李若韜，張文瑜，李南廷，肖緒洋

（重慶文理學院，重慶，402160）

0 引言

浴缸是人們日常生活中用來洗浴和緩解壓力的必備品，目前市場上大部分浴缸采用一次性注水的工作方式，這類浴缸存在不能較長時間保持水溫恒定的困難。本文設計一種浴缸水溫調節(jié)方案，通過實時控制熱水輸出量，從而達到人體最舒適的洗浴溫度。根據(jù)熱力學基本定律，浴缸水溫降低是因為其與外界有熱量交換而損失了一部分熱量。

熱交換方式除了浴缸壁因導熱損失外，主要有蒸發(fā)和對流。當熱水注入浴缸時與浴缸中的水進行熱量交換并使水溫升高[1-6]。本文基于傅里葉導熱和牛頓冷卻的傳熱原理，結合經典人身體溫度的熱平衡方程建立數(shù)學模型，確定最優(yōu)的注水方案，通過調整流速[7-10]控制水龍頭輸出熱水的體積流量，從而達到人體最舒適的洗浴溫度。與本文相關符號的說明如表1所示。

表1 符號說明

AD人體皮膚與水的有效接觸面積，m2 V浴缸的總體積，m3 QV水龍頭流出熱水的體積流量，m3·s-1

1 恒溫浴缸設計的基本原理

1.1 加熱器熱水輸出

冷水在電熱水器中流過加熱管變成熱水，然后通過水管再經水龍頭流進浴缸內，如圖1所示。

圖1 水加熱及輸送示意圖

通常家庭自來水的流量為7/minL，水管的內徑Φ＝10mm，所以流入電熱水器的自來水流速為

熱水從熱水器出來以后，流經長約1.5m的鋁塑管（即保溫管）到達浴缸中。由于鋁塑管優(yōu)異的保溫性能以及熱水運輸管程教短，因此，熱量損失可忽略，流入的熱水溫度容易控制在人體皮膚比較適宜的40°C,即Thotwater= 4 0°C。

1.2 浴缸水的熱量傳遞及傳熱模型

1.2.1 傳導傳熱及浴缸中的溫度場方程

物體或系統(tǒng)內的溫度差，是熱傳導的必要條件。浴缸中無人或人體呈靜止狀態(tài)時，熱量主要是以傳導傳熱的方式在近似不流動的液體中層層傳遞[11]，熱傳導速率決定于浴缸中水溫度場的分布情況。

由傅里葉導熱定律可知，任一方向上的熱流量Q或導熱速率為：

設想在所研究的體系中內任取一微元Ω(τ)，隨著液體的運動，其邊界是隨著時間變化，這個微元將會移動而且體積也會改變，流入微元Ω(τ)的熱量

流入微元的熱量必然使得微元Ω(τ)內能增加，根據(jù)能量守恒定律，得到

由高斯公式[12]，得到

在變動邊界區(qū)域內，由于溫度場對空間的不均勻性和對時間的不定常性，標量場f(x,y,z,t)關于時間t的變化由兩部分組成[13]，可以表示為：

對于溫度場t(x,y,z,t)，我們便可以得到結論：

將式（7）代入式（4）并聯(lián)立式（5）得到

再由()τ?的任意性，得到液體中的溫度場方程

方程(11)稱為流體中導熱微分方程。

如果將流體視為不可壓縮的牛頓流體，由連續(xù)性方程Δ·U=0，那么方程（11）可簡化為：

如果假定熱力學參數(shù)ρ、c、λ均為常數(shù)，那么式（12）可化為

倘若放入的水流流速不是很大，浴缸里面的水相對整個大浴缸可以視為是靜止的，所以U=0,則

1.2.2 外界干擾的對流傳熱及溫度場方程

水的溫度不僅與自身能量的傳遞有關，也與外界環(huán)境的能量交換有關。冬天浴室溫度在28℃左右，即 Toutside=28°C 。單位時間流入微元體Ω(τ)的熱量為

流入Ω(τ)的熱量必然使得內能增加，根據(jù)能量守恒定律，得到

若η、Twater、Toutside視為常數(shù)，則

類似于流體中導熱微分方程的推導，得到流體受外界干擾的對流傳熱熱擴散方程

如果將流體視為不可壓縮的牛頓流體，由連續(xù)性方程Δ·U=0，那么方程（18）可簡化為

如果視熱力學參數(shù)ρ、c、λ為常數(shù)，Af為浴缸水總表面積，那么

1.2.3 有熱源的綜合傳熱及模型

當水龍頭中熱水注入時，引起了油缸內熱量增大。將流體視為不可壓縮的牛頓流體，熱水落入點視為熱源點，所屬空間坐標點單位體積單位時間內提供的熱量滿足熱量供給分布函數(shù) g'(x, y, z,τ)，若 g = g'(x, y, z,τ)/cρ ，則同理得到有熱源的傳熱方程

1.3 人身體溫度熱平衡方程模型

假定人在浴缸里面胸部以下全部浸在水里面。Taverage是人體皮膚平均溫度[14]，Taverage=33.5°C。由牛頓熱交換定律可知單位時間內熱量交換

則Δτ時間內水得到熱量為：

因此單位時間內熱水升高的溫度為 F = d T/dτ,得

結合式（21），得到人在浴缸中時浴缸水的綜合傳熱方程

設水龍頭出水速率 v( m/ s)，水流近似橫截面積 S ( m2)，體積流量vQSv=，即體積流量，時間微元dτ，由能量守恒定律得到

單位時間的注水量，即vQ

式（31）可知，為了使浴缸水恒溫，水龍頭放出熱水的體積流量可以由相關參數(shù)聯(lián)立計算求得。

2 問題求解

2.1 計算機模擬浴缸二維溫度場分布

假定浴缸長度為1.7m ,寬度為 0.8m，高度為 0.7m 。將浴缸平面均分為19x14 個近似矩形的網格，便有 20x15個節(jié)點。

圖2 浴缸簡要示意圖

圖3 浴缸平面區(qū)域均分示意圖

如前所述，通過注入熱水，維持浴缸內水都處于人體適宜的溫度，即38℃左右。若浴缸壁處水溫恒定，其中靠近水龍頭的一邊溫度為40℃，其它三邊均為35℃。對于無內熱源的常物性穩(wěn)定導熱，由式（14）的。只考慮浴缸平面的溫度分布，二維穩(wěn)定導熱微分方程為：。計算機C語言編寫程序，利用高斯-賽德爾迭代法[17]求出各節(jié)點溫度，再作圖4。從圖4可知，浴缸水溫度整體分布是靠近四壁的溫度高而中間低。

圖4 浴缸中水恒溫時的溫度場分布

2.2 問題的一維求解

由圖 2 可以看出，浴缸中水的溫度場在沿著 y 方向上變化最為明顯，外界水龍頭中流出的熱水與浴缸中水平面接觸的點為內熱源，再假設內熱源只是在沿著浴缸最長長度的方向上的有著熱量的分布，即 g'(x, y, z,τ)可以簡化為 g'(y,τ)，Uy為水流沿y方向的速度。僅考慮穩(wěn)定傳熱，即dt/dτ = 0，此時

其 中 ΔS=0.8×0.7=0.56m2，Af=(1.7×0.7+0.7×0.8+0.8×1.7)×2=6.22m2，v=1.7×0.7×0.8=0.952m3。假設水流速度很小，視 Uy≈0浴缸二維溫度場的

模擬過程中得到了300個節(jié)點溫度，選取一組沿著浴缸y方向的節(jié)點溫度，作浴缸中水溫在沿y方向上的分布圖如圖5所示。

圖5 浴缸中的水溫度在y方向上的分布

再通過一元多次函數(shù)近似擬合得到：t=39.86-23.53y+13.47y2。

空氣與水的熱交換系數(shù)η的數(shù)據(jù)如表 2[17]，將該數(shù)據(jù)進行擬合發(fā)現(xiàn)，η與溫t有很明顯的線性關系如圖6所示。

圖6 η對t作圖

表2 不同溫度下空氣與水的熱交換系數(shù)

圖5的擬合方程為h=-0.453t+1171水溫為38℃，即t=Twater=28°C時η=1109.8W·m-2·K-1。而人的皮膚與水的熱交換系數(shù)介于 10～15W·m-2·K-1，取 χ= 12.5W·m-2·K-1。查資料[18]可知38℃水的物性參數(shù)λ≈0.6338W·m-1·K-1，ρ=1000kg·m-3，c=4200J·kg-1·℃。

代入相關數(shù)據(jù)代入式（33）計算得

即水龍頭放出熱水的體積流量應為8.227×10-3m3/s，其數(shù)值的數(shù)量級與實際生活情況相符。

3 結論

（1）為了使浴缸中的水保持恒定溫度，水龍頭每一秒要放出熱水的體積為

（2）從上面的分析可知，影響QV的主要因素是浴缸水溫度隨時間的偏導數(shù)，浴缸水的溫度梯度，水的流速，水龍頭出水的水溫，浴缸外環(huán)境溫度，浴缸中水的體積。從表達式中可以看出，浴缸中水的溫度場一旦確定，那么體積流量QV便可以求得數(shù)值解。

（3）浴缸中溫度場模擬的結果表明，浴缸中水處于穩(wěn)態(tài)時，溫度由浴缸壁-水交界處至浴缸中央是逐漸降低的。