湖北省監(jiān)利縣實驗高中(433300) 萬平方

題目(2018年全國III卷理科第16題)已知點M(-1,1)和拋物線C:y2=4x,過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A,B兩點,若∠AMB=90°,則k=____.

此題取材平實,表現(xiàn)樸實,題干清晰,設問簡潔,形式常見,但若對此題進行深入研究,細致品析,則會感覺它猶如一杯陳年老酒,淺嘗平淡,深酌而顯深厚蘊藉,余味綿長.

1.解法探究

本題有3個條件：

I.A,B在拋物線y2=4x上;

II.AB過焦點F(1,0);

III.∠AMB=90°.

條件I可有3種表現(xiàn)形式：①設四個參數(shù)A(x1,y1),B(x2,y2);②設兩個參數(shù)利用拋物線的定義.

條件II可有4種表現(xiàn)形式：①AB在過焦點F的直線x=my+1上;②A,F,B三點共線;③利用拋物線的定義;④∠AFx=α.

結論可有3種表現(xiàn)形式：①直線形式x=my+1(或y=k(x-1));②斜率公式;③定義式k=tanα.

1.1 條件I采用設四個參數(shù)、條件II用AB在過焦點F的直線x=my+1上.

因為直線AB經(jīng)過焦點F(1,0),且,故設其直線x=my+1,設AB與拋物線交點A(x1,y1),B(x2,y2)聯(lián)立得.由根與系數(shù)的關系有y1+y2=4m,y1y2=-4.則

解法1因為∠AMB=90°,所以.則,所以.結論用直線形式,有.結論用斜率公式,有.

由此可知,直線方程設為x=my+1不是無意之舉.如果條件III用斜率形式kMA·kMB=-1并結合(?)可得：

解法2因為∠AMB=90°,所以kMA·kMB=-1.,即(y1-1)(y2-1)=0,下面同解法1.

評析解法1、2的核心思想是利用根與系數(shù)的關系進行整體代換,是解析幾何解題的一種常規(guī)方法.

1.2 條件I采用設兩個參數(shù)條件II采用A,F,B三點共線

解法3因為∠AMB=90°,所以,則利用(??)有,所以a+b=1,從而k=2.

條件III用斜率形式kMA·kMB=-1與解法3類似,此處從略.利用條件III的幾何意義1—兩個直角三角形相似并利用 (??)式有：

圖1

解法4如圖1,設A,B兩點在準線x=-1上的射影分別為C,D,因為∠AMB=90°,所以Rt△ACM～Rt△MDB,則,而AC=AF=a2+1,BD=BF=b2+1,CM=2a-1,MD=1-2b,故,化簡得,2(a+b)2-2(a+b)+1=0,所以a+b=1,從而k=2.

利用條件III的幾何意義2—勾股定理并且利用(??)式,便有：

解法5因為∠AMB=90°,所以|AB|2=|AM|2+|MB|2,則(a2+1)2+(2a-1)2+(b2+1)2+(2b-1)2=(a2-b2)2+4(a-b)2,化簡得：(a+b)2-2(a+b)+1=0,所以a+b=1,從而k=2.

利用條件III的幾何意義3—M在以為AB直徑的圓上,并且利用 (??)式,便有：

解法6因為∠AMB=90°,所以M在以為AB直徑的圓上,而為AB直徑的圓的方程為：(x-a2)(x-b2)+(y-2a)(y-2b)=0,則(-1-a2)(-1-b2)+(1-2a)(1-2b)=0,化簡得：(a+b)2-2(a+b)+1=0,所以a+b=1,從而k=2.

評析從解法3至6可以清楚看到,條件I與II組合得到AB兩點坐標的一個關系式ab=-1,條件III與II組合得到AB兩點坐標的另一個關系式a+b=1,再用結論的斜率公式表現(xiàn)形式得到答案.整個解答過程就是尋找兩個參數(shù)的積與和.從解答過程中可以看到AB中點的縱坐標為1與M的縱坐標相同.則可繼續(xù)尋找新的組合.

1.3 條件I、II都采用用定義.

利用條件III的幾何意義4—直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,便有：

圖2

解法7如圖2,設A,B兩點在準線x=-1上的射影分別為C,D,E為AB的中點.因為∠AMB=90°,則 2ME=AB=AF+BF=AC+BD.由梯形中位線定理可知,ME為梯形ABDC的中位線,則M,E的縱坐標都為A,B縱坐標和的一半,即a+b=1.從而k=2.

利用條件III的幾何意義5—直角三角形全等,便有：

解法8如圖2,由解法7知,ME為梯形ABDC的中位線,從而ME=AE,∠AME=∠EAM,又∠AME=∠CAM,所以∠EAM=∠CAM,所以△ACM～=△AFM,即MF⊥AB.而,從而k=2.

評析解法8可以看到平面幾何在解析幾何中的威力,直觀想象核心素養(yǎng)體現(xiàn)得淋漓盡致,思路的得到緣于前面的鋪墊,緣于拋物線定義的運用與平面幾何性質(zhì)的挖掘.

1.4 條件I采用用定義、條件II采用∠AFx=α.

解法9設∠AFx=α,則|FA|=|FA|cosα+p,所以.同理,把α換成π+α有：.

條件III采用向量形式與斜率形式都可得到：sinα=2cosα(過程略),從而k=tanα=2(結論的第3種表現(xiàn)形式).

說明解法9沒有展開的原因是后面只是應用條件III的幾種表現(xiàn)形式求值.

至此,我們可以看到,從審視題目條件入手,厘清條件的表現(xiàn)形式,再追蹤到題目結論,明晰結論的呈現(xiàn)方式,然后將兩者組合,進行對照分析,就能找到解決問題的方法.這樣的方法不是“從帽子里變出一只兔子”,也不是解法的瑣碎堆砌,這樣的解法探究更不是無源之水,而是從題目出發(fā)的追本溯源,題目的條件和結論提供了解題思路的活水源頭,對兩者的表現(xiàn)形式進行多角度的有效性探究分析,可以完善知識系統(tǒng)的建構,有利于思維的訓練.這樣的解法探究著眼于知識要點,注重知識聯(lián)系,從而拓展知識廣度;這樣的解法探究運用思想方法,拓展解題思路,凸顯數(shù)學高度.

2.背景探究

2013年大綱卷理科第11題與本題幾乎一模一樣,可以說本題是13年題的重現(xiàn).

題目(2013年大綱卷理科第11題)已知拋物線C:y2=8x與點M(-2,2),過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A,B兩點,若,則k=()

本題有著豐富的高等幾何背景,極點極線是高等幾何的重要概念,本題中,點M(極點)對應的極線正好是AB,依據(jù)高等幾何的結論：若拋物線y2=2px(p＞0),則點P(x0,y0)對應的極線方程為：y0y=p(x0+x).因此,AB的直線方程為1·y=2(-1+x),即y=2x-2,故k=2.此題可以“秒殺”!

從數(shù)學史的角度看,本題中的△MAB是阿基米德三角形.拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍的三角形稱為阿基米德三角形.

有了這些背景認識,利用GeoGebra動態(tài)數(shù)學軟件可以探究出阿基米德三角形的許多有趣性質(zhì).

圖3

如圖3,設焦點為F的拋物線y2=2px(p＞0)的弦為AB,△MAB為其阿基米德三角形.

由高等幾何的極點極線知識有：

性質(zhì)1弦AB繞著定點P(m,0)轉(zhuǎn)動,則其所對頂點M落在直線x=-m上,特別地,當時,定點為焦點,M點落在準線上.

由解法7推廣到一般有：

性質(zhì)2若AB的中點為E,則ME平行于拋物線的對稱軸.

探尋ME的中點,發(fā)現(xiàn)ME的中點在拋物線上.

性質(zhì)3若AB的中點為E,則ME的中點H在拋物線上.

由解法8推廣到一般有：

性質(zhì)4直線MP、AB斜率之積為定值,且當P為焦點時,斜率之積為-1,即MP⊥AB.

本題條件為∠AMB=90°,推廣到一般有：

性質(zhì)5直線MA、MB斜率之積為定值,且當P為焦點時斜率之積為-1,即MA⊥MB.

證明中發(fā)現(xiàn)：

性質(zhì)6直線MP、AB斜率之積=直線MA、MB斜率之積

圖2中,∠MFA=∠MFB,|MF|2=|AF|·|BF|推廣到一般有：

性質(zhì)7∠MFA=∠MFB.

性質(zhì)8|MF|2=|AF|·|BF|.

研究直線MA、MP、MB斜率,發(fā)現(xiàn)：

性質(zhì)9直線MA、MP、MB斜率成等差數(shù)列.

性質(zhì)1–9的簡證因為直線AB經(jīng)過定點P(m,0),且斜率不為0,故設其直線x=ty+m,設AB與拋物線交點A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立得y2-2pty-2pm=0.由根與系數(shù)的關系有y1+y2=2pt,y1y2=-2pm.則