北京信息科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，北京 100192

一、引言

四旋翼飛行器體積小、質(zhì)量輕、操作簡(jiǎn)單且作業(yè)靈活，能夠在狹小的環(huán)境中起飛。飛行模式更是多樣化：垂直起飛、前飛、倒飛、側(cè)飛及懸停等。其簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)使得它的成本低廉，便于制作與維護(hù)[1]。其高度的機(jī)動(dòng)性和低廉的成本使四旋翼飛行器擁有廣闊的市場(chǎng)和應(yīng)用前景，成為了國(guó)內(nèi)外的研究熱點(diǎn)。

姿態(tài)的精確控制直接影響飛行器的飛行品質(zhì)，此外，由于四旋翼飛行器的質(zhì)量較輕，飛行時(shí)易受到外界的干擾，所以設(shè)計(jì)一個(gè)魯棒性強(qiáng)、精確度高的姿態(tài)控制器及其重要。

目前，已有多種控制算法應(yīng)用于四旋翼飛行器的控制中，取得了不錯(cuò)的控制效果。PID控制器設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單，有一定的魯棒性，但在處理不確定性問(wèn)題上不夠理想[2]；自適應(yīng)控制在處理不確定和未知參數(shù)問(wèn)題有較好的控制效果[3]，劉一莎等[4]針對(duì)四旋翼飛行器參數(shù)不確定性和外部干擾的問(wèn)題，設(shè)計(jì)了一種自抗擾控制器，獲得了較好的控制效果；模糊控制[5-6]、滑?？刂芠7-8]等控制算法也在飛行控制中取得了成功。然而，這些控制算法較為復(fù)雜，應(yīng)用于四旋翼飛行器的實(shí)時(shí)控制時(shí)有一定困難。

為解決四旋翼飛行器參數(shù)變化和控制精度的問(wèn)題，本文以光滑二階滑?？刂茷榛A(chǔ)[9]，綜合考慮抖振處理及有限時(shí)間收斂問(wèn)題，將自適應(yīng)光滑二階滑?？刂品椒☉?yīng)用于四旋翼飛行器控制系統(tǒng)?；Ｓ^測(cè)器的設(shè)計(jì)對(duì)模型參數(shù)變化能夠在線(xiàn)估計(jì)，自適應(yīng)光滑二階滑?？刂茰p弱了傳統(tǒng)滑?？刂频亩墩?，控制器參數(shù)的在線(xiàn)調(diào)整提高了系統(tǒng)的控制精度；基于李雅普諾夫函數(shù)證明了系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定。數(shù)字仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果都驗(yàn)證了所提控制方法的有效性。

二、四旋翼飛行器控制模型

四旋翼飛行器的姿態(tài)系統(tǒng)是一個(gè)4輸入3輸出的對(duì)象，系統(tǒng)的輸入為4個(gè)電機(jī)的電壓，系統(tǒng)輸出為3個(gè)自由度：俯仰角、滾轉(zhuǎn)角和偏航角。其中前向、左向和右向的螺旋槳為上下朝向，尾部的螺旋槳為左右朝向。系統(tǒng)的姿態(tài)角可由平臺(tái)的編碼器檢測(cè)獲得。

在此以固高公司的四旋翼飛行器為例，建立四旋翼飛行器的數(shù)學(xué)模型[10]。

1、參考坐標(biāo)系

四旋翼飛行器的坐標(biāo)系如圖1所示。其中，支架的中心設(shè)為左邊原點(diǎn)，x軸指向前向電機(jī)，y軸指向右向電機(jī)。定義正前方及左右向電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)帶動(dòng)螺旋槳產(chǎn)生的力與z軸同向?yàn)檎较?，尾部電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)帶動(dòng)螺旋槳產(chǎn)生的力與y軸同向?yàn)檎较騕10]。

2、姿態(tài)角平衡方程

姿態(tài)角力矩平衡方程的建立基于以下假設(shè)：

①剛啟動(dòng)時(shí)系統(tǒng)3自由度的角度為0°，忽略各種摩擦力、電機(jī)阻尼力矩；

②忽略電機(jī)達(dá)到給定轉(zhuǎn)速的時(shí)間；

③假設(shè)螺旋槳不同方向運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的力大小相同。

（1）俯仰角的力矩平衡方程

定義俯仰角的正方向?yàn)榍跋螂姍C(jī)向下運(yùn)動(dòng)的夾角，由受力分析，可得到如下方程：

其中，

P—俯仰角；

JP—飛行器繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；

Lf—前向螺旋槳中心至y軸的距離；

Lc—左右螺旋槳中心至y軸的距離；

Ff—前向電機(jī)的升力；

Fr—右向電機(jī)的升力；

Fl—左向電機(jī)的升力；

Kfc—有不確定性的力電比系數(shù)；

Uf、Ul、Ur—分別為前向、左向和右向電機(jī)電壓。將式（2）～（5）帶入式（1），得：

（2）滾轉(zhuǎn)角的力矩平衡方程

定義滾轉(zhuǎn)角的正方向?yàn)橛蚁螂姍C(jī)向下運(yùn)動(dòng)的夾角，由受力分析，可得到如下方程：

其中，R—滾轉(zhuǎn)角；

JR—飛行器繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；

La—左右向螺旋槳中心至x軸的距離。

將式（4）（5）（8）帶入式（7），得：

（3）偏航角的力矩平衡方程

定義繞z軸順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為偏航角的正方向，建立如下方程：

其中，Y—偏航角；

JY—飛行器繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；

Fb—尾部電機(jī)升力。

把式（11）帶入式（10）得：

表1 四旋翼飛行器系統(tǒng)參數(shù)表[10]

四旋翼飛行器模型參數(shù)如表1所示。令：

其中，Kfc0—Kfc的標(biāo)稱(chēng)值；

D ΔKfc—力電比變化引起的不確定部分。

將表1中參數(shù)及式（13）帶入式（6）、（9）、（12）得：

式（14）可轉(zhuǎn)化成如下數(shù)學(xué)模型：

Δf—ΔKfc所引起的不確定性部分。

三、自適應(yīng)光滑二階滑模姿態(tài)控制器設(shè)計(jì)

本文的目標(biāo)是設(shè)計(jì)一個(gè)合適的控制量u，使四旋翼飛行器的實(shí)際姿態(tài)角精確跟蹤期望指令。姿態(tài)系統(tǒng)采用自適應(yīng)光滑二階滑?？刂破?，采用滑模觀測(cè)器補(bǔ)償不確定性部分，四旋翼飛行器姿態(tài)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖2所示。

1、滑模干擾觀測(cè)器設(shè)計(jì)

誤差系統(tǒng)中含有不確定性部分Δf，本文采用超螺旋算法來(lái)設(shè)計(jì)滑模干擾觀測(cè)器對(duì)Δf進(jìn)行估計(jì)。

定義狀態(tài)跟蹤誤差e為：

其中，xref—系統(tǒng)期望狀態(tài)量。

對(duì)式（16）求導(dǎo)，并將式（15）帶入，可得誤差系統(tǒng)如下：

定理 1：假設(shè) Δf=[0 Δf20 Δf40 Δf6]T滿(mǎn)足，其中i=1, 2,…,6，δ為未知正數(shù)，σi定義為觀測(cè)器輔助滑模面，則對(duì)系統(tǒng)（17）構(gòu)造如下滑模干擾觀測(cè)器：

其中，σ—觀測(cè)器滑模面，

x—系統(tǒng)狀態(tài)；

z—輔助狀態(tài)；

Δ?—滑模干擾觀測(cè)器對(duì)Δf的估計(jì)值；v—輔助控制輸入。

其中，α1、α2為觀測(cè)器增益。

當(dāng)增益α1、α2滿(mǎn)足式（20）時(shí)，能使σi和在有限時(shí)間To=2V1/2(σi(0))/η1后收斂到 0，即能夠在有限時(shí)間內(nèi)逼近0：

證明，對(duì)式（18）求導(dǎo)，并將式（15）代入得：

將式（19）代入式（21）得：

其中，系統(tǒng)增光狀態(tài)。

由式（22）、（23）變換形式如下：

取Lyapunov函數(shù)為：

其中，P1—正定矩陣，則V1是在σi=0處不可微的連續(xù)正定函數(shù)。

對(duì)式（25）求時(shí)間導(dǎo)數(shù)，并把式（24）代入得：

此處令的最小特征值大于0，有式（20）成立，則>0，負(fù)定。

其中，λmin{·}和λmax{·}—分別表示矩陣的最小特征值和最大特征值。

于是，式（28）可變換如下：

因此，σi(t)能在有限時(shí)間內(nèi)收斂到0。

2、控制器設(shè)計(jì)

取自適應(yīng)光滑二階滑模趨近律為：

其中，e—狀態(tài)跟蹤誤差，

ew—系統(tǒng)的增廣狀態(tài)，

l1和l2—自適應(yīng)參數(shù)；

ρ—控制器設(shè)計(jì)參數(shù)；

ε和λ—任意正實(shí)數(shù)。

將式（17）和式（33）合并，結(jié)合前文滑模觀測(cè)器設(shè)計(jì)，得到如式（36）自適應(yīng)光滑二階滑?？刂坡桑軌蚴瓜到y(tǒng)（15）有限時(shí)間穩(wěn)定，于是有定理2。

定理2：對(duì)于姿態(tài)系統(tǒng)（15）在自適應(yīng)光滑二階滑?？刂坡桑?4～36）的作用下，當(dāng)m≥2且適當(dāng)選取參數(shù)ρ，能使跟蹤誤差e及其導(dǎo)數(shù)有限時(shí)間趨于0。

證明，把式（36）代入式（17），得到如下誤差系統(tǒng)：

式中，干擾觀測(cè)器能夠保證eo在有限時(shí)間To收斂至0。取Lyapunov函數(shù)為：

其中，P2—對(duì)稱(chēng)正定矩陣，

由式（39）變換形式如下：

對(duì)式（41）求導(dǎo)，結(jié)合式（40）化簡(jiǎn)可得：

再結(jié)合式（39）得：

于是，式（43）可變換如下：

假設(shè)l1和l2界限為，則任意t≥0 時(shí)且，即式（38）的導(dǎo)數(shù)有如下形式：

四、基于Simulink仿真

為檢驗(yàn)本文所設(shè)計(jì)控制器能夠處理參數(shù)變化的問(wèn)題，在力電比為標(biāo)稱(chēng)值、增加40%以及減少40%的情況下，采用本文設(shè)計(jì)的控制器對(duì)四旋翼飛行器姿態(tài)模型進(jìn)行仿真。

飛行器初始狀態(tài)為：Ω0=[0 0 0 0 0 0]T

系統(tǒng)期望狀態(tài)值設(shè)為：xref=[10 0 -10 0 15 0]T

控制器的仿真參數(shù)為：m=5,ρ=0.35,ε=0.1,λ=0.01,α1=0.7,α2=0.01

仿真結(jié)果如圖3～圖5所示。由圖可知，力電比為標(biāo)稱(chēng)值時(shí)，姿態(tài)角的跟蹤曲線(xiàn)響應(yīng)時(shí)間為1.3s，穩(wěn)態(tài)誤差小于0.05°；當(dāng)力電比增加40%時(shí)，響應(yīng)時(shí)間為1.6s，穩(wěn)態(tài)誤差仍小于0.05°；當(dāng)力電比減少40%時(shí)，響應(yīng)時(shí)間為1.1s，穩(wěn)態(tài)誤差無(wú)明顯變化。

綜上所述，滑模干擾觀測(cè)器能對(duì)不確定性部分補(bǔ)償，自適應(yīng)光滑二階滑?？刂破髂苁顾男盹w行器的各個(gè)姿態(tài)角快速跟蹤期望值，超調(diào)量小，控制精度高。

五、四旋翼飛行器實(shí)驗(yàn)

在仿真結(jié)果良好的情況下，對(duì)固高公司的四旋翼飛行仿真器進(jìn)行姿態(tài)的實(shí)時(shí)控制實(shí)驗(yàn)，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析。實(shí)時(shí)控制系統(tǒng)的硬件包括仿真飛行器、數(shù)據(jù)采集卡等，軟件為Matlab/Sumulink實(shí)時(shí)控制軟件。四旋翼飛行器實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)如圖6所示。

實(shí)時(shí)控制實(shí)驗(yàn)中存在很多不確定因素，例如：

（1）仿真器的旋螺槳正反轉(zhuǎn)不對(duì)稱(chēng)，使得相同電壓輸入?yún)s產(chǎn)生不同的升力；

（2）系統(tǒng)各個(gè)姿態(tài)角難以處于絕對(duì)零度狀態(tài)，因此運(yùn)動(dòng)時(shí)，姿態(tài)角之間會(huì)相互干擾；

（3）實(shí)驗(yàn)時(shí)，旋螺槳易受到干擾；

（4）為保護(hù)旋螺槳，要求電機(jī)不能頻繁切換方向。

實(shí)驗(yàn)中設(shè)定初始狀態(tài)為：Ω0=[0 0 0 0 0 0]T

系統(tǒng)期望狀態(tài)設(shè)為：xref=[10 0 -10 0 15 0]T

控 制 器 的 參 數(shù) 為：m=5,ρ=0.4,ε=0.1,λ=0.01,α1=1.2,α2=0.02

四旋翼飛行器姿態(tài)的實(shí)時(shí)控制曲線(xiàn)如圖7～圖9所示。由圖7可知，俯仰角能在7s內(nèi)收斂至期望指令，穩(wěn)態(tài)誤差在0.3°內(nèi)；滾轉(zhuǎn)角能在15s內(nèi)到達(dá)期望指令，穩(wěn)態(tài)誤差在0.2°內(nèi)；偏航角在4s內(nèi)收斂至期望指令，穩(wěn)態(tài)誤差小于0.5°。

因此，在實(shí)時(shí)控制實(shí)驗(yàn)中，四旋翼仿真器三軸姿態(tài)角能快速準(zhǔn)確地跟蹤期望角指令，且有較好的動(dòng)態(tài)性能和魯棒性。

六、結(jié)論

本文針對(duì)具有參數(shù)變化的四旋翼飛行器控制問(wèn)題，將自適應(yīng)光滑二階滑模算法應(yīng)用于四旋翼飛行器控制系統(tǒng)中?；Ｓ^測(cè)器能夠補(bǔ)償系統(tǒng)不確定性部分，自適應(yīng)二階滑?？刂破骺刂迫S姿態(tài)角快速準(zhǔn)確地跟蹤期望指令?；贚yapunov理論證明控制系統(tǒng)能在有限時(shí)間穩(wěn)定。最后通過(guò)數(shù)字仿真和四旋翼飛行器實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提控制策略的有效性。