江蘇省蘇州市相城區(qū)陸慕高級(jí)中學(xué)(215131) 萬福昌

為適應(yīng)世界教育改革發(fā)展趨勢(shì)、提升我國(guó)教育國(guó)際競(jìng)爭(zhēng)力,黨和國(guó)家提出提出了教育要落實(shí)立德樹人根本任務(wù),落腳點(diǎn)是要全面深化課程改革,推進(jìn)新一輪課程改革,培育學(xué)生發(fā)展的核心素養(yǎng).2016年9月教育部公布了核心素養(yǎng)課題組研究成果,明確了中國(guó)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)的內(nèi)涵和綜合表現(xiàn)及基本要點(diǎn).中國(guó)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)主要指學(xué)生應(yīng)具備的,能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力.綜合表現(xiàn)為人文底蘊(yùn)、科學(xué)精神、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、健康生活、責(zé)任擔(dān)當(dāng)、實(shí)踐創(chuàng)新六大素養(yǎng),具體細(xì)化為國(guó)家認(rèn)同等十八個(gè)基本要點(diǎn).根據(jù)這一總體框架,數(shù)學(xué)學(xué)科又提出了六個(gè)方面核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析.

要落實(shí)“立德樹人”任務(wù),主要在學(xué)科教學(xué)中培育學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng),而中國(guó)眾多的古代數(shù)學(xué)史料成為我們培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要素材.現(xiàn)在多個(gè)版本中學(xué)數(shù)學(xué)教材,都遴選的一些典型中國(guó)古代數(shù)學(xué)史料,如秦九韶算法就被選入蘇教版教材中.然而,在教學(xué)實(shí)踐中,有些素材并沒有得到充分的運(yùn)用,如在教學(xué)秦九韶算法時(shí),有的老師在教學(xué)這一內(nèi)容時(shí)一帶而過,沒有沒有引起高度的重視,沒有發(fā)揮這一教學(xué)素材的重要價(jià)值.結(jié)合筆者在教學(xué)實(shí)踐中的體會(huì),以秦九韶算法為例,從核心素養(yǎng)的角度說明如何利用這類素材,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),最終實(shí)現(xiàn)“立德樹人”教育目標(biāo)任務(wù).

一、析史料,賞成就,培養(yǎng)學(xué)生國(guó)家認(rèn)同、人文底蘊(yùn)素養(yǎng)

首先介紹秦九韶和他所取得的成就.秦九韶(約1202–1261)是我國(guó)古代的偉大的數(shù)學(xué)家,史書中稱他“性極機(jī)巧,星象、音律、算術(shù)以至營(yíng)造等事無不精究”,可見他知識(shí)淵博,多才多藝.他撰寫的《數(shù)書九章》共18卷,81題,分九大類型,全書系統(tǒng)地?cái)⑹隽怂卧獣r(shí)期數(shù)學(xué)的杰出成就,內(nèi)容豐富,論述精辟,方法精巧,是一部重要的數(shù)學(xué)著作,其中“大衍求一術(shù)”(即求解一次同余式組的方法)是他的重要成就之一.他在高次方程數(shù)值解法方面也作了開拓性的研究,運(yùn)用“增乘開方法”求解高次方程數(shù)值.他提出了求一個(gè)n次多項(xiàng)式的值時(shí),可以將多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為n個(gè)一次式多項(xiàng)式的反復(fù)循環(huán)運(yùn)算,我們把這種方法稱之為秦九韶算法.秦九韶算法確實(shí)是一種巧妙的好算法.這種方法直至今天還是被人們廣泛運(yùn)用,如我們?cè)诔绦蛟O(shè)計(jì)時(shí)仍時(shí)常采用秦九韶算法來計(jì)算有關(guān)多項(xiàng)式的值.

在教學(xué)中,一方面介紹秦九韶其人聰明好學(xué)、愛好廣泛性格特征,以及刻苦、求精的治學(xué)精神;另一方面介紹他在數(shù)學(xué)上的巨大貢獻(xiàn),以及對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的影響.通過這些史料的介紹,讓學(xué)生增強(qiáng)民族自尊感.

在教學(xué)中還可以和外國(guó)數(shù)學(xué)史比較.1819年,英國(guó)數(shù)學(xué)家霍納提出了與秦九韶的方法實(shí)質(zhì)上一致方法,因此,這種方法在國(guó)外被稱為霍納法,但比秦九韶晚了500多年.通過比較,說明我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就在很多方面不遜于西方.在課堂教學(xué)中,讓學(xué)生為秦九韶及其算法點(diǎn)贊,為做一個(gè)中國(guó)人而自豪！

這樣的教學(xué)過程,就是培養(yǎng)學(xué)生的生國(guó)家認(rèn)同和人文底蘊(yùn)素養(yǎng)的過程.

二、舉實(shí)例,比算法,培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)精神和審美情趣

在教學(xué)中,通過具體的實(shí)例分析,用對(duì)比方法讓學(xué)生感受到秦九韶算法的精妙.他的算法一是減少了算法次數(shù),二是算法具有循環(huán)性和機(jī)械性.

例寫出求x=29時(shí)多項(xiàng)式5x5+3x4-9x3+7x2-2x+16的值的算法.

算法1S1x=29;

S25x5+3x4-9x3+7x2-2x+16;

S3 Printv.

算法2S1x=29;

S2v=((((5x+3)x-9)x+7)x-2)x+16;

S3 Printv.

算法2就是秦九韶算法.秦九韶算法和算法從以下兩個(gè)方面進(jìn)行比較.

(1)看運(yùn)算次數(shù).算法1要15次乘法運(yùn)算,算法2只需5次乘法運(yùn)算,乘法的運(yùn)算次數(shù)減少了,提高了運(yùn)算效率,由此可以看出,算法2比算法1好.

(2)看算法特征.算法2通過一次式的循環(huán)計(jì)算(加法和乘法),逐步得到高次多項(xiàng)式的值,算法具有統(tǒng)一的和機(jī)械的特點(diǎn),更易于設(shè)計(jì)運(yùn)算程序.

通過實(shí)例比較,發(fā)現(xiàn)秦九韶算法之優(yōu),培養(yǎng)學(xué)生追求最優(yōu)化的科學(xué)精神,欣賞其簡(jiǎn)捷美、統(tǒng)一美,陶冶學(xué)生的審美情趣.

從數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)角度看,研究算法,就是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).秦九韶算法本身就是研究多項(xiàng)式賦值后的算法,學(xué)習(xí)秦九韶算法十分必要.

三、建模型,得結(jié)論,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

在分析了具體實(shí)例后,不能停留在個(gè)例層面,要讓學(xué)生思維升華,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)一般多項(xiàng)式加以研究.

一般地,n次多項(xiàng)式v(x)=anxn+an-1xn-1+···+a1x+a0在x=x0處的值的秦九韶算法如下:

S1x=x0;

S2v=(···((anx+an-1)x+an-2)x+···a1)x+a0;

S3 Printv.

這是一個(gè)反復(fù)循環(huán)執(zhí)行的步驟,所以可以用循環(huán)結(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn).

史寧中教授在《關(guān)于高中數(shù)學(xué)教育中的核心素養(yǎng)》一文中指出:“數(shù)學(xué)的眼光是什么呢?就是數(shù)學(xué)抽象.”數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想,是形成理性思維的重要基礎(chǔ),反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征.數(shù)學(xué)抽象使得數(shù)學(xué)成為高度概括、表達(dá)準(zhǔn)確、結(jié)論一般、有序多級(jí)的系統(tǒng).在數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的形成過程中,積累從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),能逐漸養(yǎng)成一般性思考問題的習(xí)慣.從具體實(shí)例算法到一般的n次多項(xiàng)式算法.這種設(shè)計(jì)十分必要,它是數(shù)學(xué)抽象的過程.

四、畫框圖,試運(yùn)行,培養(yǎng)邏輯推理和直觀想象的素養(yǎng)

根據(jù)秦九韶算法及算法思想,要求學(xué)生畫出流程圖,見右圖的.畫圖過程就是一個(gè)邏輯推理的過程,同時(shí)學(xué)生對(duì)算法也有直觀的感受.這里的直觀想象是利用框圖理解算法的過程;通過多次模擬循環(huán)試運(yùn)行,培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力.

圖1

五、寫程序,上機(jī)練,培養(yǎng)實(shí)踐創(chuàng)新素養(yǎng)

用計(jì)算機(jī)輔助數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),既能激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,又能培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手操作能力,培養(yǎng)實(shí)踐創(chuàng)新素養(yǎng).

編寫VB程序,在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行操作.

秦九韶算法的程序如下:

例如,求x=29時(shí)多項(xiàng)式5x5+3x4-9x3+7x2-2x+16多項(xiàng)式的值,程序運(yùn)行時(shí),當(dāng)單擊窗口后,屏幕上會(huì)顯示出對(duì)話“輸入框”,之后首先輸入多項(xiàng)式的次數(shù)5,其次輸入x的值29,再次輸入5次項(xiàng)系數(shù),最后依次輸入各項(xiàng)系數(shù)的值3,-9,7,-2,16,運(yùn)行的結(jié)果為“v(29)=1.044639E+08”.

圖2

讓學(xué)生上機(jī)實(shí)踐操作一下,實(shí)踐中感受秦九韶算法的巧妙,接觸VB程序,激發(fā)學(xué)生的求知欲,努力將學(xué)生培養(yǎng)成具有中國(guó)素養(yǎng)、世界眼光的現(xiàn)代中學(xué)生.

實(shí)踐創(chuàng)新能力是六個(gè)學(xué)生發(fā)展素養(yǎng)之一,在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中適時(shí)讓學(xué)生進(jìn)行實(shí)踐活動(dòng),可以增強(qiáng)學(xué)生實(shí)踐意識(shí)和能力.

在教學(xué)中,用好我國(guó)古代數(shù)學(xué)史典型案例,能增強(qiáng)學(xué)生愛國(guó)情懷,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,培育學(xué)生核心素養(yǎng),最終實(shí)現(xiàn)立德樹人的任務(wù).