楊 立

(山西大眾電子信息產(chǎn)業(yè)集團(tuán)有限公司，山西 太原 030024)

1 機(jī)組組合問題的提出

機(jī)組組合問題，是在電力系統(tǒng)中根據(jù)負(fù)荷預(yù)測各發(fā)電機(jī)組的成本，決策各機(jī)組在未來調(diào)度周期內(nèi)各個(gè)時(shí)段的開停機(jī)計(jì)劃，在滿足系統(tǒng)負(fù)荷需求和各類約束條件下，實(shí)現(xiàn)總成本最小。電力系統(tǒng)的負(fù)荷是變動(dòng)的，白天以及晚上剛開始的時(shí)候負(fù)荷是比較高的，而在凌晨時(shí)負(fù)荷是處于低谷的；工作日的負(fù)荷就要比周末的負(fù)荷要高。電力是不能被大規(guī)模存儲(chǔ)的，發(fā)電量和用電量要處于平衡的狀態(tài)，因此不同時(shí)間段內(nèi)要進(jìn)行不同的機(jī)組組合以滿足這種平衡的需要。

開啟足夠的機(jī)組以滿足系統(tǒng)最大的負(fù)荷，會(huì)造成相當(dāng)大的浪費(fèi)，在某些時(shí)刻關(guān)掉一些機(jī)組，會(huì)節(jié)省很大費(fèi)用，從經(jīng)濟(jì)性上考慮，機(jī)組組合是非常有必要的。另一方面，機(jī)組有最小出力限制，在負(fù)荷低谷的時(shí)候，這么多機(jī)組同時(shí)運(yùn)行，可能不能滿足負(fù)荷平衡的要求。因此，恰當(dāng)?shù)臋C(jī)組組合對(duì)電力系統(tǒng)的安全經(jīng)濟(jì)運(yùn)行是非常重要的。

2 機(jī)組組合問題的數(shù)學(xué)描述

2.1 機(jī)組組合的目標(biāo)函數(shù)

(1)

2.2 機(jī)組組合的約束條件

功率平衡約束：

(2)

機(jī)組啟停次數(shù)約束：

(3)

最小運(yùn)行時(shí)間約束：

(4)

其他約束：如水火協(xié)調(diào)、必須運(yùn)行機(jī)組、燃料限制、環(huán)境約束、電網(wǎng)安全。

3 機(jī)組組合問題的求解

從數(shù)學(xué)角度看以上目標(biāo)函數(shù)以及約束，機(jī)組組合問題具有高維數(shù)、非凸、離散、非線性的特點(diǎn)，在數(shù)學(xué)上為NP-Hard問題?，F(xiàn)階段應(yīng)用于電力系統(tǒng)機(jī)組組合問題的算法大致分為兩類：一類是傳統(tǒng)算法；另一類是基于人工智能的算法。本文主要對(duì)傳統(tǒng)算法中的拉格朗日松弛法在機(jī)組組合中的應(yīng)用進(jìn)行研究。

3.1 拉格朗日松弛法基本思路

拉格朗日松弛法在機(jī)組組合中的應(yīng)用是通過求解對(duì)偶問題來得到原問題的解的，它通過一種松弛技術(shù)，避免了因耦合帶來的“組合爆炸”問題，具體推導(dǎo)如下[1]：

在目標(biāo)函數(shù)中針對(duì)系統(tǒng)耦合約束(負(fù)荷平衡約束和備用約束)分別引入拉格朗日乘子λ和μ，得到增廣函數(shù)：

(5)

其對(duì)偶問題為：

(6)

對(duì)偶問題是一個(gè)極大極小問題，意義是對(duì)于不同的λ和μ，增廣函數(shù)有不同的最小值，這些最小值中最大者為最優(yōu)解。如果原問題符合凸規(guī)劃條件，則滿足強(qiáng)對(duì)偶定理，即對(duì)偶問題的最優(yōu)解就是原問題的最優(yōu)解。但機(jī)組組合問題的決策量為0-1變量，是離散、非凸的，不滿足對(duì)偶定理，因此對(duì)偶問題的最優(yōu)解同原問題最優(yōu)解之間必然存在對(duì)偶間隙[2]。

將得到的增廣函數(shù)變換形式：

(7)

(8)

這樣就能實(shí)現(xiàn)機(jī)組之間的解耦，也就是說

(9)

(10)

(11)

求解的結(jié)果是：

(12)

3.2 拉格朗日乘子初值選擇以及調(diào)整

首先求q(λ,μ)對(duì)λ和μ的梯度：

(13)

(14)

(1) 對(duì)λt的調(diào)整[3]

當(dāng)備用約束不滿足時(shí)，

(15)

λt,k+1=βλt,k+(1-β)bt,k

(16)

其中β在0.4到0.8之間。

(2) 對(duì)μt的調(diào)整[3]

直接用梯度進(jìn)行調(diào)節(jié)往往比較慢，通常采用如下方式進(jìn)行調(diào)至。

第一次迭代時(shí)令εt,0=0。第k次迭代時(shí)，有εt,k。

μt,k+1=μt,k,εt,k+1=εt,k

(17)

(18)

其中ε取所組合機(jī)組中容量最小的上限值。

(19)

3.3 拉格朗日松弛法計(jì)算

拉格朗日松弛法最大的優(yōu)點(diǎn)在于它的計(jì)算量與系統(tǒng)規(guī)模成線性關(guān)系，克服了維數(shù)障礙，機(jī)組越多算法效果越好，因此適用于大規(guī)模的系統(tǒng)優(yōu)化問題。其缺點(diǎn)在于：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)非凸時(shí)，利用對(duì)偶方法求解，存在對(duì)偶間隙，需要根據(jù)對(duì)偶問題的優(yōu)化解不斷更新拉格朗日乘子最終得到更精確的最優(yōu)解，這是拉格朗日松弛法的一個(gè)難點(diǎn)。另外，在算法的迭代過程中可能出現(xiàn)振蕩或奇異現(xiàn)象，需要采取適當(dāng)?shù)拇胧┘涌焓諗克俣萚4]。

4 算例分析

4.1 算例

該算例是拿文獻(xiàn)[1]中TABLE 5.4中的例子作為算例的。

在此算例中，成本函數(shù)為機(jī)組出力的一次函數(shù)，亦即：

F(P)=無負(fù)載時(shí)成本+成本微增率×P

(20)

由于成本函數(shù)為線性函數(shù)，在進(jìn)行經(jīng)濟(jì)調(diào)度時(shí)，各機(jī)組按比費(fèi)用由低到高的順序依次從下限功率調(diào)至上限功率，從而完成最優(yōu)經(jīng)濟(jì)調(diào)度。

由于啟動(dòng)方式有冷啟動(dòng)和熱啟動(dòng)兩種方式，冷啟動(dòng)方式在平時(shí)停機(jī)過程中是不耗能的，而熱啟動(dòng)方式在平時(shí)停機(jī)過程中是要耗能的，本文在處理的時(shí)候?qū)⒚總€(gè)機(jī)組的狀態(tài)稍微做了修改，傳統(tǒng)的狀態(tài)一般為0-1兩個(gè)狀態(tài)，本文在設(shè)置時(shí)設(shè)置了{(lán)00(停機(jī)狀態(tài)且啟動(dòng)為冷啟動(dòng)方式)-01(停機(jī)狀態(tài)且啟動(dòng)為熱啟動(dòng)方式)-10(開機(jī)狀態(tài))}這三個(gè)狀態(tài)，以便能夠?qū)?dòng)的兩種方式也都能考慮進(jìn)去。這樣四臺(tái)機(jī)組連接起來就是一個(gè)八位二進(jìn)制數(shù)，在本文中將其轉(zhuǎn)換為了十進(jìn)制，比如00101001，表示第一臺(tái)機(jī)組關(guān)機(jī)，且開機(jī)方式為冷啟動(dòng)方式，第二臺(tái)機(jī)組開機(jī)，第三臺(tái)機(jī)組開機(jī)，第四臺(tái)機(jī)組關(guān)機(jī)，開機(jī)方式為熱啟動(dòng)方式，十進(jìn)制數(shù)為41。

4.2 拉格朗日松弛法計(jì)算結(jié)果

經(jīng)過了14次迭代，對(duì)偶間隙終于收斂到了0.05內(nèi)，最優(yōu)機(jī)組組合見表1，拉格朗日乘子以及對(duì)偶間隙在迭代過程中的數(shù)值見表2。

表1 最優(yōu)機(jī)組組合

最小費(fèi)用為7.410 99×104R。

表2 拉格朗日松弛法迭代過程

5 結(jié)論

以上算例最終計(jì)算結(jié)果與原文一致，表明復(fù)現(xiàn)成功了。通過本次對(duì)機(jī)組組合問題的研究學(xué)習(xí)，基本掌握了解決機(jī)組組合問題的一種經(jīng)典方法，可為日后的學(xué)習(xí)研究做基礎(chǔ)。