李 健，楊 建，柴 星，聞登沈 ，劉遵港，王春波，張德龍

(1.營口忠旺鋁業(yè)有限公司，遼寧 營口 115000; 2.中國重型機械研究院股份公司，陜西 西安 710032)

0 引 言

近年來，半主動空氣彈簧懸架研究與應用受到國內外汽車界的廣泛關注。半主動空氣懸架可以根據(jù)路面情況及需求自適應調節(jié)剛度或阻尼系數(shù)，其控制簡單、性能可靠，對車輛行駛平順性和操縱穩(wěn)定性有重要影響，在大客車、載重卡車以及工程車輛上廣泛采用，特別是在多軸載重汽車領域應用更加普遍。國內外學者對半主動控制懸架開展了大量研究[1-6]，所研究的控制算法包括天棚/地棚阻尼控制、模糊PID控制及滑?？刂频?，但大多都是基于整數(shù)階的控制建模方法。

分數(shù)階微積分，指微分、積分階次可以是任意的或者說是分數(shù)的，它擴展了大家所熟知的整數(shù)階微積分描述能力。在很多方面應用分數(shù)階微積分數(shù)學模型，可以更準確地描述實際系統(tǒng)的動態(tài)響應[5]。分數(shù)階控制器就是用分數(shù)微分方程來描述的控制器，并越來越受到研究者們關注，文獻[6]通過最小化積分平方誤差給出了一種分數(shù)階控制器，文獻[7]給出了一些分數(shù)階控制器的數(shù)值例子，文獻[8]設計了一個PIα控制器，文獻[9]針對二慣性系統(tǒng)的速度控制提出了一個分數(shù)階的PIαD 控制器。諸多研究表明，分數(shù)階控制器比整數(shù)階控制器具有更優(yōu)的控制性能。

同時，考慮到空氣彈簧系統(tǒng)的實際工作情況要更為復雜，不僅與本身結構參數(shù)有關，還受到氣囊溫度、壓力及氣體可壓縮特性的影響。另外，由于分數(shù)階PID控制器已有較多研究，其設計參數(shù)較多，實現(xiàn)較為困難。對于各種實際系統(tǒng)，分數(shù)階模型比整數(shù)階模型準確，也為一些動態(tài)過程描述提供了很好的工具，針對這些分數(shù)階系統(tǒng)，分數(shù)階控制器能更好體現(xiàn)它的優(yōu)點。

為此，以某載重汽車空氣懸架為研究對象，引入分數(shù)階微積分理論對運動微分方程中的控制力項進行修正，建立半主動空氣懸架分數(shù)階天棚阻尼控制器模型，探討并分析微分算子α及阻尼力系數(shù)c對控制指標的影響規(guī)律。

1 半主動空氣懸架的1/4車輛模型

裝有半主動空氣懸架的1/4車輛模型如圖1所示，車輛及空氣懸架相關參數(shù)見表1。

圖1 自由度的1/4車輛模型

表1 車輛參數(shù)

根據(jù)圖1所示1/4車輛模型的懸架模型，建立其動力學方程為：

(1)

式中：Fd為可變阻尼力，其表達式可寫為：

(2)

式中：csky為天棚阻尼系數(shù)。

2 分數(shù)階天棚阻尼控制器設計

2.1 分數(shù)階微積分基本理論

(3)

在實際工程應用中，最常用的分數(shù)階微積分定義是Riemann-Liouville(RL)定義、Grünwald-Letnikov(GL)定義以及Caputo分數(shù)階微積分定義[11]。

RL定義為：

(4)

式中：m-1<α

GL定義為：

(5)

Caputo微分定義為：

(6)

式中：n-1<α

對于分數(shù)階微積分方程，如果在t=0時刻有輸入與輸出信號u(t)和y(t)，則傳遞函數(shù)為：

(7)

2.2 分數(shù)階天棚阻尼控制器

天棚阻尼控制由美國的Karnopp教授在1974年首次提出[13]，并在懸架半主動控制系統(tǒng)中得到廣泛應用。天棚阻尼控制根據(jù)它是否可以在實際車輛懸架中采用，分為理想天棚和實際天棚阻尼控制。筆者研究的實際整數(shù)階天棚阻尼控制力與其簧載質量速度成正比，即:

(8)

式中：Fd為天棚阻尼力；csky為天棚阻尼系數(shù)。

考慮到空氣彈簧所用材料的記憶性和粘彈性，在原有的普通天棚阻尼控制策略中引入了分數(shù)階微積分的思想，用對懸架車身位移的分數(shù)階導數(shù)來代替原來的車身速度，得控制力表達式為:

(9)

式中：Dα表示為分數(shù)階微分算子；c為天棚阻尼系數(shù)。

控制策略為：

(10)

分數(shù)階天棚阻尼系數(shù)c和微分階次α均可優(yōu)化，而整數(shù)階天棚阻尼只有csky可調，在Matlab/Simulink中建立半主動空氣懸架的分數(shù)階天棚阻尼控制器模型如圖2所示。

圖2 分數(shù)階天棚阻尼控制器模型

對圖2所示的分數(shù)階天棚阻尼控制器進行求解時，采用Oustaloup逼近算法來仿真分數(shù)階微積分[14-15]，其原理是用高階的傳遞函數(shù)近似替代分數(shù)階算子Dα。假設選定的擬合頻段為(ωb,ωh)，針對分數(shù)階微積分算子Dα用信號濾波器進行擬合，構造出連續(xù)濾波器的傳遞函數(shù)模型為：

(11)

式中：ωk′、ωk和K分別為：

式中：2N+1為濾波器的階次。具體求解算法如下：

(1) 給定近似頻率段的范圍和濾波器的階次；

(2) 根據(jù)分數(shù)階微積分的階次α，分別由上式計算ωk′、ωk和K；

(3) 計算出近似化的有理傳遞函數(shù)。

注：對于近似頻率的上下限ωb和ωh，由于算法本身特點，應選取ωbωh=1。

3 仿真控制研究

3.1 最優(yōu)控制參數(shù)的確定

分數(shù)階控制的參數(shù)通過最優(yōu)算法來確定。為了提高汽車行駛平順性和操縱穩(wěn)定性，應盡可能減小簧載質量垂向加速度(車身加速度)、輪胎動載荷、懸架動撓度等指標。由于車身加速度、輪胎動載荷和懸架動撓度三個指標本身是沖突的，如何確定最優(yōu)控制參數(shù)，能夠使這三個指標達到最佳平衡點是一個優(yōu)化問題。為此，通過選取合適的控制參數(shù)，建立一個綜合性能目標函數(shù)J，如式(12)所示，使懸架綜合性能達到最佳。

(12)

式中:q1為車身加速度加權系數(shù)；q2為懸架動撓度加權系數(shù)；q3為輪胎動載荷加權系數(shù)，參照文獻[16]取q1:q2:q3=1:3000:8000。

在仿真計算中，采用的路面激勵為B級路面，車速為20 m/s的高斯白噪聲模型。通過計算，得出整數(shù)階/分數(shù)階天棚阻尼控制的綜合性能目標函數(shù)與控制參數(shù)的關系如圖3和圖4所示。

圖3 整數(shù)階天棚阻尼控制

圖4 分數(shù)階天棚阻尼控制

由上圖可以得出，當csky=1 894.4 Ns/m時，整數(shù)階天棚阻尼控制策略的綜合性能指標最小，為13.97；當c=1 650 Ns/m，α=0.32時，分數(shù)階天棚阻尼控制下的綜合性能指標最小，為12.21。可以看出在最優(yōu)控制參數(shù)下，分數(shù)階天棚阻尼控制下的綜合性能指標要小于整數(shù)階天棚阻尼控制，進一步驗證了分數(shù)階天棚阻尼控制要優(yōu)于整數(shù)階天棚阻尼控制。

3.2 仿真結果分析

基于Matlab/Simulink分別建立整數(shù)階/分數(shù)階天棚阻尼控制器模型，限于篇幅，略去整數(shù)階天棚阻尼控制器模型，分數(shù)階天棚阻尼控制模型如圖2所示。將上節(jié)確定的最優(yōu)控制參數(shù)輸入到控制器模型中進行仿真，可得圖5～7所示的仿真結果。表2為1/4車輛在整數(shù)階和分數(shù)階天棚控制策略下車身加速度、輪胎動載荷和懸架動撓度均方根值對比結果。

圖5 車身加速度響應曲線

三項指標中，車身加速度影響著汽車的行駛平順性，輪胎動載荷則影響著汽車的行駛安全性。通過上述結果可以看出，在車身加速度和輪胎動載荷指標上，分數(shù)階天棚阻尼控制都是最優(yōu)的，整數(shù)階天棚控制次之，被動控制最差；在懸架動撓度上，整數(shù)階天棚控制最優(yōu)，分數(shù)階天棚控制次之，被動控制最差?？傮w來說，分數(shù)階天棚控制是優(yōu)于整數(shù)階天棚控制的。

表2 三項指標均方根值比較

圖6 懸架動撓度響應曲線

圖7 輪胎動載荷響應曲線

為進一步分析和觀察整數(shù)階/分數(shù)階天棚阻尼控制器在階躍輸入激勵下各響應量對比結果，取振幅為+0.1 m階躍激勵，得到車身加速度、懸架動撓度和輪胎動載荷的仿真結果如圖8～10所示。

圖8 階躍激勵下的車身加速度響應

從圖中可以看出，在車身加速度和輪胎動載荷指標衰減過程中，分數(shù)階天棚阻尼控制優(yōu)于整數(shù)階天棚阻尼控制，而被動懸架最差；在懸架動撓度指標衰減過程中，整數(shù)階天棚阻尼控制略優(yōu)于分數(shù)階天棚阻尼控制，被動懸架最差。

圖9 階躍激勵下的懸架動撓度響應

圖10 階躍激勵下的輪胎動載荷響應

4 結 語

(1) 建立了2自由度的1/4車輛半主動控制懸架動力學模型，引入分數(shù)階微積分理論，推導得到該空氣懸架的控制方程?；诖藰嫿朔謹?shù)階天棚阻尼控制器模型，利用Oustaloup算法對分數(shù)階非線性微分方程進行數(shù)值求解，得到車身加速度、懸架動撓度和輪胎動載荷的響應值。

(2) 利用Matlab/Simulink建立1/4車輛仿真模型，對比分析整數(shù)階/分數(shù)階天棚阻尼控制效果，得到最優(yōu)控制參數(shù)。后者能更有效抑制車身加速度和輪胎動載荷，衰減車身共振，提高車輛的平順性和安全性，驗證了分數(shù)階微積分在懸架半主動控制中的有效性。

(3) 在懸架動撓度指標上，整數(shù)階和分數(shù)階天棚阻尼控制比較接近，前者略微優(yōu)于后者。從綜合性能指標來看，分數(shù)階天棚阻尼控制優(yōu)于整數(shù)階天棚阻尼控制。