江蘇省南京市東南大學(xué)(211189) 徐文平

一、引言

一個(gè)任意三角形必定有唯一的內(nèi)切圓和外接圓,構(gòu)成了三角形內(nèi)切外接圓中圓問(wèn)題,歐拉幾何定理和彭賽列三角形閉合定理均是關(guān)于三角形內(nèi)切外接雙心圓的幾何定理,聯(lián)合分析二者幾何特性能有什么新發(fā)現(xiàn)?當(dāng)雙心圓彭賽列三角形閉合變換時(shí),有什么關(guān)鍵的點(diǎn)和線是永恒不變啊?

研究表明：歐拉幾何定理的三角形內(nèi)切外接圓中圓,三角形內(nèi)切圓的切點(diǎn)三角形的垂心H,九點(diǎn)圓圓心V,重心G與原三角形內(nèi)心I、外心O以及位似中心S六點(diǎn)共線,進(jìn)一步研究表明：雙心圓彭賽列三角形閉合變換時(shí),六心線恒定不變(如圖1),如此巧妙幾何特性值得研究.

圖1

二、切點(diǎn)三角形的六心共線性質(zhì)簡(jiǎn)證

三角形內(nèi)切圓的三個(gè)切點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)新三角形被定義為切點(diǎn)三角形,研究發(fā)現(xiàn),三角形的切點(diǎn)三角形的垂心H,九點(diǎn)圓圓心V,重心G與原三角形內(nèi)心I、外心O以及位似中心S六點(diǎn)共線.證明如下：

引理1(歐拉線)三角形的外心、重心、九點(diǎn)圓圓心、垂心,依次位于同一直線上,這條直線就叫三角形的歐拉線,且外心到重心的距離等于垂心到重心距離的一半.

引理2(垂足三角形的性質(zhì))銳角三角形的垂心H必為其垂足三角形的內(nèi)心.

簡(jiǎn)證由賽瓦定理可知,AD、BE和CF交于垂心H.因?yàn)椤鱀EF是垂足三角形,所以AB⊥CF,AC⊥BE,BC⊥AD.因?yàn)锽CEF四點(diǎn)共圓,所以∠1=∠3;因?yàn)锳BDE四點(diǎn)共圓,所以∠2=∠4.

因?yàn)椤?+∠B=90°,∠4+∠B=90°,所以∠3=∠4,所以∠1=∠2.因此,EB平分∠DEF,引理2成立.

引理3(旁心三角形的性質(zhì))三角形的旁心三角形垂心H是原三角形的內(nèi)心.

圖2

簡(jiǎn)證如圖2中,90°=∠1+∠AEF=∠3+∠B,所以∠AEF=∠B,90°=∠2+∠DEC=∠4+∠B,所以∠DEC=∠B=∠AEF.分析可知：因?yàn)锳D平分∠EDF,AD與E、F兩點(diǎn)外角平分線的交于A點(diǎn),所以,A點(diǎn)為△DEF旁心圓的一個(gè)圓心.同理可知,B、C兩點(diǎn)也是△DEF的旁心.因此,△ABC是△DEF是旁心三角形,H點(diǎn)是△ABC旁心三角形的垂心,又H點(diǎn)是△DEF原三角形的內(nèi)心,引理3成立.

引理4(銳角三角形的位似關(guān)系循環(huán)定理)銳角三角形的切點(diǎn)三角形的垂足三角形與原有三角形位似;銳角三角形的垂足三角形的切點(diǎn)三角形與原有三角形位似.其位似關(guān)系性質(zhì)可多重循環(huán)直至無(wú)窮,收斂于位似中心.

圖3

簡(jiǎn)證△ABC內(nèi)切圓三邊的切點(diǎn)為D、E、F,△DEF為△ABC的切點(diǎn)三角形.△DEF三邊的垂足為P、Q、R,△PQR為△DEF的垂足三角形.△PQR內(nèi)切圓三邊的切點(diǎn)為X、Y、Z,△XY Z為△PDR的切點(diǎn)三角形.依據(jù)引理 3,∠EDF=∠FPQ,∠EDF=∠EPR,依據(jù)切點(diǎn)三角形性質(zhì),∠EDF=∠AFE=∠AEF,所以,∠EDF=∠FPQ=∠EPR=∠AFE=∠AEF,∠QPR=180°-∠FPQ-∠EPR=180°-2∠EDF=∠A.

同理：∠PQR=∠B,∠PRQ=∠C,所以△PQR～△ABC,因?yàn)?∠FPQ=∠AFE,內(nèi)錯(cuò)角相等,△PQR與△ABC的三條對(duì)應(yīng)邊平行,故△PQR～△ABC位似.銳角三角形的切點(diǎn)三角形的垂足三角形與原有三角形位似,證明成立.

同理可證：銳角三角形的垂足三角形的切點(diǎn)三角形與原有三角形位似.

分析可知,其位似關(guān)系性質(zhì)可多重循環(huán)直至無(wú)窮,收斂于位似中心.

引理5(六心共線)三角形內(nèi)切圓的切點(diǎn)三角形的垂心H,九點(diǎn)圓圓心V,重心G與原三角形內(nèi)心I、外心O以及位似中心S六點(diǎn)共線.

傳統(tǒng)的歐拉線是三角形的外心、重心、九點(diǎn)圓圓心、垂心,依次位于同一直線上,四心連線.分析三角形內(nèi)切圓的切點(diǎn)三角形可知,切點(diǎn)三角形的垂心H,九點(diǎn)圓圓心V,重心G與原三角形內(nèi)心I、外心O以及位似中心S六點(diǎn)共線.

圖4

簡(jiǎn)證如圖4,△ABC是原三角形,△DEF是△ABC的切點(diǎn)三角形,△PQR是△DEF的垂足三角形.依據(jù)引理4,△PQR～△ABC位似,位似中心為S.因此,△ABC的外心O和△PQR的外心V以及位似中心S共線.(垂足三角形△PQR的外心V點(diǎn)就是切點(diǎn)三角形△DEF的九點(diǎn)圓圓心V點(diǎn)).

△PQR～△ABC位似,△ABC的內(nèi)心I和△PQR的內(nèi)心H以及S共線.(垂足△PQR的內(nèi)心H就是切點(diǎn)三角形△DEF的垂心H).對(duì)于切點(diǎn)三角形△DEF,依據(jù)歐拉線,切點(diǎn)三角形的垂心H,九點(diǎn)圓圓心V、重心G與其外心I四點(diǎn)共線.(切點(diǎn)三角形△DEF的外心I就是原三角形△ABC的內(nèi)心I).因此,切點(diǎn)三角形的垂心H,九點(diǎn)圓圓心V,重心G與原三角形內(nèi)心I、外心O以及位似中心S六點(diǎn)共線.三角形內(nèi)切圓的切點(diǎn)三角形的六心共線證明完畢.

三、雙心圓彭賽列三角形閉合轉(zhuǎn)換中六心線恒定不變性

研究表明：當(dāng)雙心圓作彭賽列三角形閉合變換時(shí),其切點(diǎn)三角形的六心線恒定不變,在幾何變換中發(fā)現(xiàn)了幾何特性點(diǎn)不變的現(xiàn)象,具有研究意義.證明如下：

引理6外接橢圓的任意六點(diǎn)形,間隔連接頂點(diǎn)形成二個(gè)三角形,在橢圓內(nèi)部可構(gòu)成一個(gè)六邊形,則內(nèi)部六邊形的三條對(duì)角線必定交于一點(diǎn).

圖5

圖6

簡(jiǎn)證如圖6,依據(jù)帕斯卡定理,XMY三點(diǎn)共線.對(duì)BDA,QGR用帕普斯定理,有NMY共線,對(duì)BED,QFG用帕普斯定理,有XNZ共線.則XNMZY五點(diǎn)共線,即XZY三點(diǎn)共線,引理6成立.

引理7(彭賽列三角形閉合定理)對(duì)于雙心橢圓K和C,假設(shè)存在一個(gè)內(nèi)切外接雙心圓的閉合三角形,則從外橢圓曲線K上任取一點(diǎn)P出發(fā),內(nèi)切外接雙心圓K和C三次后一定能閉合,稱為雙心橢圓彭賽列閉合三角形.

簡(jiǎn)證布列安桑定理斷言六條邊和一條圓錐曲線相切的六邊形的三條對(duì)角線共點(diǎn),如圖6,依據(jù)引理6和布列安桑定理,彭賽列閉合定理(N=3)成立.

引理8(歐拉幾何定理)設(shè)三角形的外接圓半徑為R,內(nèi)切圓半徑為r,外心與內(nèi)心的距離為d,則有：d2=R2-2·r·R.

圖7

圖8

引理9任意雙心圓,小圓圓心為O點(diǎn),在大圓上取二個(gè)點(diǎn)A和A1,過(guò)A點(diǎn)作小圓的切線交于B、C兩個(gè)切點(diǎn),過(guò)A1點(diǎn)作小圓的切線交于B1、C1兩個(gè)切點(diǎn),M為BC線段的中點(diǎn),M1為B1C1線段的中點(diǎn),則△OAA1～△OM1M.

證明如圖8,假設(shè)小圓半徑為r,依據(jù)射影定理可知：r2=OM·OA=OM1·OA1,則有：AA1MM1四點(diǎn)共圓,∠1=∠OMM1=∠OA1A;∠2=∠OM1M=∠OAA1,所以,△OAA1～△OM1M.

引理10(圓中圓定理)任意雙心圓,在大圓上取一個(gè)動(dòng)點(diǎn)A,作小圓的切線交于B、C兩個(gè)切點(diǎn),M為BC線段的中點(diǎn),則M點(diǎn)的軌跡為一個(gè)圓.

簡(jiǎn)證一如圖10,大圓上任意選取四點(diǎn)ABCD,做小圓切線,得到對(duì)應(yīng)的極線中點(diǎn)A1B1C1D1四點(diǎn).因?yàn)?ABCD四點(diǎn)共圓,即∠1+∠2+∠3+∠4=180°.依據(jù)引理9可知,分析A1B1C1D1四邊形,對(duì)角之和為180°,所以,A1B1C1D1四點(diǎn)共圓.

圖9

圖10

簡(jiǎn)證二如圖11,大圓上任意A,做小圓切線,得到對(duì)應(yīng)的極線中點(diǎn)M點(diǎn).A1A2在雙心圓的兩個(gè)圓心連線上,A1、A2二點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的極線中點(diǎn)為M1和M2點(diǎn).依據(jù)引理9可知,∠M=∠1+∠2=90°,依據(jù)題意,M1和M2點(diǎn)是M軌跡兩個(gè)圓心連線上的最左和最右端點(diǎn).推理可知：M點(diǎn)的軌跡為一個(gè)圓,M1M2是M軌跡圓的直徑.

引理11雙心圓彭賽列三角形作閉合變換時(shí),切點(diǎn)三角形的九點(diǎn)圓恒定不變.

圖11

圖12

簡(jiǎn)證如圖12,彭賽列三角形△ABC閉合變換為三角形△A1B1C1,相應(yīng)的切點(diǎn)三角形△DEF變換為切點(diǎn)三角形△D1E1F1,切點(diǎn)三角形的中位線三角形△PQR變換為中位線三角形△P1Q1R1.PQRP1Q1R1六點(diǎn)均是切線極線的中點(diǎn),依據(jù)引理9可知,PQRP1Q1R1六點(diǎn)共圓于圓V.依據(jù)九點(diǎn)圓定義,切點(diǎn)三角形△DEF和切點(diǎn)三角形△D1E1F1具有相同的九點(diǎn)圓.因此,雙心圓彭賽列三角形作閉合變換時(shí),切點(diǎn)三角形的九點(diǎn)圓恒定不變.

定理12(六心連線不變性)雙心圓彭賽列三角形作閉合變換時(shí),切點(diǎn)三角形的垂心H,九點(diǎn)圓圓心V,重心G與原三角形內(nèi)心I、外心O以及位似中心S六點(diǎn)共線,六心線恒定不變.

簡(jiǎn)證如圖13,在雙心圓中,△ABC彭賽列三角形閉合變換到△A1B1C1的位置.△ABC的切點(diǎn)三角形為△DEF,△DEF的垂足三角形為△PQR.△A1B1C1的切點(diǎn)三角形為△D1E1F1,△D1E1F1的垂足三角形為△P1Q1R1.△PQR和△P1Q1R1的外接圓分別是△DEF和△D1E1F1的九點(diǎn)圓.

圖13

依據(jù)引理 11可知,切點(diǎn)三角形△DEF和切點(diǎn)三角形△D1E1F1具有相同的九點(diǎn)圓.因此,△PQR和△P1Q1R1具有相同外接圓,圓心V相同.雙心圓彭賽列三角形閉合變換時(shí),△DEF和△D1E1F1切點(diǎn)三角形的九點(diǎn)圓圓心V位置不變,半徑均為圓I半徑的一半.因?yàn)?切點(diǎn)三角形為△DEF和切點(diǎn)三角形△D1E1F1的二組六心線中,其中三點(diǎn)是恒定不變(九點(diǎn)圓圓心V、原三角形內(nèi)心I、外心O在命題中是固定的).

因?yàn)?切點(diǎn)三角形的九點(diǎn)圓圓心V,重心G,垂心H,外心I四點(diǎn)共線,且HG=2IG,IG=2V G,IH=2IV,這些點(diǎn)互相之間比例關(guān)系恒定的.因此,雙心圓彭賽列三角形閉合變換時(shí),切點(diǎn)三角形的九點(diǎn)圓心V和外心I恒定不變,所以,重心G,垂心H也恒定不變.所以,切點(diǎn)三角形為△DEF和△D1E1F1二組六心線中五點(diǎn)完全重合,五心恒定不變(九點(diǎn)圓圓心V,重心G,垂心H和原三角形內(nèi)心I、外心O).因?yàn)?△PQR和△P1Q1R1的外接圓相同,六點(diǎn)共圓.又依據(jù)引理4可知,△ABC與△PQR位似,△A1B1C1與△P1Q1R1位似,二者位似比相同.所以,六邊形ABCA1B1C1與六邊形PQRP1Q1R1位似.因此,雙心圓彭賽列三角形閉合變換時(shí),△ABC與△PQR位似關(guān)系轉(zhuǎn)變成為△A1B1C1與△P1Q1R1位似,二者的位似中心S點(diǎn)相同.定理12證明完畢.

三、彭賽列雙心圓切點(diǎn)三角形的六心位置

雙心圓彭賽列三角形閉合變換時(shí),切點(diǎn)三角形的垂心H,九點(diǎn)圓圓心V,重心G與原三角形內(nèi)心I、外心O以及位似中心S六點(diǎn)共線,且方向和位置恒定不變.在幾何變換中發(fā)現(xiàn)了幾何特性點(diǎn)不變的現(xiàn)象,具有重要研究意義.

彭賽列三角形閉合特性是僅僅取決于彭賽列雙心圓,即取決于雙心圓大圓半徑R、小圓半徑r,因此,六心之間的距離也僅僅取決于彭賽列雙心圓的半徑r、R兩個(gè)參數(shù).

1.雙心圓圓心距離d

依據(jù)歐拉幾何定理：d2=R2-2·r·R=f1(r,R).式中的d為三角形大圓圓心O和小圓圓心I之間的距離.

2.九點(diǎn)圓圓心V,垂心H和重心G的位置

九點(diǎn)圓半徑為三角形外接圓半徑的一半,如圖14,,依據(jù)引理11的簡(jiǎn)證方法二得.依據(jù)射影定理,

圖14

圖15

3.位似中心S的位置

如圖15,雙心圓彭賽列三角形閉合變換時(shí),所有切點(diǎn)三角形的九點(diǎn)圓相同,九點(diǎn)圓和大圓的位似中心S點(diǎn),就是雙心圓彭賽列三角形閉合變換時(shí)所有位似三角形的位似中心S點(diǎn).假設(shè)距離IS為x,則,整理得：.

4.思考

1)彭色列三角形閉合變換時(shí),原三角形的旁心也在六心線上.

2)彭色列三角形閉合變換時(shí),所有切點(diǎn)三角形的三條邊長(zhǎng)的平方之和是恒定不變,即