浙江省杭州第二中學錢江校區(qū)(310053) 董泉發(fā)

2018年高考已經結束,筆者瀏覽了今年的8套試卷(不含文科),發(fā)現(xiàn)導數(shù)還是重頭戲.今年除了北京和上海還是一以貫之地以數(shù)列壓軸外,其他6份試卷全以導數(shù)壓軸.北京卷導數(shù)題作為倒數(shù)第3題出現(xiàn),上海卷沒有考導數(shù)大題.縱觀今年的導數(shù)大題,基本上都是考零點問題和極值點問題,實際上,極值點問題本質上還是零點問題,因為極值點是導函數(shù)的零點.零點問題和最值問題是高中代數(shù)(尤其是函數(shù))的核心,因此高中代數(shù)(函數(shù))部分復習重點應放在這兩個問題上.今年的浙江卷和全國I卷都考了極值點偏移,其中浙江卷考的是類極值點偏移問題和函數(shù)零點與方程根的問題,北京卷和全國III卷都不約而同地考了極值問題,其背景涉及到極值的充分條件,這在高中數(shù)學中不講,在大學數(shù)學分析中提到.全國II卷考的是零點問題,江蘇卷和天津卷都考了函數(shù)零點和方程根的問題,江蘇卷壓軸題是數(shù)列和導數(shù)綜合,考的是恒成立問題.

下面筆者對今年7套試卷中的導數(shù)大題逐一分析,不當之處,望同行批評指正.

題目1(2018年高考全國卷I理科數(shù)學第21題)已知函數(shù)

(1)略;(2)若f(x)存在兩個極值點x1,x2,證明：.

思路簡析(2)f(x)的定義域為.易知當a≤2時,f(x)單調遞減,故f(x)存在兩個極值點當且僅當a＞2.由于f(x)的兩個極值點x1,x2滿足x2-ax+1=0,所以x1x2=1,不妨設0＜.由于,所以等價于.構造函數(shù),易知g(x)在(1,+∞)單調遞減,又g(1)=0,從而當x∈(1,+∞)時,g(x)＜0.

題目2(2018年高考浙江卷第22題)已知函數(shù).

(I)若f(x)在處導數(shù)相等,證明：f(x1)+f(x2)＞8-8ln2;

(II)若a≤ 3-4ln2,證明：對于任意k＞0,直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一公共點.

思路簡析

第(I)問方法1由得由基本不等式得因為,所以x1x2＞256.由題意得f(x1)+f(x2)=.構造函數(shù)在(256,+∞)上單調遞增,故g(x1x2)＞g(256)=8-8ln2,即f(x1)+f(x2)＞8-8ln2.

第 (I)問方法 2令,則x1,x2是方程的兩個不同的正根,也即是方程2tx2-x+2=0的兩個不同的正根,

則

(II)對于任意的a∈R及k∈(0,+∞),先根據(jù)零點定理說明函數(shù)f(x)-(kx+a)有零點,再由得,證明當a≤3-4ln2時,h(x)在(0,+∞)單調遞減即可.

評析全國I卷第2小問和浙江卷第I小問,考的都是極值點偏移和類極值點偏移問題,通常這種問題的處理都是整體考慮兩個極值點(類極值點)：可以將其中一個極值點用另一個極值點表示或者二者都用第三個變量表示,轉化為單一變量問題,通過構造函數(shù)解決問題.這樣處理,原因在于兩個極值點(類極值點)并不是相互獨立的變量,而是彼此互相約束的.浙江卷導數(shù)第二問考的是函數(shù)零點與方程根的問題,其設問方式與天津卷導數(shù)題第三問類似.

題目3(2018年高考北京卷理科第18題)設函數(shù)f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex.

(I)略;(II)若f(x)在x=2處取得極小值,求點a的取值范圍.

思路簡析

第(II)問方法1注意到

費馬定理告訴我們,若函數(shù)f在x0可導,且x0為f的極值點,則f′(x0)=0.這就是說可導函數(shù)在點x0取極值的必要條件是f′(x0)=0.

若f是二階可導函數(shù),則有如下判別極值定理.

極值的第二充分條件：設f在點x0的某鄰域U(x0,δ)內一階可導,在x=x0處二階可導,且.

(1)若f′(x0)＜0,則f在x0取得極大值;

(2)若f′(x0)＞0,則f在x0取得極小值.

對于應用二階導數(shù)無法判別的問題,可借助更高階的導數(shù)來判別.

極值的第三充分條件：設f在點x0的某鄰域內存在直到n-1階導函數(shù),在x=x0處n階可導,且,則

(1)當n為偶數(shù)時,f在x0取得極值,且當時取極大值,時取極小值.

(2)當n為奇數(shù)時,f在x0處不取極值.

第(II)問方法2,注意到,若f(x)在x=2處取得極小值,則必有,從而得到.

題目4(2018年高考全國III卷理科第21題)已知函數(shù)f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.

(1)若a=0,證明：當-1＜x＜0時,f(x)＜0;當x＞0時,f(x)＞0;

(2)若x=0是f(x)的極大值點,求a.

思路簡析(1)略;

第(2)問方法1先證明若a≥0,由(1)知,當x＞0時,f(x)≥ (2+x)ln(1+x)-2x＞0=f(0),這與x=0是f(x)的極大值點矛盾.若a＜0,設函數(shù)

注這里為什么要除以2+x+ax2?原因在于lnx這種超越函數(shù)必須單獨放在一邊,也就是說lnx不能和其他函數(shù)結合在一起,必須分開,否則只求一階導“求不凈”(不能化到多項式函數(shù)),必須還得求二階導,才能找到極值點.這是一種很聰明的做法.

若6a+1＞0,當且時,h′(x)＞0,故x=0不是h(x)的極大值點;若6a+1＜0,則a2x2+4ax+6a+1=0存在根x1＜0,故當x∈(x1,0)且時,h′(x)＜0,所以x=0不是h(x)的極大值點;當 6a+1=0,則.則當x∈(-1,0)時,h′(x)＞0;當x∈(0,1)時,h′(x)＜0.所以x=0是h(x)的極大值點,從而x=0是f(x)的極大值點.綜上,.

注意到f′(0)=f′′(0)=0,f(3)(0)=6a+1,根據(jù)極值第三充分條件可知,若x=0是f(x)的極大值點,則必有f(3)(0)=6a+1=0,即,而當時,f(4)(0)＜0,從而x=0是f(x)的極大值點.

題目5(2018年高考天津卷理科第20題)已知函數(shù)f(x)=ax,g(x)=logax,其中a＞1.

思路簡析問題等價于證明當時,方程組

有解,由(1)代入(2)消x1或x2.

方法1證明當a≥e1e時,關于x1的方程

方法2證明當時,關于x2的方程lnx2-1=有實數(shù)解.令t=lnx,構造函數(shù)2,證明g(t)有零點即可.

題目 6(2018年高考江蘇卷第 19題)記f′(x),g′(x)分別為函數(shù)f(x),g(x)的導函數(shù).若存在x0∈R,滿足f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0),則稱x0為函數(shù)f(x)與g(x)的一個“S點”.

(1)略;(2)略;

思路簡析(3)與天津卷類似,通過構造函數(shù)說明方程有解.

評析天津卷中的(II),(III)問考的是切線平行和重合問題,這本質上考的是方程根的問題.與天津卷類似,江蘇卷這道題引進一個概念“S點”,本質上是方程根的問題,也即方程有解問題.理解方程的根,可以從函數(shù)零點角度考慮.

題目7(2018年高考全國II卷理科第21題)已知函數(shù)f(x)=ex-ax2.

(1)略;(2)若f(x)在(0,+∞)只有一個零點,求a.

思路簡析(2)設函數(shù)h(x)=1-ax2e-x.f(x)在(0,+∞)只有一個零點當且僅當h(x)在(0,+∞)只有一個零點.易知當a≤0時,h(x)＞0,h(x)沒有零點;當a＞0時,是h(x)在(0,+∞)的最小值.根據(jù)單調性及零點定理可知當且僅當h(2)=0,即,h(x)在(0,+∞)只有一個零點.

注當h(2)＜0時,即,由于h(0)=1,所以h(x)在(0,2)有一個零點,當x＞0時,ex＞x2,所以

故h(x)在(2,4a)有一個零點,因此h(x)在(0,+∞)有兩個零點.

尋找零點定理中零點兩邊異號的兩個點,通常要借助于不等式放縮來找,顯然這個數(shù)應該用a表示.在高等數(shù)學中通常用極限很容易說明這一點.

評析ex這種超越函數(shù)單獨放在一邊求導求不干凈,必須跟多項式函數(shù)結合在一起,盡管這樣一階導也求“不干凈”,但這樣求導會有公因子ex,這樣也方便找零點.代數(shù)變形,這里不直接對f(x)求導,原因在于極值點求不出來,需要求二階導,而h′(x)=ax(x-2)e-x的零點很容易找到,這樣不需要求二階導.