.0175s，系統(tǒng)加入干擾后，產(chǎn)生隨機抖動，無法達到穩(wěn)定狀態(tài)，系統(tǒng)超調(diào)量σ%=22.5%；加入濾波器后的動態(tài)響應特性，上升時間tr=0.0175s調(diào)節(jié)時間ts=0.177s，系統(tǒng)超調(diào)量σ%=22.2%，系統(tǒng)在經(jīng)過0.177s后達到穩(wěn)定狀態(tài)，響應速度較快。

實際系統(tǒng)中，噪聲影響比實驗中要復雜的多，卡爾曼濾波器在實際應用效果中有一定偏差，但整體滿足到控制性能的要求。

五、結(jié)束語

本文主要以光電吊艙俯仰環(huán)為被控對象進行系統(tǒng)建模，通過改變系統(tǒng)增益大小，加入噪聲干擾等條件，采用基于卡爾曼濾波器的分數(shù)階PIλDμ控制方法與純分數(shù)階PIλDμ控制方法進行仿真對比研究，結(jié)果顯示系統(tǒng)未加入噪聲和濾波器前，純分數(shù)階PIλDμ控制器具有較強的增益魯棒性，加入噪聲和濾波器后，單純的分數(shù)階 PIλDμ控制器無法滿足系統(tǒng)要求?；诳柭鼮V波器的分數(shù)階 PIλDμ控制器控制效果有明顯改善，滿足系統(tǒng)需求。