基于永磁同步直線電機的新型滑?？刂撇呗匝芯?/h1>
2018-11-16 01:25:16
傳感器世界 2018年2期
北京信息科技大學(xué)，北京100192
一、引言
在高精度快速進給的數(shù)控機床中，傳統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)電機加滾珠絲杠已難以滿足大推力、快速進給的性能要求，永磁同步直線電機（Permanent Magnet Linear Synchronous Motor, PMLSM）相對于傳統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)電機加滾珠絲杠的傳動機構(gòu)，具有輸出力矩大、響應(yīng)速度快、結(jié)構(gòu)簡單等優(yōu)點，已在數(shù)控機床主軸的直線進給驅(qū)動中取得了非常廣泛的應(yīng)用。
直線同步電動機是由相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)電動機演化而成，永磁直線同步電機與永磁旋轉(zhuǎn)同步電機類似，在動子通入三相電流后，在氣隙中產(chǎn)生運動磁場，只是這個磁場是沿直線平移而不是圓形旋轉(zhuǎn)磁場，稱為行波磁場。行波磁場和定子永磁體相互作用產(chǎn)生電磁推力。由于磁極磁場由永磁體提供，磁極動子無需外加電源勵磁，使電動機的結(jié)構(gòu)得到簡化，電機的整體效率提高，但磁極磁場不可調(diào)。
但是由于直線電機本身結(jié)構(gòu)的原因，其兩端磁路斷開并產(chǎn)生較大畸變，加之機械安裝、制造精度、定子下線等問題，使得動子和定子之間的間隙不均，使得永磁同步直線電機產(chǎn)生較大的波動力，造成直線進給速度的波動，嚴(yán)重影響加工精度。
文獻[1]分析了直線電機參數(shù)的非線性引起的波動力，并用自適應(yīng)內(nèi)?？刂茖ζ溥M行補償提高了控制精度，文獻[2,3,8,9]將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、推力觀測器等控制方法和滑?？刂葡嘟Y(jié)合，明顯削弱了抖振問題。文獻[10-13]對辨識補償波動力進行了大量研究，取得了明顯的成果，但是所有研究都是基于波動力表現(xiàn)出來之后進行的補償。
由于滑?？刂撇恍枰刂茖ο缶_的數(shù)學(xué)模型，且具有快速響應(yīng)和較強的魯棒性，所以本文在分析波動力產(chǎn)生的數(shù)學(xué)機理的基礎(chǔ)上，用新型的電流滑模控制器抑制PMLSM非線性電參數(shù)引起的波動力的影響，仿真結(jié)果表明了該方法的優(yōu)越性和有效性。
二、永磁直線同步電機數(shù)學(xué)模型
三相永磁同步直線電機的數(shù)學(xué)模型首先經(jīng)過Clark變換和Park變換得到d-q坐標(biāo)系（如圖1）下的PMSLM的數(shù)學(xué)模型，以實現(xiàn)轉(zhuǎn)矩電流和永磁體磁鏈的解耦，其變換矩陣為[5]：
式中，θe—電角度。
d-q坐標(biāo)系下的PMLSM的數(shù)學(xué)模型[1]為：
式中，ud、uq—d-q軸定子電壓分量；
id、iq—d-q軸定子電流分量；
R—定子電阻；
Ld、Lq—d-q軸定子電感；
τ—定子極距；
ψf—永磁體磁鏈；
ωr—電角速度；
ξd、ξq—d-q軸電機參數(shù)非線性對應(yīng)的電壓分量。
由于PMLSM參數(shù)本身的非線性以及受系統(tǒng)工況等未知的影響因素，造成對d-q軸電壓擾動分量ξd、ξq，其可以表示為：
式中，ΔR、ΔLd、ΔLq、Δψf—分別為電機參數(shù)的非線性的變化量。
正是由于電機這些參數(shù)的非線性變量，導(dǎo)致當(dāng)電機的輸入電壓一定的情況下，會出現(xiàn)電流的波動，進而產(chǎn)生力的波動。由于PMLSM這些電參數(shù)的非線性不宜測得，所以視這些參數(shù)的非線性為未知擾動，根據(jù)文獻[4,6]可知，PMLSM力的周期性波動，同時電機電參數(shù)的非線性也是位置的周期性函數(shù)，其干擾主要作用在伺服系統(tǒng)中的電流環(huán)中，所以PMLSM的伺服系統(tǒng)中的電流環(huán)控制要有很強的抗擾性、魯棒性、快速響應(yīng)的能力。
三、電流環(huán)滑?？刂破?/h2>1、狀態(tài)空間方程
在電流環(huán)控制系統(tǒng)中，定義d-q軸的電壓ud、uq為控制輸入，定子電流id、iq的誤差為狀態(tài)變量，表示為 ：
由式（2）、式（3）可得電流環(huán)控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程：
其中，視E1、E2為外部擾動和參數(shù)攝動的總擾動，所以這就要求電流環(huán)控制器要有較強的抗擾性、魯棒性和快速響應(yīng)的能力。
2、滑模面設(shè)計
如果設(shè)計成普通的滑模面，在跟蹤指定信號時，控制系統(tǒng)遇到外部擾動時，可能會使系統(tǒng)產(chǎn)生靜差，致使系統(tǒng)無法達到較高性能指標(biāo)的要求。所以選擇積分滑模面，既可以使?fàn)顟B(tài)變量不會出現(xiàn)二階導(dǎo)數(shù)，提高控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，同時還能減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，提升控制精度。但是當(dāng)系統(tǒng)突加給定或突然加大外部擾動時，致使出現(xiàn)積分飽和的現(xiàn)象，使系統(tǒng)產(chǎn)生超調(diào)、振蕩，影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，所以本文使用積分分離的積分滑模面，即當(dāng)系偏差大于給定閥值時，消除積分的作用，以避免積分環(huán)節(jié)出現(xiàn)飽和效應(yīng)，其積分滑模面可表示為：
式中，ed(max)、eq(max)—分別代表d軸、q軸電流積分分離滑模面的閥值；
a1、a2—待定正參數(shù)。
3、趨近律設(shè)計
在20世紀(jì)90年代高為炳院士提出趨近律的概念，其典型的趨近律由等速趨近律、變速趨近律、指數(shù)趨近律、一般趨近律等。
其中指數(shù)趨近律可表示為：
式中，η—指數(shù)趨近律系數(shù)；
ε—等速趨近律系數(shù)。
單獨的指數(shù)趨近律會使滑模帶成為帶狀，最后不能趨近零點，使系統(tǒng)在趨近原點附近產(chǎn)生抖振，激發(fā)高頻未建模特性。雖然引入了等速趨近律，但是過大的ε會增加趨近運動過程的抖振，此方法滑模面上的運動存在速度和抖振的矛盾。所以本文采用一種時變切換增益系數(shù)的新型指數(shù)趨近律，其可以表示為：
式中，σ是一個較小的正數(shù)。
所以可以保證時變切換增益系數(shù)ε′永遠小于原切換系數(shù)ε，從而可以使系統(tǒng)在滑模面運動時有效的削減抖振現(xiàn)象；與此同時ρ(x)還會隨著狀態(tài)變量x的減小而趨近于0，這樣就可以保證系統(tǒng)的滑模運動最終可以收斂于原點。
4、優(yōu)化切換函數(shù)
正是由于存在切換函數(shù)sgn(s)才是控制系統(tǒng)有較強的抗擾性，但是由于其切換特性造成高頻抖振。為了防止其高頻抖振，在控制器中采用平滑函數(shù)con(s)代替式（14）中的符號函數(shù)，con(s)可表示為：
式中，Δ是一個較小的正數(shù)。
采用平滑函數(shù)con(s)的本質(zhì)是：當(dāng)s較大時，其滑?？刂平魄袚Q控制，加快趨近運動的速度；當(dāng)s較小時，采用連續(xù)的反饋控制，以此來降低控制系統(tǒng)在滑動模態(tài)的時候快速切換產(chǎn)生的抖振。但是當(dāng)Δ太小的話，其效果不好，當(dāng)Δ太大的話，又會影響趨近運動的動態(tài)響應(yīng)速度，所以使用平滑函數(shù)的時候需要權(quán)衡利弊選取Δ的值。
5、求取控制律
結(jié)合式（11）、式（12）、式（14）、式（16），將E1、E2視為擾動，可以求得新型指數(shù)趨近律的電流環(huán)的滑?？刂坡桑?/p>
6、魯棒性分析
根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性判據(jù)，滑動模態(tài)和趨近模態(tài)的存在性與可達性判據(jù)為：
其中，—d軸電流環(huán)控制器中指數(shù)趨近律函數(shù)中的等速趨近律系數(shù)；
η1—指數(shù)趨近律系數(shù)。
由式（20）可知，只要滿足ε′1-E1≥0，就可以滿足系統(tǒng)滑動模態(tài)和趨近模態(tài)的可達性與存在性條件。同理亦可驗證q軸的穩(wěn)定性。
7、低通濾波器
雖然通過使用平滑的切換函數(shù)代替了符號函數(shù)，但是電流環(huán)滑?？刂破鞯妮敵鲆廊粫嬖谳^大的噪聲，為了減小滑?？刂戚敵鲈肼暤母蓴_，通常情況下會在控制器的輸出連接一個低通濾波器，對輸出結(jié)果進行濾波：
式中，τ—濾波器時間常數(shù)。
濾波器時間常數(shù)的值越大，其輸出波動越小，但是會增加系統(tǒng)的延遲時間，反之如果濾波時間常數(shù)越小，其濾波效果不好，所以在設(shè)計低通濾波器時間常數(shù)的時候要權(quán)衡以上兩點。
四、仿真與結(jié)果分析
在Simulink環(huán)境下搭建伺服系統(tǒng)的仿真模型。PMLSM的參數(shù)如下：定子相電阻R=0.7Ω，直軸電感Ld=0.013H，交軸電感Lq=Ld，永磁體磁鏈ψf=0.046Wb，極對數(shù)Pn=10，動子長度L=0.2m，動子質(zhì)量m=0.01kg，其速度環(huán)全部采用PI控制，本文針對不同方法的電流環(huán)控制器的抗擾性、魯棒性進行討論。
圖2是考慮PMSLM電參數(shù)非線性因素帶來的電壓擾動的情況下電流環(huán)傳統(tǒng)PI控制、傳統(tǒng)滑模控制、新型滑?？刂频乃俣软憫?yīng)，可見傳統(tǒng)的滑?？刂葡啾萈I控制對電機參數(shù)的非線性的不良影響，有較好的抑制效果，但是依然存在小幅的高頻抖振，采用新型的滑?？刂泼黠@消弱了速度的高頻抖振。
圖3是電流環(huán)PI控制、新型滑?？刂芇MLSM的三相電流響應(yīng)曲線，可以看出新型的電流環(huán)滑?？刂戚^PI控制的三相電流平穩(wěn)度非常好，因此也降低了電機能量的損耗。
圖4是電流環(huán)滑?？刂平?jīng)低通濾波器前后的輸出，可見其經(jīng)過低通濾波器之后，明顯消弱了電流環(huán)輸出的抖振，因此也減弱了驅(qū)動器計算和開關(guān)管的負擔(dān)。
圖5表示當(dāng)PMSLM加載時的速度響應(yīng)曲線，可見電流環(huán)采用新型的滑?？刂坪蚉I控制，伺服系統(tǒng)依然擁有較好的抗擾性，響應(yīng)速度。
五、結(jié)語
為了解決數(shù)控機床主軸進給驅(qū)動中隱極PMLSM電參數(shù)的非線性引起的波動力不良影響，本文提出了新型滑?？刂破骷拥屯V波器的電流環(huán)控制器。本文的滑模控制器的滑模面采用積分分離的滑模面消除傳統(tǒng)滑模面的穩(wěn)態(tài)誤差，同時還消弱了積分帶來的超調(diào)的問題；采用時變增益系數(shù)的指數(shù)趨近律和平滑切換函數(shù)解決了趨進速度和滑動模態(tài)抖振之間的矛盾；采用低通濾波器減弱了電流環(huán)滑?？刂戚敵龅亩墩穹怠７抡鎸嶒灲Y(jié)果，證明了新型的電流環(huán)滑?？刂频膬?yōu)越性和有效性。
北京信息科技大學(xué)，北京100192
一、引言
在高精度快速進給的數(shù)控機床中，傳統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)電機加滾珠絲杠已難以滿足大推力、快速進給的性能要求，永磁同步直線電機（Permanent Magnet Linear Synchronous Motor, PMLSM）相對于傳統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)電機加滾珠絲杠的傳動機構(gòu)，具有輸出力矩大、響應(yīng)速度快、結(jié)構(gòu)簡單等優(yōu)點，已在數(shù)控機床主軸的直線進給驅(qū)動中取得了非常廣泛的應(yīng)用。
直線同步電動機是由相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)電動機演化而成，永磁直線同步電機與永磁旋轉(zhuǎn)同步電機類似，在動子通入三相電流后，在氣隙中產(chǎn)生運動磁場，只是這個磁場是沿直線平移而不是圓形旋轉(zhuǎn)磁場，稱為行波磁場。行波磁場和定子永磁體相互作用產(chǎn)生電磁推力。由于磁極磁場由永磁體提供，磁極動子無需外加電源勵磁，使電動機的結(jié)構(gòu)得到簡化，電機的整體效率提高，但磁極磁場不可調(diào)。
但是由于直線電機本身結(jié)構(gòu)的原因，其兩端磁路斷開并產(chǎn)生較大畸變，加之機械安裝、制造精度、定子下線等問題，使得動子和定子之間的間隙不均，使得永磁同步直線電機產(chǎn)生較大的波動力，造成直線進給速度的波動，嚴(yán)重影響加工精度。
文獻[1]分析了直線電機參數(shù)的非線性引起的波動力，并用自適應(yīng)內(nèi)?？刂茖ζ溥M行補償提高了控制精度，文獻[2,3,8,9]將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、推力觀測器等控制方法和滑?？刂葡嘟Y(jié)合，明顯削弱了抖振問題。文獻[10-13]對辨識補償波動力進行了大量研究，取得了明顯的成果，但是所有研究都是基于波動力表現(xiàn)出來之后進行的補償。
由于滑?？刂撇恍枰刂茖ο缶_的數(shù)學(xué)模型，且具有快速響應(yīng)和較強的魯棒性，所以本文在分析波動力產(chǎn)生的數(shù)學(xué)機理的基礎(chǔ)上，用新型的電流滑模控制器抑制PMLSM非線性電參數(shù)引起的波動力的影響，仿真結(jié)果表明了該方法的優(yōu)越性和有效性。
二、永磁直線同步電機數(shù)學(xué)模型
三相永磁同步直線電機的數(shù)學(xué)模型首先經(jīng)過Clark變換和Park變換得到d-q坐標(biāo)系（如圖1）下的PMSLM的數(shù)學(xué)模型，以實現(xiàn)轉(zhuǎn)矩電流和永磁體磁鏈的解耦，其變換矩陣為[5]：
式中，θe—電角度。
d-q坐標(biāo)系下的PMLSM的數(shù)學(xué)模型[1]為：
式中，ud、uq—d-q軸定子電壓分量；
id、iq—d-q軸定子電流分量；
R—定子電阻；
Ld、Lq—d-q軸定子電感；
τ—定子極距；
ψf—永磁體磁鏈；
ωr—電角速度；
ξd、ξq—d-q軸電機參數(shù)非線性對應(yīng)的電壓分量。
由于PMLSM參數(shù)本身的非線性以及受系統(tǒng)工況等未知的影響因素，造成對d-q軸電壓擾動分量ξd、ξq，其可以表示為：
式中，ΔR、ΔLd、ΔLq、Δψf—分別為電機參數(shù)的非線性的變化量。
正是由于電機這些參數(shù)的非線性變量，導(dǎo)致當(dāng)電機的輸入電壓一定的情況下，會出現(xiàn)電流的波動，進而產(chǎn)生力的波動。由于PMLSM這些電參數(shù)的非線性不宜測得，所以視這些參數(shù)的非線性為未知擾動，根據(jù)文獻[4,6]可知，PMLSM力的周期性波動，同時電機電參數(shù)的非線性也是位置的周期性函數(shù)，其干擾主要作用在伺服系統(tǒng)中的電流環(huán)中，所以PMLSM的伺服系統(tǒng)中的電流環(huán)控制要有很強的抗擾性、魯棒性、快速響應(yīng)的能力。
三、電流環(huán)滑?？刂破?/h2>1、狀態(tài)空間方程
在電流環(huán)控制系統(tǒng)中，定義d-q軸的電壓ud、uq為控制輸入，定子電流id、iq的誤差為狀態(tài)變量，表示為 ：
由式（2）、式（3）可得電流環(huán)控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程：
其中，視E1、E2為外部擾動和參數(shù)攝動的總擾動，所以這就要求電流環(huán)控制器要有較強的抗擾性、魯棒性和快速響應(yīng)的能力。
2、滑模面設(shè)計
如果設(shè)計成普通的滑模面，在跟蹤指定信號時，控制系統(tǒng)遇到外部擾動時，可能會使系統(tǒng)產(chǎn)生靜差，致使系統(tǒng)無法達到較高性能指標(biāo)的要求。所以選擇積分滑模面，既可以使?fàn)顟B(tài)變量不會出現(xiàn)二階導(dǎo)數(shù)，提高控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，同時還能減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，提升控制精度。但是當(dāng)系統(tǒng)突加給定或突然加大外部擾動時，致使出現(xiàn)積分飽和的現(xiàn)象，使系統(tǒng)產(chǎn)生超調(diào)、振蕩，影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，所以本文使用積分分離的積分滑模面，即當(dāng)系偏差大于給定閥值時，消除積分的作用，以避免積分環(huán)節(jié)出現(xiàn)飽和效應(yīng)，其積分滑模面可表示為：
式中，ed(max)、eq(max)—分別代表d軸、q軸電流積分分離滑模面的閥值；
a1、a2—待定正參數(shù)。
3、趨近律設(shè)計
在20世紀(jì)90年代高為炳院士提出趨近律的概念，其典型的趨近律由等速趨近律、變速趨近律、指數(shù)趨近律、一般趨近律等。
其中指數(shù)趨近律可表示為：
式中，η—指數(shù)趨近律系數(shù)；
ε—等速趨近律系數(shù)。
單獨的指數(shù)趨近律會使滑模帶成為帶狀，最后不能趨近零點，使系統(tǒng)在趨近原點附近產(chǎn)生抖振，激發(fā)高頻未建模特性。雖然引入了等速趨近律，但是過大的ε會增加趨近運動過程的抖振，此方法滑模面上的運動存在速度和抖振的矛盾。所以本文采用一種時變切換增益系數(shù)的新型指數(shù)趨近律，其可以表示為：
式中，σ是一個較小的正數(shù)。
所以可以保證時變切換增益系數(shù)ε′永遠小于原切換系數(shù)ε，從而可以使系統(tǒng)在滑模面運動時有效的削減抖振現(xiàn)象；與此同時ρ(x)還會隨著狀態(tài)變量x的減小而趨近于0，這樣就可以保證系統(tǒng)的滑模運動最終可以收斂于原點。
4、優(yōu)化切換函數(shù)
正是由于存在切換函數(shù)sgn(s)才是控制系統(tǒng)有較強的抗擾性，但是由于其切換特性造成高頻抖振。為了防止其高頻抖振，在控制器中采用平滑函數(shù)con(s)代替式（14）中的符號函數(shù)，con(s)可表示為：
式中，Δ是一個較小的正數(shù)。
采用平滑函數(shù)con(s)的本質(zhì)是：當(dāng)s較大時，其滑?？刂平魄袚Q控制，加快趨近運動的速度；當(dāng)s較小時，采用連續(xù)的反饋控制，以此來降低控制系統(tǒng)在滑動模態(tài)的時候快速切換產(chǎn)生的抖振。但是當(dāng)Δ太小的話，其效果不好，當(dāng)Δ太大的話，又會影響趨近運動的動態(tài)響應(yīng)速度，所以使用平滑函數(shù)的時候需要權(quán)衡利弊選取Δ的值。
5、求取控制律
結(jié)合式（11）、式（12）、式（14）、式（16），將E1、E2視為擾動，可以求得新型指數(shù)趨近律的電流環(huán)的滑?？刂坡桑?/p>
6、魯棒性分析
根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性判據(jù)，滑動模態(tài)和趨近模態(tài)的存在性與可達性判據(jù)為：
其中，—d軸電流環(huán)控制器中指數(shù)趨近律函數(shù)中的等速趨近律系數(shù)；
η1—指數(shù)趨近律系數(shù)。
由式（20）可知，只要滿足ε′1-E1≥0，就可以滿足系統(tǒng)滑動模態(tài)和趨近模態(tài)的可達性與存在性條件。同理亦可驗證q軸的穩(wěn)定性。
7、低通濾波器
雖然通過使用平滑的切換函數(shù)代替了符號函數(shù)，但是電流環(huán)滑?？刂破鞯妮敵鲆廊粫嬖谳^大的噪聲，為了減小滑?？刂戚敵鲈肼暤母蓴_，通常情況下會在控制器的輸出連接一個低通濾波器，對輸出結(jié)果進行濾波：
式中，τ—濾波器時間常數(shù)。
濾波器時間常數(shù)的值越大，其輸出波動越小，但是會增加系統(tǒng)的延遲時間，反之如果濾波時間常數(shù)越小，其濾波效果不好，所以在設(shè)計低通濾波器時間常數(shù)的時候要權(quán)衡以上兩點。
四、仿真與結(jié)果分析
在Simulink環(huán)境下搭建伺服系統(tǒng)的仿真模型。PMLSM的參數(shù)如下：定子相電阻R=0.7Ω，直軸電感Ld=0.013H，交軸電感Lq=Ld，永磁體磁鏈ψf=0.046Wb，極對數(shù)Pn=10，動子長度L=0.2m，動子質(zhì)量m=0.01kg，其速度環(huán)全部采用PI控制，本文針對不同方法的電流環(huán)控制器的抗擾性、魯棒性進行討論。
圖2是考慮PMSLM電參數(shù)非線性因素帶來的電壓擾動的情況下電流環(huán)傳統(tǒng)PI控制、傳統(tǒng)滑模控制、新型滑?？刂频乃俣软憫?yīng)，可見傳統(tǒng)的滑?？刂葡啾萈I控制對電機參數(shù)的非線性的不良影響，有較好的抑制效果，但是依然存在小幅的高頻抖振，采用新型的滑?？刂泼黠@消弱了速度的高頻抖振。
圖3是電流環(huán)PI控制、新型滑?？刂芇MLSM的三相電流響應(yīng)曲線，可以看出新型的電流環(huán)滑?？刂戚^PI控制的三相電流平穩(wěn)度非常好，因此也降低了電機能量的損耗。
圖4是電流環(huán)滑?？刂平?jīng)低通濾波器前后的輸出，可見其經(jīng)過低通濾波器之后，明顯消弱了電流環(huán)輸出的抖振，因此也減弱了驅(qū)動器計算和開關(guān)管的負擔(dān)。
圖5表示當(dāng)PMSLM加載時的速度響應(yīng)曲線，可見電流環(huán)采用新型的滑?？刂坪蚉I控制，伺服系統(tǒng)依然擁有較好的抗擾性，響應(yīng)速度。
五、結(jié)語
為了解決數(shù)控機床主軸進給驅(qū)動中隱極PMLSM電參數(shù)的非線性引起的波動力不良影響，本文提出了新型滑?？刂破骷拥屯V波器的電流環(huán)控制器。本文的滑模控制器的滑模面采用積分分離的滑模面消除傳統(tǒng)滑模面的穩(wěn)態(tài)誤差，同時還消弱了積分帶來的超調(diào)的問題；采用時變增益系數(shù)的指數(shù)趨近律和平滑切換函數(shù)解決了趨進速度和滑動模態(tài)抖振之間的矛盾；采用低通濾波器減弱了電流環(huán)滑?？刂戚敵龅亩墩穹怠７抡鎸嶒灲Y(jié)果，證明了新型的電流環(huán)滑?？刂频膬?yōu)越性和有效性。
