廣東省華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 曾慶煜

基于西蒙數(shù)學(xué)教學(xué)理論,考慮到學(xué)生在正弦定理的第一課時中已經(jīng)經(jīng)歷了以“直角三角形——銳角三角形——鈍角三角形”的探索過程和用作高法證明正弦定理,即在一個三角形中,各邊和它所對角的正弦的比相等的過程,本認(rèn)知工作單基于學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)精心設(shè)計認(rèn)知起點,采用小步教學(xué),編排題組,突出小結(jié)等方式來展開“升級版”正弦定理,即三角形的各邊和它所對角的正弦的比值相等,并且該比值等于該三角形外接圓的直徑的探索、證明與應(yīng)用,便于學(xué)生自我學(xué)習(xí).

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.探索與證明三角形的各邊和它所對角的正弦的比值的幾何意義——該三角形外接圓的直徑;

2.理解“升級版”正弦定理的結(jié)構(gòu)不變性和表達這一定理所用字母的可變性;

3.會用“升級版”正弦定理達到化邊為角,化角為邊的目的;

4.經(jīng)歷探索和證明“升級版”正弦定理的過程,領(lǐng)悟分類討論思想和化歸思想,學(xué)習(xí)由特殊到一般,由一般到特殊的思維方法,培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng);

5.欣賞“升級版”正弦定理的對稱美、概括性,領(lǐng)悟其中所蘊含的變與不變的辯證關(guān)系,為數(shù)學(xué)所震撼,增強學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.

(注:本認(rèn)知工作單所用名詞“升級版”正弦定理并非規(guī)范數(shù)學(xué)用語,但它容易讓學(xué)生區(qū)分第一課時所學(xué)的正弦定理,使語言表達更為簡潔.為了引起學(xué)生的注意,本認(rèn)知工作單在提出“升級版”正弦定理時給予相關(guān)說明.)

二、知識建構(gòu)

試一試探索三角形的各邊和它所對角的正弦的比值的幾何意義

圖1

圖2

(2)(看一看)借助幾何畫板軟件來構(gòu)造許多銳角三角形和鈍角三角形,請觀察在這些三角形中邊a和它所對角的正弦的比與對應(yīng)三角形外接圓的直徑的關(guān)系(如圖3所示).

圖3

小結(jié):1.各邊,它所對角的正弦,直徑;

試一試命題證明

1.分析

此證明題的題設(shè)是___,結(jié)論是___.結(jié)論與我們所學(xué)的關(guān)于三角形邊角關(guān)系的____定理的結(jié)論相似,以此來簡化結(jié)論.題設(shè)有___三角形、__三角形兩類.于是考慮對簡化后的命題分成____種情況討論.結(jié)合所得到的直角三角形已有的結(jié)論,能否考慮引入輔助元素將___三角形、___三角形的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題呢?

2.證明過程

圖4

(2)在鈍角△ABC中.

(提示:①構(gòu)造一條直角邊為a,其對角的正弦與角A的正弦相等,斜邊為外接圓的直徑的直角三角形;②若A,B∈(0,π),sinA=sinB?A=B或A+B=π.)

綜上所述,原命題得證.

2. 正弦;(1)BO(或OB),D,CD(或DC),BD(或DB),∠BCD(B與D可以交順序),△BCD(字母順序可不同),sinD,D,sinD;

圖5

三、學(xué)習(xí)遷移

做一做題組一:“升級版”正弦定理的內(nèi)涵

1.在△DEF中,三邊為m,p,q,它們的對角分別為D,F,E,△DEF的外接圓半徑為r,且p=3,E=45°,F=30°,則r=____.

2.已知AB是⊙O的直徑,C是⊙O上一點,CM切⊙O于點C,弦CD交AB于E,過點E作CM的垂線,垂足為F,求證:AB·EF=CE·CD.

3.在⊙O中,弦AB,CD相交于M,且AB⊥CD,求證:AM2+BM2+CM2+DM2等于定值.

答案:1.6;

2.提示:連接AC,AD,運用弦切角定理、正弦的定義、正弦定理獲得等量關(guān)系,進而求證.

3.提示:連接AC,AD,BD,在△ABD和△ACD中分別運用正弦定理用R表示BD,AC,再運用兩次勾股定理可證.

小結(jié):“升級版”正弦,邊角三角形外接圓的直徑,三角形.

做一做題組二:邊角互化

2.若b=asinC,c=acosB,判斷△ABC的形狀.

答案:1.等邊;

四、能力拓展

2.已知⊙O1與⊙O2相交于A,B,⊙O1與⊙O2的半徑分別為r1,r2(定值),過A點如何引割線CAD,方可使S△BCD最大?

3.在△ABC中,若 (a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),判斷△ABC的形狀.

(1)求sinBsinC;

(2)若 6cosBcosC=1,a=3,求bc.

五、總結(jié)與反思

1.本堂課要掌握哪些基本知識與基本技能?

2.本堂課學(xué)會了哪些數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法?