馮志友，倪迎真，贠今天

（天津工業(yè)大學天津市現(xiàn)代機電裝備技術重點實驗室，天津300387）

3UPS-RPR并聯(lián)機構中3條UPS支鏈為無約束支鏈，RPR支鏈自由度與該機構的自由度相同，為恰約束支鏈，且RPR支鏈為擺動支鏈，有廣闊的工作空間.由于約束的存在限制了機構部分自由度，少自由度并聯(lián)機構的研究更為繁瑣.該種機構自由度的確定[1]、奇異性分析[2-4]、運動學性能評價[5]均需要建立完整的雅可比矩陣.完整雅可比矩陣作為連接輸入與輸出的橋梁，以完整雅可比矩陣為基礎構造出的性能指標反映了機構的運動或力傳遞的靈敏度.在對機構靜力學性能的分析中，基于完整雅可比矩陣構造出來的力傳遞性能指標也是衡量并聯(lián)機構工作性能優(yōu)劣的重要指標[6].曲海波等[7]通過求解出各個分支的力反螺旋對4RRS并聯(lián)機構靜力學進行研究；路光達等[8]運用支鏈方向向量法建立靜力學模型，對3RSS-S并聯(lián)機構進行了實驗探究；王中林等[9]在靜力平衡方程的基礎上運用小變量協(xié)調(diào)方程求解出力之間的映射關系；Huber等[10]將靜力學研究引入到了機構的奇異性問題；艾青林等[11]從不同類型機構包括桿支撐、繩牽引和鋼帶傳動形式等方面概括了國內(nèi)外并聯(lián)機構靜力學分析的進展程度；鄧昱等[12]針對少自由度并聯(lián)機構進行了靜力學分析；Ninomiya等[13]對并聯(lián)諧振轉(zhuǎn)換器進行了動力學和靜力學特性分析.由于3UPS-RPR并聯(lián)機構中間是一條RPR擺動支鏈，工作空間/機構體積參數(shù)大，應用在并聯(lián)機床領域可以大大縮小機床體積.本文在完整雅可比矩陣的基礎上，借助功能原理，構造了靜力學力傳遞性能指標，分析了部分結構參數(shù)及末端位姿變化對傳力性能的影響規(guī)律.

1 機構描述

3UPS-RPR并聯(lián)機構結構簡圖如圖1所示.

圖1 3UPS-RPR并聯(lián)機構結構簡圖Fig.1 Schematic diagram of 3UPS-RPR parallel mechanism

由圖1可見，3UPS-RPR并聯(lián)機構是由動平臺（上）、靜平臺（下）、3條無約束驅(qū)動支鏈（UPS）和1條恰約束從動支鏈（RPR）構成.其中，U、P、S分別表示虎克鉸、移動副和球面副.該機構中的3個移動副（P）為該機構的驅(qū)動副.UPS支鏈的一端通過虎克鉸與靜平臺連接，另一端則通過球面副與動平臺相連；RPR支鏈的兩端分別通過轉(zhuǎn)動副與靜、動平臺連接，支鏈中間運動副為移動副，移動副前段定長連桿為l，且兩轉(zhuǎn)動副軸線互相垂直，分別位于靜、動平臺的中心.該機構通過3個移動副的輸入實現(xiàn)1平動2轉(zhuǎn)動（1T+2R）3個自由度.設定由點Ai構成的靜平臺為等邊三角形，該三角形的中心為O，其外接圓半徑為a，同樣由點Bi構成的動平臺也為等邊三角形，該三角形的中心為P，其外接圓半徑為b.

1.1 建立坐標系

初始位置時坐標系建立如圖2所示.建立固定坐標系O-xyz，其中x軸與y軸的建立如圖2（a）所示，z軸垂直于靜平臺；建立動坐標系P-uvw，其中v軸與RPR支鏈與動平臺連接處轉(zhuǎn)動軸線重合，u軸與邊B1B2平行，如圖2（b）所示，w軸符合右手定則.

動平臺相對于定坐標系的姿態(tài)可通過先繞x軸旋轉(zhuǎn)α角，再繞旋轉(zhuǎn)后的v軸旋轉(zhuǎn)β角實現(xiàn).則旋轉(zhuǎn)矩陣可表示為：

圖2 靜、動平臺在各自坐標系中的位置關系Fig.2 Position relationship of static and dynamic platform in their coordinate system

旋轉(zhuǎn)矩陣中各列向量分別為動系各坐標軸矢量.

1.2 位置逆解模型

假設已知動平臺末端位姿參數(shù)α、β、q4后，即可求得對應的各個輸入?yún)?shù)q1、q2、q3的具體數(shù)值.

動平臺上P點位置矢量r=（xpypzp）T，有

在定坐標系O-xyz下根據(jù)閉環(huán)矢量[14-15]可以建立如下約束方程

式中：s4為向量r的單位矢量；qi、si分別為第i條UPS支鏈的長度和AiBi方向的單位矢量；ai、bi分別為矢量OAi、PBi在定坐標系O-xyz中的表示.其中

式中：bPi為PBi在動坐標系P-uvw下的矢量.

已知：

式（6）中：γi=（4i-9）π/6，i=1，2，3

聯(lián)立式（1）、（3）、（4）、（5），可求得機構的輸入：

1.3 機構逆位置仿真計算

由于上述結果為后續(xù)研究的基礎，必須確保其正確性，對運動學研究結果進行仿真驗證.設定3UPS-RPR并聯(lián)機構幾何參數(shù)如下：a=1 m，b=0.6 m，l=0.25 m.給定機構末端的運動參數(shù)為

運動過程中，設定RPR支鏈運動時的變化規(guī)律為

已知機構位置逆解模型，把機構末端輸出規(guī)律代入到3UPS-RPR并聯(lián)機構位置逆解模型中，就能得到各個UPS驅(qū)動支鏈總長qi（i=1，2，3）變化規(guī)律即輸入變化規(guī)律，如圖3所示.

圖3 UPS支鏈總長qi曲線Fig.3 Graph of UPS branch length qi

在給定機構末端位姿的情況下，得出各個UPS驅(qū)動支鏈總長qi（i=1，2，3）在一個周期內(nèi)的變化規(guī)律，驗證了求解結果的正確性.

2 完整雅可比矩陣

動平臺的瞬時運動螺旋可以表示為

式中：Sji為支鏈i中第j個單自由度副的瞬時運動螺旋；ρji為支鏈i中第j個單自由度副的速率；ρm4為支鏈RPR中第m個單自由度副的速率；Sm4為支鏈RPR中第m個單自由度副的運動螺旋.

2.1 約束子雅可比矩陣

僅對恰約束支鏈進行研究，建立支鏈RPR運動螺旋

根據(jù)反螺旋方法，可得式（10）一個反螺旋

根據(jù)互易積[16]，得

將式（11）整理成矩陣形式，有

由于 e1、r、v向量兩兩垂直，且有e1=x，則

式中：Jc為3UPS-RPR并聯(lián)機構的約束子雅可比矩陣.

2.2 驅(qū)動子雅可比矩陣

該機構中支鏈UPS是無約束驅(qū)動支鏈，支鏈中P為驅(qū)動副，則運動螺旋表示如下

鎖定UPS支鏈的主動關節(jié)，即移動關節(jié).每個UPS支鏈將會變?yōu)閁S支鏈，其瞬時運動螺旋為

由于被動關節(jié)從物理層面講瞬時功率為零，驅(qū)動力（偶）表示為與所有被動關節(jié)的互易積都為零的反螺旋，為

式（8）與式（16）做互易積，可得：

可知：

則有

式（19）中Ja為驅(qū)動子雅可比矩陣.

聯(lián)立式（13）和式（18）可得

3 靜力學分析

由虛功原理得：

即驅(qū)動力所作虛功與機構末端廣義力所作虛功相等.

將式（22）整理成矩陣形式

式（23）可以分解成如下形式的2個子式，如式（24）、（25）所示：

類比于輸入與輸出速度之間映射關系，兩邊對速度積分，可得如下形式方程式

將式（26）、（27）分別代入式（25）、（24），整理可以得到

根據(jù)式（28），設定kJa、kJc為驅(qū)動矩陣條件數(shù)、約束矩陣條件數(shù)

選取 kJa、kJc的全域平均值 ζkJa、ζkJс作為評價機構力傳遞性能的指標

因為 ζkJa、ζkJс大于1，越接近于 1 機構的力傳遞越靈敏.

給定機構幾何參數(shù)，a=1 m，b=0.6 m，l=0.25 m，由式（30）計算kJa、kJc的全域性能指標，可以分析3UPS-RPR并聯(lián)機構的力傳遞性能與機構結構參數(shù)（靜動平臺半徑比λ=a/b、定長連桿l）間關系，如圖4—圖7所示.

圖4—圖5給出了機構的力傳遞性能隨靜動平臺半徑比的響應曲線.由圖4可以看出，當λ在0.3～0.9區(qū)間內(nèi)，機構約束力傳遞性能評價指標隨λ的增大而減小，λ大于0.9時，機構的約束力傳遞性能趨于平穩(wěn).由圖5可以看出，當λ大于3，機構驅(qū)動力傳遞性能較好且穩(wěn)定.綜上所述，λ的參數(shù)設計范圍選擇在3～5之間.

圖4 機構約束力傳遞性能與λ的關系Fig.4 Relationship between mechanism binding transfer performance and λ

圖5 機構驅(qū)動力傳遞性能與λ的關系Fig.5 Relationship between mechanism driving transfer performance and λ

圖6 機構約束力傳遞性能與l的關系Fig.6 Relationship between mechanism binding transfer performance and l

圖7 機構驅(qū)動力傳遞性能與l的關系Fig.7 Relationship between mechanism driving transfer performance and l

圖6—圖7給出了機構的力傳遞性能隨桿l長度變化的規(guī)律.由圖6可以看出，當l處于0～0.23范圍內(nèi)時，機構的約束力性能評價指標隨l的不斷增長呈現(xiàn)出先減小后增大再減小的變化規(guī)律，當l長度大于0.18時，比較平穩(wěn)，機構的約束力傳遞性能較好.由圖7可以看出，機構的驅(qū)動力傳遞性能評價指標在一定范圍內(nèi)隨l的增大先增大后減小的變化規(guī)律.綜上所述，l的參數(shù)設計范圍選擇在0.3～0.45之間.

圖8顯示了機構的約束力傳遞性能與運動過程中恰約束支鏈所處位置之間的關系，當RPR支鏈擺角處于相對較小范圍內(nèi)時約束力傳遞性能較好，隨著擺角增大，約束力傳遞性能降低.

圖8 機構約束力傳遞性能與α的關系Fig.8 Relationship between mechanism binding transfer performance and α

4 結論

（1）利用空間閉環(huán)矢量法建立了3UPS-RPR并聯(lián)機構的逆位置模型，得到逆位置解.在逆解基礎上借助螺旋理論，用反螺旋方法求得機構的完整雅可比矩陣.

（2）借助虛功原理思想，基于6×6階完整雅可比矩陣分別求得驅(qū)動力和約束力輸入與輸出間的力雅可比矩陣，建立了全域范圍內(nèi)的力傳遞性能指標.

（3）分析了機構拓撲構型參數(shù)對力傳遞性能的影響，得到了機構設計過程中并聯(lián)機構優(yōu)選的靜動平臺半徑比λ在3～5之間，中間擺桿運動范圍為-0.5～0.5 rad.實際應用中，在高性能結構參數(shù)的基礎上可以通過調(diào)節(jié)末端位姿范圍來進一步提高機構的性能.